四川省绵阳市梓潼县2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

2024-2025学年绵阳市梓潼县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个答案符合题目要求。）1．一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（）A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球2．下列图形中，是中心对称的图形的是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正五边形3．在△ABC中，CA＝CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定4．若关于x的一元二次方程（m+2）x2+（2m+1）x+m＝0有解，那么m的取值范围是（）A．m＜ B．m＜且m≠﹣2 C．m≤ D．m≤且m≠﹣25．如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，P为劣弧AB上一点，则∠APB＝（）A．136° B．162° C．108° D．144°6．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（）A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝67．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度得到抛物线（）A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝x2+3 D．y＝x2﹣38．反比例函数与一次函数y＝﹣kx+k在同一坐标系中的大致图象是（）A． B． C． D．9．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（）A．5+5x+5x2＝20 B．5（1+x）2＝20 C．5（1+x）3＝20 D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝2010．如图，在半径为6的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝10，CD＝8，垂足为E，则tan∠OEA的值是（）A． B． C． D．11．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（）A．3：2 B．2：1 C．3：1 D．4：112．如图，一张等腰直角三角形ABC纸片，已知AB＝BC＝20cm，先裁剪出①号长方形BEDF，然后在剩余的大纸片三角形AFD中剪出②号长方形GHMN，且满足HM＝DE，当①号长方形的面积为64cm2时，则②号长方形的面积为（）A．60cm2 B．64cm2 C． D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应横线上。）13．抛物线y＝﹣2x2+4x+m的对称轴是直线．14．在一个不透明的袋中装着4个球，3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为．15．三角形两边的长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的周长是．16．已知函数f（x）＝ax2﹣c（a，c为实数），若﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤2，则f（8）的最大值是．17．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（2，1），O（0，0），如果将△ABO绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'O，那么点A，B的对应点A'，B'的坐标分别是．18．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①对于任意的x＝m，均有am2+bm+c≥﹣6；②ac＞0；③若点（），（，y2）在抛物线上，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1；⑤b﹣6a＝0；其中正确的有（填序号）．解答题：（本大题共7个小题，计90分.解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）.19．（16分）解方程：（1）x2﹣2x+5＝20；（2）x（x﹣3）＝2x+5．20．（12分）如图，某电脑显示器由显示屏（矩形ABCD）和支架组成，显示屏对角线AC中点O固定在支架直杆OP一端处，显示屏可绕点O顺时针或逆时针旋转，已知AB＝36cm，∠BAC＝58°．（1）求BC长度；（2）为避免在旋转过程中显示屏与支架平台EF发生磕碰，则支架直杆OP的最小值是．（结果精确到1cm，参考数据：tan58°≈1.60，cos58°≈0.53，sin58°≈0.85）21．（12分）水果种植大户小芳，为了吸引更多的顾客，组织了观光采摘游活动，每一位来采摘水果的顾客都有一次抽奖机会，在一只不透明的盒子里有A（苹果），B（梨子），C（葡萄），D（葡萄）四张外形完全相同的卡片，抽奖时先随机抽取一张卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张．（1）请利用树状图或列表的方法，表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况；（2）如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励，那么得到奖励的概率是多少？22．（12分）如图，已知反比例函数的图象经过点A（2，﹣2），AB⊥y轴于点B，点C为y轴正半轴上一点，连接AC．（1）求反比例函数的表达式；（2）请用无刻度的直尺和圆规，在x轴正半轴上找一点D，使得∠OBD＝∠BAC（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）；（3）在（2）的条件下，求证：AC＝BD．