八年级上册数学评价手册答案解析

初二数学〔八上创新教育实验手册

参考答案〔苏科版

第一章轴对称图形

1.1轴对称与轴对称图形

［实践与探索］

例1请观察26个大写英文字母,写出其中成轴行称的字母.

解：成轴对称的字母有：A、B、C、D、E、H、I、K、M、0、T、U、V、W、X、

Y.

注意：字母"N、S、Z”也具有对称的特点，但它们不是轴对称图形.

例2国旗是一个国家的象征，观察图中的国旗，说说哪些是轴对称图形,并找出

它们的对称轴.

(略

［训练与提高］

一、选择题：

1.42.D3.B4.A5.A

二、填空题：

6.(1(2(5(6

7.2,3,1,48.1():21

三、解答题：

9.如图：

10.长方形、正方形、正五边形

［拓展与延伸］

1.(3比较独特，有无数条对称轴

2.层)

1.2轴对称的性质(1

［实践与探索I

例1已知△A8C和△AEG是轴对称图形，画出它们的对称轴.

图

图

解：连接A4,画出44的垂直平分线L,直线L就是△ABC和山iG的对称

轴.

回顾与反思连接轴对称图形的任一组对称点,再画对称点所连接线段的垂

直平分线，就得该图形的对称轴.

例2如图用针扎重叠的纸得到关于L对称的两个图案，并从中找出两对对

称点、两条对称线段.

解：可标注不同的对称点.例如：A与A是对称点,8与8'是对称点.

对称线段有AB与A'B\CD与C1/）'等.

回顾与反思研究对称点是研究对称图形的基础，一般先研究对称点，再研究对称

线段,这能更清楚地了解轴对称的性质.

［训练与提高］

一、选择题：

1.B2.D3.B4.A

二、填空题:

5.轴对称,3条6.略7.8100768.AB=CDBE=DEZB=ZD

三、解答题：

9.2,4,510.略

［拓展与延伸］

1.如图：

2.如图：

［实践与探索］

例1画出图123中△AAC关于直线L的对称图形.

解：在图（1和图1.2.3（2中制画出点A、B、C哭玉侬£的对称点A1、

（：

B］和C］,然后连接A%।、C.A,，则△ABG就是△柳金夫于例海对称的

图形.B

(1(2

回顾与反思（1如果图形是由直线、线段璃懒睡1成时，那么在画出它关于某一

条直线对称的图形时，只要画出图形中的特殊点(如线段的端点、角的顶点等的

对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形；

(2对称轴上的点(如图11中的点反其对称点就是它本身.

例2问题1：如图1.2.4,在一条笔直的河两岸各有一个居民点A和B,为方便

往来，必须在河上架桥在河的什么位置架桥,才能使A和B两地的居民走的路最

短？

问题2：如图1.2.5,在一条河的同岸有两个居民点A和8,现拟在岸上修建一

个码头，问码头修在何处,才能使码头到A和3两地的总长最短？

A

问题1和问题2之间有联系吗？能从前一个问题受到启发来解决这个问题吗？

探索：对问题L显然只要连接48.A4与的书点就是陆要找的点.

对问题2,即要在直线a上找一点C,使AC-^BC最小.

分析：我们用"解折2M一一轴对称的方法.懒il.&6

(1作点A关于直线。的对称点A'；

(2连结A,B交。于点C,点C就是所求作的点.

理由：如图，如果C*是宜线a上异于点C的任意一点，连AC'、BC\A'U则由于A、

A关于直线。对称，所以有

AC=AC,AC=AC.4N、

所以AC+BC=AC+BC>AB=AC+BC=AC+BC.

这说明，只有C点能使\C+BC最小.“加

图

［训练与提高］

一、选择题：

1.C2.C3.B4.A

二、填空题：

5.(1等腰三角形(2矩形(3等边三角形14正方形(5五角星(6圆

6.不对称、不对称7.5个

三、解答题：

8.略9.略

解：＜1＞点尸与△ABC的三顶点距离相等，即附=PB=PC.

＜2＞如图4C的垂直平分线也经过P点.即三角形的三条中垂线交于一点.

