高中数学动点轨迹问题专题讲解

动点轨迹问题专题讲解

一.专题内容：

求动点P(x,y)的轨迹方程实质上是建立动点的坐标x,y之间的关系式，首先要分析形成轨迹

的点和己知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常

用方法有：

(1)等量关系法：依据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，

利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟识.

(2)定义港：假如动点满意的条件符合某种已知曲线(如圆锥曲线)的定义，可依据其定义用

待定系数法求出轨迹方程.

(3)转移代入法：假如所求轨迹上的点P(x,y)是随另一个在己知曲线C：F(x,y)=0上的动

点M(Xo,%)的改变而改变，且不，%能用x,y表示，即/=/(x,y),%=g(x,y),则将工,%

代入已知曲线P(x,y)=0,化简后即为所求的轨迹方程.

(4)拳裂港：选取适当的参数(如直线斜率Z等)，分别求出动点坐标x,y及参数的关系式，得

出所求轨迹的参数方程，消去参数即可.

(5)金釉港：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去

参数，即可(有时还可以由三点共线，斜率相等找寻关系).

留意：轨迹的完备性和纯粹性！肯定要检验特别点和线！

二.相关试题训练

(-)选择、填空题

1.()己知£、F?是定点，|£g|=8,动点M满意IMI+|"KI=8,则动点M的轨迹是

(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段

2.()设〃(0,5),N(0,-5),AM/VP的周长为36,则AMNP的顶点P的轨迹方程是

(A)(xwO)(B)(x#0)

(C)(ywO)(D)("0)

3.及圆1+丁-4工=0外切，又及y轴相切的圆的圆心轨迹方程是；

4.P在以片、工为焦点的双曲线上运动，则△£入2的重心G的轨迹方程是；

5.已知圆C：(x+J5)2+y2=16内一点0),圆C上一动点Q,AQ的垂直平

分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为.

6.△ABC的顶点为A(-5,0)、B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线*=3上，则顶

点C的轨迹方程是；(x>3)

变式：若点P为双曲线的右支上一点，F「F2分别是左、右焦点，KU鸟的内切圆圆心的轨

迹方程是；

推广：若点P为椭圆上任一点，月、分别是左、右焦点，圆M及线段KP的延长线、线段P鸟

及X轴分别相切，则圆心M的轨迹是；

7.已知动点M到定点43,0)的距离比到直线x+4=0的距离少1,则点M的轨迹方程是

.(/=12x)

8.抛物线y=2x2的一组斜率为&的平行弦的中点的轨迹方程是.

(())

9.过抛物线丁=4尤的焦点F作直线及抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点F旋转时，

弦PQ中点的轨迹方程为.

PP1

解法分析：解法1当直线尸。的斜率存在时，Sr

设PQ所在直线方程为y=Z(x-l)及抛物线方程联立，/.

消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2^0.'M

设P(Xi，M)，以小必)，P。中点为M(x,y)，则有°y/"X

消&得V=2(x—1).仁、

当直线PQ的斜率不存在时，易得弦PQ的中点为尸(1,0),也'、一、

满意所求方程.

故所求轨迹方程为产=2(x7).

解法2设尸(5，必)，Q(x2,y2),

由得(X-%)(%+%)=4(内一x2),设尸。中点为M(x,y),

当X]w々时，有，又，

所以，，即丁=2(犬_1).

当占=々时，易得弦PQ的中点为尸(1,0)，也满意所求方程.

故所求轨迹方程为产=2(x-1).

10.过定点尸(1,4)作直线交抛物线C:y=2/于A、B两点，过A、B分别作抛物线C的切线交

于点M,则点M的轨迹方程为.y=4x-4

(二)解答题

1.一动圆过点P(0,3),且及圆/+(了+3)2=100相内切，求该动圆圆心C的轨迹方程.

(定义法)

2.过椭圆的左顶点A|作随意弦AH并延长到F，使IEFRAEI，3为椭圆另一顶点，连

结OF交4E于点P,

求动点P的轨迹方程.

（干脆法、定义法；突出转化思想）

3.已知4、&是椭圆的长轴端点，P、。是椭圆上关于长轴A4对称的两点，求直线尸4和Q4

的交点M的轨迹.（交轨法）

4.已知点G是△ABC的重心，A（O,-1）,2?（0,1）,在x轴上有一点M,满意

|MAHMCI，GM=ZAB（Ae/?）.