23．（12分）某超市以每件10元的价格购进一种文具．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：销售单价x/元…121314…每天销售数量y/件…363432…（1）求y与x之间的函数关系式及x的取值范围；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？24．（12分）如图，P为⊙O外一点，直线PO交⊙O于点D、E，点A在⊙O上，AC⊥DE于点C，∠ADE＝∠PAE．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若PE＝4，CE＝2，求⊙O的半径；（3）若AD＝2AE，求的值．25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）．（1）直接写出该抛物线的解析式；（2）如图（1），在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE＝∠OAD，求点E的坐标；（3）如图（2），过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标．

数学参考答案1.B2.C3.C4.D5.D6.D7.B8.A9.D10.D11.C12.C13.x＝114.15.25或2116.12217.（﹣4，1），（﹣1，2）．18.①④⑤19.解：（1）x2﹣2x+5＝20；方程变形得x2﹣2x﹣15＝0，（x﹣5）（x+3）＝0，x﹣5＝0或x+3＝0，∴x1＝5，x2＝﹣3；（2）x（x﹣3）＝2x+5．方程变形得：x2﹣5x﹣5＝0，Δ＝25+20＝45＞0，x＝，∴x1＝．x2＝，20.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝36cm，∠BAC＝58°，∴BC＝AB•tan58°≈36×1.6＝57.6≈58（cm），∴BC长度约为58cm；（2）在Rt△ABC中，AB＝36cm，∠BAC＝58°，∴AC＝≈≈67.92（cm），∵点O是AC的中点，∴OC＝AC＝33.96（cm），∴当OP＝OC时，旋转过程中显示屏与支架平台EF刚好不发生磕碰，∴支架直杆OP的最小值约为34cm，故答案为：34cm．21.解：（1）画树状图得：∴前后两次抽得的卡片所有可能的情况有AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC共12种；（2）∵得到奖励的有2种，∴得到奖励的概率是：＝．22．解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（2，﹣2），∴﹣2＝，∴k＝﹣4，∴反比例函数的表达式为y＝﹣；（2）如图所示，点D即为所求；（3）∵点A（2，﹣2），AB⊥y轴于点B，∴AB＝OB＝2，∵∠BOD＝∠ABC＝90°，∠DBO＝∠BAC，∴△ABC≌△BOD（ASA），∴AC＝BD．23．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，解得：，故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，解得：x1＝18，x2＝22，答：销售单价应为18元或22元；（3）由题意可知：w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200，∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝20，∴当x＝20时，w有最大值，W最大＝200．答：当销售单价为20元时，每天获利最大，最大利润是200元．24.（1）证明：连接OA，如图，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠PAE，∴∠OAD＝∠PAE．∵DE是⊙O的直径，∴∠OAD+∠OAE＝∠DAE＝90°．∴∠OAE+∠PAE＝90°．∴AO⊥PA，又∵OA为⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线；（2）解：∵AO⊥PA，AC⊥DE，∴△OAC∽△OPA，∴，∴OA2＝OC•OP．设OA＝x，则OC＝OE﹣CE＝x﹣2，∴OP＝OE+PE＝x+4，∴x2＝（x﹣2）（x+4），解得：x＝4．∴⊙O的半径为4；（3）解：∵∠DAE＝90°，AD＝2AE，∴tan∠ADE＝．∵∠ADE＝∠PAE，∴tan∠ADE＝tan∠PAE＝．∵∠DAE＝90°，AC⊥DE，∴△ADC∽△EAC，∴∠ADE＝∠CAE，，∴tan∠ADE＝tan∠CAE＝．∵tan∠CAE＝，∴＝．设CE＝x，则AC＝2x，CD＝4x，∴，，由（2）得，OA2＝OC⋅OP，即：，∴，∴，∴．25.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），∴y＝a（x+1）2﹣4，把A（﹣3，0）代入y＝a（x+1）2﹣4，∴a（﹣3+1）2﹣4＝0，解得：a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，∴该抛物线的解析式y＝x2+2x﹣3；（2）过点D作DS⊥x轴于S，延长CE交x轴于G，∵∠COG＝∠ASD＝90°，∠OCE＝∠OAD，∴△CGO∽△ADS，∴＝，即＝，∴OG＝6，∴G（﹣6，0），设直线CG的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线CG的解析式为y＝﹣x﹣3，与抛物线解析式y＝x2+2x﹣3联立得，解得：（舍去），，∴点E的坐标为（﹣，﹣）；（3）如图（2），分别过点F、G作x、y轴的垂线交于点H，∵点P在对称轴上，设P（﹣1，m），设直线FG的解析式为y＝px+q，则﹣p+q＝m，∴q＝p+m，∴直线FG的解析式为y＝px+p+m，与抛物线y＝x2+2x﹣3联立得，整理得：x2+（2﹣p）x﹣3﹣p﹣m＝0，∴xF+xG＝p﹣2，xFxG＝﹣3﹣p﹣m，设M（xM，yM），∵M是线段FG的中点，∴xG﹣xM＝xM﹣xF，∴xM＝＝，当xM＝时，yM＝p×+p+m＝，∴M（，），将x＝代入y＝x2+2x﹣3，得y＝，∴N（，），∴MN＝﹣＝，