例2如图1.4.2,在△A8C中，已知A8=AC,。是A8的中点，且OE_LA8,交AC于

A

E.已知△BCE周长为8,且A8—8C=2,求A3、的长.A

分析：由题意可知.。石垂直平分AB,则有AE=BE,”1A

因此aBCE的周长就转化为AC+BC,问题即可解决.

解：因为。是A8的中点，且OE上4B,所以fic

则△BCE的周长=BE+CE+BC-A£+CE+8C=AC+BC=8.图上42

又因为A8—8C=2,A8=4C,所以AC—8C=2.

由上可解得AC=5,8C=3.

回顾与反思＜1＞本题中利用”E是线段A3的垂直平分线上的点”得到SE=BE\

从而实现了”线段8户的转移，这是我们常用的方法：

＜2＞利用”线段的中垂线的性质”可以说明两条线段相等.

［训练与提高］

一、选择题：

1.C2.。3.。4.A

二、填空题：

5.无数个6.6,27.10,8cm8.9cm

三、解答题：

9.24°10.连结AB,作AB的中垂线交直线L于P,点尸即为所求作的点

11.24cm12.＜1＞35°(2550

［拓展与延伸1

1.图略(1只要任意找一个以4为顶点的格点正方形，过点力的对角线或其

延长线与B。的交点就是点尸(2找与A为顶点的正方形中与A相对的顶

点.

2.9cm

1.4线段、角的轴对称性＜2＞

［实践与探索］

例1如图1.4.3,在△ABC也已知N4BC和

NAC8的角平分线相交于。.请问:

＜1＞你知道点。与△A8C的三边之间有什么关系吗？

＜2＞当你再作田NA的平分线时，你发现了什么？

解：＜1＞点O到△ABC的三边的距离相等；

＜2＞如图1.4.3,NA的平分线也经过点。即三角形的三条角平分线交于一点.

例2己知：如图1.4.44力〃3。,。。_18仁4£平分/84。,且点£是。（7的中点,问：

AD.BC与之间有何关系？试说明之.AD

分析：此题结论不确定，从已知中收集有效信息，并大胆尝试

（包括用刻度尺测量是探索、猜想结论的方法./^\

vl＞将”AE平分N8AQ"与“。E_LAO”结合在一起考虑,可以联想到，-----

若作ER,A3于七就构成角平分线性质定理的基本图形，可得4F=AD图144

＜2＞再结合"点用是。C的中点”，可得：F.D=FF=FC.于是连接AR可证月C.

这样,A£＞+8C=Ab+BR=AB.

解：AD.8C与AB之间关系：AD+BC=AB.证明思路简记如下:

作E/LAB,连接BE,易证△AQEgZsA£E＜AAS〉,・・・AQ=A”.

再由EF=ED,EF=EC,可得丝△8C£vHL＞,:.BF=8C,AO+BC=AB.

回顾与反思＜1＞根据例1的结论，我们可以在三角形内找到一点,使它到三角形

三边距离都相等；

＜2＞利用角平分线的性质，可以说明两条线段相等，这也是我们常用的办法.

［训练与提高］

一、选择题：

1.A2.B3.A4.C

二、填空题：

5.线段的垂直平分线、角平分线6.37.90°

三、解答题：

8.略9.过尸点分别作垂线10.作图略11.作MN的中垂线,NAOB的

平分线交点即是12.6cm

［拓展与延伸］

1.60°

2.略

1.5等腰三角形的轴对称性vl＞

［实践与探索］

例1＜1＞已知等腰三角形的一个角是100°,求它的另外两个内角的度数；

＜2＞已知等腰三角形的一个角是80。,求它的另外两个角的度数.

分析：由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和为180°,所以10()°的角

一定是这个三角形的顶角；

＜2＞等腰三角形的一个角是80°,要分底角为80°或顶角为80°两种情况.

解：＜1＞由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和等于180°,这个三角形的顶

角等于100°,所以这个三角形的另两个内角应为100°＞=40°.

2

＜2＞①底角为80°时，另外两角分别为80°和20°；②顶角为80°吐另外两角分别为50°

和50°.