（1）求点C的轨迹方程；（2）若斜率为左的直线/及点C的轨迹交于不同两点P、Q,且满意

\AP\=\AQ\,试求女的取值范围.

解：（1）设C（x,y），则由重心坐标公式可得.

GM=AAB,点M在x轴上，，

V\MA\AMC\,A(0,—1)，二椅2+1=—/+)，，即.

故点C的轨迹方程为（yw±l）.（干脆法）

(2)设直线/的方程为y=Ax+b(b^±l),P(x”,)、Q(x2,y2),PQ的中点为N.

22

由消y,得(1+3/)x+6kbx+3(Z>-l)=0.

A=36k2b2-12(1+3k2)(b2-1)>0,gp1+3A:2-fe2>0.①

p.,z、CL-6k2b2b

又，..y+y2=g+X2)+2以w+2b=同

V\AP\=\AQ\,：.ANYPQ,：.,即，

1+3/=26,又由①式可得2b-及>0,：.0<b<2且bwl.

0<l+3左2<4且1+3二/2,解得一1<A<1且.

故上的取值范围是一1<女<1且.

5.己知平面上两定点M（0,—2）、N（0,2）,尸为一动点，满意用白仰曰川川“必.

(I)求动点P的轨迹C的方程；(干脆法)

(II)若A、B是轨迹C上的两动点，且AN=4NB.过A、B两点分别作轨迹C的切线，设其

交点为Q,证明NQ-AB为定值.

解：(I)设P(x,y).由已知MP=(x,y+2),MN=(0,4),PN=(-x,2-y),

MPMN=4y+8.

|PN\•|MA?|=47x2+(y-2)2,..............................3分

MP-MN=\PN\-\MN\,

：.4y+8=4々+(广2)2.

整理，得x2=8y.

即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x2=8y.

6.已知O为坐标原点，点E(—1,0)、户(1,0),动点A、M、N满意|尸|(帆＞1),

MN-AF=0,,AMIIME.求点M的轨迹W的方程.

解：•:MNAF=。，,

MN垂直平分AF.

又AMHME,.•.点M在AE上，

\AM\+\ME|=|AE|=m\EF|=2m,\MA|=|MF\,

：.\ME\+\MF\=2m＞\EF\,

...点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴a=加，半焦距c=l,

/.b1=a2-c2=m2-1.

...点M的轨迹W的方程为(加＞1).

7.设。/为直角坐标系内轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+2)),

b=xi+(y-2)j,且|a|+|Z?|=8.

(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程；(定义法)

(2)过点(0,3)作直线/及曲线C交于A、B两点，设0P=0A+08,是否存在这样的直线/,

使得四边形。4PB是矩形？若存在，求出直线/的方程，若不存在，试说明理由.

解：⑴；

(2)因为/过y轴上的点(0,3).若直线/是y轴，则A,B两点是椭圆的顶点.

OP=OA+OB=0,所以P及。重合，及四边形。4正0是矩形冲突.

故直线/的斜率存在，设/方程为y=Ax+3,A(X］，M),B(X2，%)・

由消y得(4+3公)Y+18区—21=0,此时△=(18%)2-4(4+3k2)(-21)>0恒成立，且，，

OP=OA+OB,所以四边形。4P3是平行四边形.

若存在直线心使得四边形Q4P8是矩形，则。4J_03,即O4-OB=0.

OA=(xl,yt),OB=(孙必)，

OAOB=玉9+y%=o.

即(1+%2)%%2+3攵(%+々)+9=0.

(1+合).(――J)+3&.(--1^)+9=().,得.

4+3//4+3公

故存在直线/：,使得四边形CMPB是矩形.

8.如图，平面内的定点F到定直线/的距离为2,定点E满意：|EF|=2,且所于G,点。

是直线/上一动点，点用满意：FM=MQ,点P满意:PQ//EF,PMFQ=0.

(I)建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；

(II)若经过点E的直线4及点P的轨迹交于相异两点A、B,令NAFB3当时，求直线人的

斜率k的取值范围.

解：(1)以FG的中点。为原点，以所所在直线为y轴，建立平后

面直角坐标系xoy,设点P(x,y),F

则/(0,1),夙0,3),l:y=-\.