回顾与反思：＜1＞当不知道已知的角是等腰三角形的顶角还是底角，此时须进行讨

论；＜2＞若把已知角改为火则这个等腰三角形另外两个角的度数是怎样的呢？

例2如图，在AA3c中为的中点，

a垂足为EQRJMC,垂足为F.试说明。石=。厂的道理.

二、填空题：图

6.5cm7.6cm,2cm,或4cm,4cm

8.(H2.5(2a>3,0<b<\29.3,3,4或4,4,2

三、解答题：

10.(170°、40°或55°,55°(230°,30°II.75°,75°,30°

12.33cm13.108°14.BD=CE.理由：9：AB=AC^：.ZB=ZC.9：AD

=AE.：.ZADE=ZAED.：.ZADB=ZAEC.：.AACE.：.BD=CE

［拓展与延伸］

1.100°

2.略

1.5等腰三角形的轴对称性<2>

［实践与探索］

例1如图1.5.2,在△A6c中，己知NA=36°,ZC=720,6。

平分N43C,问图中共有几个等腰三角形？为什么？

解：图中共有3个等腰三角形.

4=36。,/。=72。，

・・・NABC=180°一（NA+NC=180°—<360+72°>=72°=/。,

•••△ABC是等腰三角形.

又♦:BD平分/ABC,：.ZABD=ZCBD=

NBDC=/A+/他。=36。+36。=72。，

即有NA=/ABD,/BDC=ZC.

・・・△43。和△5CO都是等腰三角形.

・••图1.5.2中共有3个等腰三角形.

D

例2如图1.5.3所示，在四边形ABC。中,N4BC=N4OC=

90°,“、N分别是AC8。的中点，试说明：

<1>DM=BM；<2>MN_LBD.

解：<1>・•,点〃是RtZ\/18C斜边的中点,J1AC,

2图

同理。M=-AC,BM=BM；

2

<2>>.<N是8。的中点又BM=DM,：.MNLBD.

回顾与反思<1>”等边对等角“和“等角对等边”是证明角相等或边相等的又一手

段，要能够将这两条定理结合在一起灵活运用,要分清区别和联系；

<2>看见直角三角形斜边的中点时,要联想”直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半”，这是我们常用的思维方式之一.

［训练与提高］

一、选择题：

1.D2.B3.D4.C

二、填空题：

5.等腰6.87.35。4。8.(1ABDE^AADE(24BCE

2

(3/AG/

三、解答题：

9.等腰三角形1().AABC,△AEF,人EBO,△FCO,AOBCBE=CF=LEF

2

11.平行12.1()cm

［拓展与延伸］

1.延长AE交BC延长线于产

2.略

1.5等腰三角形的轴对称性<3>

［实践与探索】

例1如图154,在△ABC中,AB=AC,N84C=

120°,点。、E在8C上，且8Q=4O,CE=AE.判断△AOE的形

状,并说明理由.

解：△八。七是等边三凭形.

理由：,：AB=AC.ZBAC=\20,：.ZB=ZC=3^\

•；BD=AD,AE=CE,

；.NB=N8AQ=30°,NC=NCAE=30°,，ZADE=ZDAE=ZAED=60\

・・・AWE是等边三角形.

例2等腰三角形的底边长为5cm,一腰上的中线把这个三角形的周长分为两

部分之差为3cni,则腰长为v>

A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不对

分析可以先画出草图，题中所给条件实质是腰长与底边长之差的绝对值为3

cm.因为底边长为5cm,所以腰长可能为8cm或2cm,但由于2cm+2cm<5cm,

故腰长不能为2cm,只能为8cm.

解：选8.

回顾与反思涉及求等腰三角形边或角时，常会出现“两解”的情况.这样的“解"需要

检验它是否满足三角形的三边或三角之间的关系.

［训练与提高］

一、选择题：

1.D2,D3.C4.A5.C

二、填空题：

6.等边、等边7.15°8.120°

三、解答题：

9.［0cm10、略11.(1EC=8O(2添加条件：A8=AC,是轴对称图形,

此时,N80C=120°,

12.过。点作AC平行线

［拓展与延伸1

1.添辅助线，通过/ACOg/BCE来说明

2.略

1.6等腰梯形的轴对称性vl>

［实践与探索］

4D

例1如图1.6.1,在梯形ABCO中,4。〃BC,AB=CD,/

点E在8c上,。七〃A8且平分NAOCQCQE是什么三角形？//\

请说明理由."£'

图161

解：△COE是等边三角形.