GQ

•/FM=MQ,PQHEF，:.Q(x,-1)

Y

'：PMFQ=Q,：.(--)xx+(-j)x(-2)=0,

即所求点P的轨迹方程为x2=4y.

⑵设点4(%,必),8(巧,了2)(王*X2)

设AF的斜率为占，BF的斜率为k2,直线/,的方程为y=kx+3

由.......6分Wx2-4^-12=0

7分..•以%=且•五=(2)2=9

/.x+x=4Axx=-12

]2x212444

2

yi+y2-+X2)+6=4A：+6........8分

FA.=1,凶,T),FB=(x2,y2-1)/.FAFB=x,x2+(y1-l)(y2-1)

=占％+%％-(乂+%)+1

=-12+9-48-6+1

=-4k2-8

又而|•|丽|=(必+1)"2+1)=MM+(%+必)+1=9+4产+6+1=4^2+16

AFA-TB-4k2-Sk2+2］。分

IFA|IFB|4^-+16k-+4

由丁一;.-1<cos0<一•^•即-1<-，+2<.......11分

2k2+42

：.k2>242解得％2%或&4一强.......13分

k2+42

直线4斜率k的取值范围是｛&|k>唬，或及>-V8)

9.如图所示，己知定点F(l,0),动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M,并延长MP

到点N,且PM-P/7：。，|PM|=|PN|.

(1)求动点N的轨迹方程；

(2)直线/及动点N的轨迹交于A、B两点,若。408=-4,且4指《|48区4而，求直

满意MNMF=0,MN+MP=。.

(1)求P点轨迹E的方程；

(2)将(1)中轨迹E按向量a=(0,1)平移后得曲线E',设。是E'上任一点，过。作圆

Y+(y+l)2=i的两条切线，分别交X轴及A、B两点,求IABI的取值范围.

解：⑴设加(a,0)、N(0,b)、P(x,y),则MN=(-a,b)、MF=(-a,1).

MP=(x-a,y).

141Hpi菩坦卜一“,份'(一“,D=0'..

由题意得〈

[(-a,b)+(x-a,y)=(0,0).

故动点P的轨迹方程为.

(2)

11.如图A(孙石m)和5(〃,-6a)两点分别在射线OS、OT上移动，且,

0为坐标原点，动点P满意。尸=04+08.

(1)求加/的值；(2)求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？

(3)若直线/过点E(2,0)交(2)中曲线C于M、N两点，且ME=3EN,求/的方程.

解：(1)由已知得。=(机,力加>(〃,一百〃)=一2加〃=一4,

(2)设P点坐标为(x,y)(x>0),由OP=OA+OB得

(x,y)=(m,yfim)+(n,-g〃)=(m+n,s/3(m-〃)),

二消去加，〃可得，

又因m〃=5，二P点的轨迹方程为.

它表示以坐标原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为2,焦距

为4的双曲线的右支.

(3)设直线/的方程为x=0+2,将其代入C的方程得

3（）+2）2_/=3即（3r2-l）y2+12r）'+9=0,

易知(3』-1)*0(否则，直线/的斜率为土百，它及渐近线平行，不符合题意)

又A=144产一36函-1)=36(r+1)>0,

设加(斗，凹),阳々,月)，则y+%=黄^，,%=黄7[

,//及C的两个交点M,N在y轴的右侧

中2=（3+2）（优+2）=产%为+2«y+为）+4

号+2.尚+一豺>0,

3/2-1<0,即0</<，，又由斗+々>0同理可得0〈/<，，

由ME=3EN得（2—%,一y）=3（2—%,%），

由y+%=-3%+%=-2%=-3月［得%=3/9、,

由M必=（-3%）%=-3抬=^r-［得£=-^r-［,

消去为得考虑几何求法！!

解之得：广==，满意。＜广＜，.

故所求直线/存在，其方程为：厉x—y—2逐=0或-26=0.

12.设A,B分别是直线和上的两个动点，并且|48|=病，动点P满意OP=OA+OB.记动

点P的轨迹为C.

(I)求轨迹C的方程；

(II)若点D的坐标为(0,16),M、N是曲线C上的两个动点，且DM=/ION,求实数/I的

取值范围.

解：(D设P(x,y),因为A、B分别为直线和上的点，故可设

*.*OP—OA+OB,

又—J20,/.(%1—x9)~+g(苔+々)~=20.