因为所以N8=NC.理由：”等腰梯形在同一底上的两个角相

等”

又因为AD〃BC,所以NADE=NCED.由。E平分NAOC,可得NAOE=NCQE,

于是NC£O=NCOE又因为A8〃O及所以N8=/CED,从而有NC=ZCED=Z

CDE,

所以△COE是等边三角形.

回顾与反思等腰梯形与等腰三角形有着紧密的联系.在研究等腰梯形时,要我想

到等腰三角形中的知识.

例2如图1.6.2,在梯形纸片ABC。中,AO〃BC,

NB=60°,A8=2,8C=6.将纸片折叠，使得点B与点。

恰好重合,折痕为4E,求A£和CE的长.

解・・•点8与点。沿折痕AE折叠后重合，

・・・△ABEdAOE,

图162

AZI=ZB=60°,Z3=Z4.

'：AD//BC,：.Z\=Z2=60°.

而N2+N3+N4=180°,AZ3+Z4=120°,AZ3=Z4=60°,

而/8=60°,・・・Z5=60°,因此,AABE是等边三角形.

・・・AE-BE=AB=2t：.CE=BC-BE=4.

回顾与反思解题过程中要把等腰梯形和一般梯形的特征区分开，不可误用.

［训练与提高］

一、选择题：

］.B2,C3.B

二、填空题：

4.108°,108°,72°5.276.①②③④7.1cm8.15°

三、解答题：

9.ZA=ZE10.72°、72°、1()8°、108°,11.成立

［拓展与延伸］

1.CE=-

2

过点C作CF//DB友AB的延长线于点人先证：zlDCB^AFBC^\CF=DB,又

四边形ABCD是等腰梢形，则4C=QB,故AC=CF,

易证：乙4OB=NACR所以为等腰直角三角形.

又因为C&LAB,易证：CE=AE=EF=AB+BC.人大

一2

1.6等腰梯形的轴对称性&EB卜

［实践与探索］

例1如图,ZXABC中,NACB=90°,D是AB的中点QE〃AC,且DE=-AC,

2

点尸在AC延长线上，且c产=LAC,请说明四边形AFED是等腰梯形.

./

略证：先说明四边形CFEQ是平行四边形.

由。。〃£尸,/b=乙4。。,且。。是尺7八48。斜边上的中线

得/A=NF,证得四边形AFED是等腰梯形

回顾与反思要证明梯形是等腰梯形时，只要证明同一底.上的两个角相等.

例2阅读下面的分析过程，并按要求回答问题.图

已知在四边形ABCD中/5=。。,4。=3。/。#6。.则四边形ABCD是等腰梯

形.你能说明理由吗？

分析：要证明四边形ABCD是等腰梯形，因为AB=Z)C,所以只需证四边形ABCD

是梯形即可；又因为A0W8C,故只需证AQ〃8C现有如图所示的几种添辅助线

的方法，可以任意选择其中一种图形，对原题进行证明.

GA

/\

/\

友嶙越二微利用全沙书产年腰二角44完》《万^^、、

期与赢究族斯赢岛B过破淡瀛段梯监嘉船瀛、、、平、、

E

与亍四边形共系起步：~B工----------------'

<1<4

图164<3

［训练与提高］

一、选择题：

1.C2.C3.Z?4.Z?5.C

二、填空题：

6.247.50°、50°、130°、130°,

8.是9.80°、80°

三、解答题：

10.略11.AABC^ADCB

12.是,理由：VZE=ZACE,：.AE=AC*：AD//BC,：.ZDAC=ZACE

・・・NE=Nr>AC・・・AD=6E・・・/1€'。4・・・八5=。。・・・梯形ABCD是等腰梯

形.

13.*：AB=ACy：.ZABC=ZACB.

•・・BDLAC,CELAB,；・ZBEC=NCDB=90°,BC=BC

：.ABEC^ACDB.：.BE=CD：.AE=AD.

80

：.AED=ZADE=I。——.・.・ZABC=ZACB=颈匚幺

22

・•・ZAED=/ABC.，ED//BC.

〈BE与CO相交于点4,・・.8E与CO不平行.

・•・四边形BCDE是梯形.丁ZEBC=ZDCB,：.梯形BCDE是等腰梯形.

［拓展与延伸］

1.26,32

2.解：设经过工秒后梯形力是等腰梯形,

•・•作MELBC于点E.DFLBC于点F.

:.BE=FN=AM=x.:.EF=MD=2T-x,CN=2x,BN=24-2x.

:.BN=2AM+MD.即24—左=2%+21—I.

第一章复习题

A组：

1.A2.C3.B4.D5.C6.、18或21,227.350、35°；40°、

100°或或°、70°8.3cm或7cm9.7,10或8.5,8.5

1().(130°,(219II.100°12.(140°,(235°,(336°

13.45°135°等腰14.等腰梯形15.3

B组：

16.略17.略18.2730°19.提示：先证：/AOEt。，贝UOE=

DC,

所以ZDEC=/DCE,又EF〃BC,所以ZDCE=NHC,则ZFEC=/DEC

12

2().—21.略

5

22.提示：连结CR、BP,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

第二章勾股定理与平方根答案

2.1平方根⑴

例1解：(l)V<i10>2=100,/.100的平方根是±10,即士而5=±10；

⑵•・,v±1.3>2=1.69,・・・1.69的平方根是±1.3,即±VL69=±1.3；

193993

(献・・2-=-,<±->2=-,的平方根是土二，即±

4424424

⑷・.・()2=0,.・.o的平方根是根即血=o.

回顾与反思：⑴正数的平方根有两个，它们互为相反数，要防止出现100的平方根是10

的错误；

⑵当被开方数是带分数时.应先将它化成假分数后再求平方根：

⑶0的平方根只有一个，就是0,负数没有平方根.

例2解：(1)・・・-64<0,・••一64没有平方根；

(2)V<-4>2=16>0；J<—有两个平方根，即土7(-4)2=±V16=±4；

⑶・・・—52=-25<0,・•・一52没有平方根；

⑷•・•/介表示81的正的平方根是9「.・9>0,・••同的平方根有两个是±3.

回顾与反思：象<一4>2、闻这样的数求平方根时，应先将这些数化简，再求化简后的数

的平方根.

例3解：⑴:/=196,・・・x是196的平方根，即工=±如歹=±14；

2忧是2的平方根，即』=±J5

・•・(X—3)是弓的平方根，即x-3=±|；

366

.2313

・・玉=7-,石=二

00

［训练与提高］

49

1.8：2。；3及4.3；5.±17；±4；6.+15：一一；7.-1；一；8.9；81；9.0.10.⑴

54

-8：(2)±1.3：(3)--；(4)-9：11.(1)±5；(2)±9；(3)4(4)3,—1；12.25；13.±4.

32

［拓展与延伸］

1.±9；2.±3.

2.1平方根⑵

/121121

例1分析：J10000表示10000的_________根；-表示三1的算术平方根的相

V225225

反数；士将表示器的_________根.

解⑴Jio(xx)=Vi^?=ioo；

⑵-保〜后小

⑶±舟±后=±9

回顾与反思：J10000表示10000的算术平方根，要防止出现而而=±100的错误.

探索：⑴发现：当G20时,(&)2

⑵发现：当。>0时,=〃，当。<0时,=—a：当a=0时,=0.

a(a>0)

即y［a^=1。1=<0(。=0).

-a(a<0)

例2解：⑴(-Jiy=3；(2)J(_3)2=3：⑶当工>0时,(J7)2=x；

⑷当。<0时,3。<0,^

a{a>0)

回顾与反思：等式值二。(。20)和"7二必上人也二。)，是算术平方根的两个重

-a(a<0)

要性质.以后经常会用到它们.

［训练与提高］

77____

IB2.A：3.B4.Q；5.D；6.C.7.⑴士15,15；(2)土一，一；(3)±0.1,0.1;(4)士后，历.

1212

(5)±2,2；8.2；士69.。之0,2；10.4二9；11.-1；12.-3,互为相反数.1341)1；(2)-2；

166

⑶士?:(4)0.17；(5).5；(6).-0.3；(7)4-.(8)—.