・・・・即曲线C的方程为.

(II)设N(s,t),M(x,y),则由DM=4DN,可得(x,y-16)=A(s,t-16).

故x=,y=16+2(，-16).

-----1-----=1,

2516

•・•M、N在曲线C上,

22S2(九-164+16)2

、百十16-=1.

消去S得N6y)+-16)2=]

1616

由题意知4H(),且;iHl,解得.

又|t|＜4,....解得(A^l).

故实数4的取值范围是(/IH1).

13.设双曲线的两个焦点分别为"、F2,离心率为2.

(1)求此双曲线的渐近线4、4的方程；()

(2)若A、B分别为4、4上的动点，且21ABi=5|68|,求线段AB的中点M的轨迹方程,

并说明是什么曲线.()

提示：|A8|=10n,5-犬2)2+(%一%)2=10,又，,

则,.

又2》=玉+%,2y=y+当代入距离公式即可.

(3)过点N(l,0)是否存在直线/,使/及双曲线交于P、。两点，且OP-OQ=0,若存在，求

出直线/的方程；若不存在，说明理由.(不存在)

14.已知点尸(1,0),直线/:x=2,设动点P到直线/的距离为d,已知，且.(1)求动点

P的轨迹方程；

(2)若，求向量OP及。尸的夹角；\11

(3)如图所示，若点G满意GF=2FC,点M满意

MP=3PF,且线段MG的垂直平分线经过点P,求—0/____tXJ_______

\GOF7\C7

△PGF的面积.、一一，

15.如图，直线/:>=自+1及椭圆C:or2+y2=2I

(a>l)交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点).

(1)若％=1,且四边形OAPB为矩形，求a的值；(a=3)

(2)若a=2,当女改变时(keR),求点P的轨迹方程.(2f+y2-2y=0()，H0))

16.双曲线C：(a>(),b>0)的离心率为2,其中A(O,-b),B(a,0),且

|OA|2+|OB|2=||OA|2-|OB|2.(1)求双曲线C的方程；

(2)若双曲线C上存在关于直线/：y=Ax+4对称的点，求实数攵的取值范围.

解：(D依题意有：

解得：a=l,h=-y/3,c=2.

所求双曲线的方程为.............................6分

(II)当k=0时，明显不存在...............................7分

当k，0时，设双曲线上两点M、N关于直线/对称.由/_LMN,直线MN的方程为.则M、

N两点的坐标满意方程组

由消去y得

(3k2-l)x2+2kbx-(b2+3)k2=0........................9分

明显3k2-IHO,

/=(2kb)2-4(3k2-l)[-(b2+3)k2]>0.

BPk2b2+3k2-l>0.①

设线段MN中点D(Xo，y())则

VD(x0,y0)在直线/上，

A.BPk2b=3k2-l②

把②带入①中得k2b2+bk2>0,

解得b〉0或b<—1.

，或.

即或，且k，0.

，k的取值范围是（―8,-亭）」（一g,0）（0,1）<（y-.+°°）................14分

17.已知向量OA=（2,0）,OC=A5=（0,1）,动点M到定直线y=1的距离等于“，并且满

意。MA”=K（CM-B"-/）,其中O为坐标原点，K为参数.

（1）求动点M的轨迹方程，并推断曲线类型；

（II）假如动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满意为WeW求实数K的取值范

32

围.

18.过抛物线V=4x的焦点作两条弦A3、CD,若A8-C£>=0,,.

（1）求证：直线过定点；（2）记（1）中的定点为Q,求证NAQ8为钝角；

（3）分别以A3、CO为直径作圆，两圆公共弦的中点为H,求”的轨迹方程，并指出轨迹是

什么曲线.

19.（05年江西）如图，M是抛物线上上的一点，动弦ME、MF分别交无轴于A、B两

点，且=（1）若M为定点，证明：直线所的斜率为定值；

（2）若M为动点,且NEMF=90,求的重心G的轨迹.

思路分析：（1）由直线“（或ME）方程及抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，

利用斜率公式来证明；（2）用M点的坐标将E、尸点的坐标表示出来，进而表示出G点坐标，

消去％即得到G的轨迹方程（参数法）.

解：（1）法一：设加⑶：，%）,直线ME的斜率为％（k>0）,

则直线MF的斜率为一%,方程为>一为=4"一尤）.

由，消x