13915

［拓展与延伸1

1.±5,±1；12.5.

2.2立方根

例1分析因为立方与开方互为逆运算，因此我们可以用立方运算来求一个数的立方根,

也可以通过立方运算来验证一个数是否为另一个数的立方根.

8

例1解(1),.

27

82

(3)、⑷、⑸略.

4

3

卷

⑶略.

回顾与反思：⑴当被开方数带“一”号时，可把“一“提取到根号外后再计算；

⑵当被开方数是带分数时，应先化成假分数：

⑶当被开方数没化简时,应先化简后再求值.

例3解⑴2/=—］6,丁——8,x-N-8——2；⑵咯

回顾与反思：平方根与立方根的区别如下：(1)表示的意义不同；(2)右与必中的被开

方数a的取值范围不同，标中的a应满足心0函中的a可为任何数；(3)一个数的平方根

与立方根的个数也不同,一个数的平方根最多有两个，也可能是一个或者不存在，而它的立方

根总有且只有一个；⑷负数没有平方根，但负数有立方根.

［训练与提高］

53

1.B：2.C；3.0；4.8：5.±8,4,8：6.—1,5,一—，一.7.100：±8：8.7,-3；9.

62

⑴一10；(2)--；(3)-；(4)-；(5)--；(6)3.(7)0.3；⑻6.10.⑴-9.(2)8；(3)—16：⑷一

47235

4.11X1)5;(2)^9；(3)-4：(4)-2.

［拓展与延伸］

1.V9；2.37.5cm2.

2.3实数⑴

例1如图将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即

可拼成一个大正方形，容易知道，这个大正方形的面积是2,所以大正方形的边长是血.

这就是—1为1的正方形的对角线长是J5,利用这个事实，我们容易在数轴上画出表

示后的点，如磷患.

例2分析无理数不R—是无限小数，二是不循环.因此，要判定一个数是不是无

理数.应从它的定义去判击H表面上去号断.如带根号的数不一定是无理数，而我们熟

悉的圆周率不就是无岫.谓:

解有理数有一3.1415926,少335,0.13,,25

11336

无理数有一乃，狗，3—,0.1010010001.…

回顾与反思：有理数与无理数的区别是：前者是有限小数或无限循环小数，而后者一定

是无限不循环小数.

例3解(1)不正确.如2.35是无限小数，但它不是无理数;

(2)不正确.如2.3W是有理数，但它是无限小数；

⑶正确.因为无理数是无限不循环小数，当然是无限小数：

⑷不正确.如是有理数.

［训练与提高］

__22•冗__

1.B：2.C；3.C.4.实数；5.V25,—,0,252252225,3.46；5.121121121-,—,-718

723

6.A/6；7.±V5.

I拓展与延伸］

I.C；2.8.

2.3实数⑵

例1分析在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相

同所以我们可以用在有理数范围内的同样方法来求一个实数的相反数、绝对值.

解⑴・・・H^=—版=一4,・,・^^的相反数是4,绝对值是4：

3—乃的相反数是TC—33—71<0,|3—7T|=7T—3.

(2)・.•|、6|二百,|一及1二6,・•.这个数是±百

解由图可知,av0,:.|«|=-a.*.*b<c、：,c-b>(),••\c-t^=c-b

*.*<0,/?<0,.\\a-vt\=-a-b,

，M+|c-4一心+母=一々+(c-b)—(-a-b)=-a+c-b+a+b=c

回顾与反思：⑴根据实数在数轴上的位置可以确定与数的符号以及这些数的大小关系；

⑵在求一个数的绝对值时，首先要确定这个数的符号，然后根据”正数和零的绝对值是本

身，负数和零的绝对值是它的相反数”来求出它的绝对值.

⑶每个有理数都可以用数轴上的点来，但数轴上的点并不都表示有理数，数轴上的点与实

数是••对应的，即每个实数都可以用数轴上的•个点来表示，反过来数轴上的每一个点都表

示一个实数.

例3解：［1二•(石)2=5,(』)2二"，又5V"，，V5

2442

(2vV5V5-l<-,•,・苴匚<-

2224

回顾与反思：比较两个无理数的大小,通常可以用计算器求它们的近似值再进行比较.

估算一个无理数的大小，还可以用与它相近的有理数逐步逼近的方法来实现.

［训练与提高］

1.。；2.8；3,(1)2,2；(2)2-,2-；(3)—3,3；(4)75-2,75-2.4.<,<,<；5.-1,0.1；

33

6.V7-V3；7.(02.02；(2)-10.95；(3)-0.98；(4)1.29；8.⑴一5：(2)-4；(3)5-73-75；

(4)-9.9力-2a—2c.10<；<；<；>.

［拓展与延伸］

1.2a—b.2.4—72.

23近似数与有效数字

例1分析生活中形形色色的数，哪些是近似数？哪联是准确数?需要我们仔细去辨别.

脱离了现实背景的数，有时则无法区分.

解略.

例2解(1)43.8精确到十分位<即精确到0.1>,有3个有效数字,分别为4、3、8.

⑵0.03086精确到十万分位，有4个有效数字,分别为3、0、8、6.

⑶2.40万精确到百位，有3个有效数字,分别为2、4、0.

回顾与反思：由于2.40万的单位是万，所以不能看成精确到百分位，另外2.4万和2.40万

作为近似数，它们是不一样的.

例3解(D3.4802~3.48；⑵3.4802-3.480：

(3)3.1415926=3.14；(4)26802=2.7X104.

回顾与反思：(1本题⑴、⑵小题，由于精确度要求不同,同一个数的近似结果是不一样的,

所以第⑵题中3.480后面的0不能省略不写；反之同一个近似结果所对应的原数也不一定相

同，你能举例说明吗？

(2第⑷小题中若把结果写成2700(),就看不出哪些是保留的有效数字，所以此时要用科

学计数法，把结果写成2.7X104.

I训练与提高］

l.Z);2.C；3.A；4.略；5.⑴百分位,4个；⑵个，'立,2个；⑶千分位,3个；⑷个

位,5个；⑸万分位,3个；(6)万位,3个；(7)百分位,3个；⑻百万位,3个.

［拓展与延伸］(1)1X102；⑵-054；⑶-3.64X103；；(4)3.5.

2.4勾股定理(1

例1解：⑴在RtAA6C中,ZC=90",a2+Z?2=c2,a=6x=10,

/.b2=c2—a2=64,AZ;=8.<Z?=—8舍去〉

⑵在RtAABC中，/。=90。,・・・片+〃2=/,・.・4=4()”=9,

：.(r=cr+b1=1681,/.c=41..<c=—41舍去〉

⑶在RtAABC中，ZC=90°,Aa2+b2=c2,V/?=15,c=25,

/.(r=c2-b2=400,./.a=20..<a=-20舍去〉

⑷在RtAABC中，ZC=90°,A«2+Z>2=c2,V3a=4b,Aa：b=4：3,

，设a=4k力=3上则c=5k「・・c=2.5,・・・%=0.5,・・・a=2,4=1.5.

回顾与反思：勾股定理反映直角三角形中三边的关系，运用勾股定理在直角三角形的三

边中已知任意两边就可以求出第三边.

例2解①:•△/IBC中，ZACT=90MC=BC=l,

••・"=JAC^+BC2=7i2+i2=V2,

②：ZVIBC中，ZACB=90\BC=\,AB=2,

・•・4C=HAN-Bd=A/22-12=V3

回顾与反思：运用勾投定理的前提是三角形必须是直角三角形.若已知条件中没有直角

三角形时,应构造直角三角形后方可运用勾股定理.

I训练与提高］

l.D；2.A；3.13,60；4.225,39,225；5.5,近6.5；7.49；8.13；9.商

［拓展与延伸］4.

2.4勾股定理(2

例1略

例2解：由题意得NAO8=90。,40=30.80=40.

AB=^ACf+BO1=J3(/+4(F=5()v海里〉

答：1小时后两舰相距50海里

例3分析此题苜先要解决^ABC的面积，为此，可考虑作AO_L8c于Q.

解过4作于。，则AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.

设BQ=x，则CD=14-x,.*.I32—A2=152—<l4-x>2,

・・・x=5即BD=5,：.AD1=］44.

1,

・•・4D=12&ABC=—BC4Q=84加.

2

・•・费用84X50=420Ci元.

回顾与反思：(1勾股定理揭示了直角二角形的二边之间的关系，已知直角二角形中任意

两边就可以依据勾股定理求出第三边.在实际问题中若存在现成的直角三角形，就可以直接运

用勾股定理解决问题.

(2涉及面积计算往往需要添加辅助线〈高〉来构造直角三角形，从而运用勾股定理求得

相应的线段,进而求出所需面积.

［训练与提高］

1.D.2.D.3.4,6,2.4.7,1.8；5.3cm；6.略.

［拓展与延伸1

1.图略；2.图略.

2.5神秘的数组(

例1解⑴•・•/+〃=7?+242=625=25?=。2.根据直角三角形的判定条件知，由

〃、b、c为三边组成的三角形是直角三角形，且/C=90。.

(2)•・・〃+C?=22+1.52=6.25=2.52=/.根据直角三角形的判定条件知，由a、b、c

为三边组成的三角形是直角三角形，且NA=90。.

(3),.*c>a,c>b,a2+/?2=f—+12=—c2=I—I="，；・a：+从工d根据直

角三角形的判定条件知，由a、b、c为三边组成的三角形不是直角三角形.

回顾与反思：要判定一个三角形是否为直角三角形，只要计算两条较短边的平方和.以及

最长边的平方，然后看它们是否相等即可.

例2解•・•在△ABD中工82+月。2=9+］6=25=8。2,

・•・^ABD是直角三角形,NA是直角.

•・•在△BCD中,802+802=25+144=169=aZ

:.ABCD是直角三角形,NDBC是直角.

・•・这个零件符合要求.

回顾与反思：像<3,4,5>、<6,8,10>、<5,12,13>等满足a2+h2=c2的一组正整数，通常称

为勾股数.利用勾股数可以构造直角三角形.

例3解-：a2+b2=(n2-I)2+(In)2=n4-2n2+\-4n2=n4+2«2+1.

=(/+1尸=,2根据直角三角形的判定条件，得NC=90。.

［训练与提高1

1.8；2.B；3.C；4.C；5.C；6.直角三角,&7.12,13,5：直角三角形；8.直角三

角形，略

9.•・・A8_L8C・・.N8=90°,・・・AC2=AB2+4C2=5,又,.•AC2+CO2=5+4=9=A》..・・N4CO

=90°，,ACJ_CD10.是，略；11.连接4。「・・/4。。=90°AD=4,CD=3,.\AC2=AD1-1-CD2

=25,・・・AC=5,・・・A8=13.8C=12,，AC2+8C2=25+144=169=A82,/AC8=9O°,S=3O—6

=24.

［拓展与延伸］

1.连结EC；；D是BC的中点,。E_L8C于。，交AB于E,：,BE=CE*：«E2-£A2=/1C2,ACE2

-EA2=AC2^\CE1=EA2-\-AC2：.ZA=90°,2.»S

2.6勾股定理的应用(1

例1分析⑴根据勾股定理,直角三角形中若两直角边长分别为1个单位和3个单位则斜

边长为师个单位，因此，以原点为圆心，、而个单位长为半径画圆与数轴的交点表示的数即

分别为士加.

解：⑴如图图①；

⑵如图图②________________,>____________.:一

例2分析:几何应用问题重在将实际问题转化般陋问题，此题若设X石aDAE.

△EBC均为直角三角形，且它们的斜边相等，运用勾股定理可建立方程.

解：设A£=xkm,则8K=<25—x>km.A®

,：CE=DE,.\CE2=DE1.I

由勾股定理得1524-.?=<25-^>2+102图/7

解得x=10./

答：E站应建在距A站10km处.

回顾与反思：(I运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形.知d知条件中没有

直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理.

(2勾股定理是直角三角形中三边数量之间的一个关系式，也常被用作列方程的等量关

系：

［训练与提高］

1.B.2.C；3.34：4.5,13；5.24,4.8.6.41.7.能，略8.能，略：9.略；10.10；

11.4；12.25.

［拓展与延伸I

1.19.5w；2.作4O1BC于ZX设由题意10—『二17?—。+9>2,解得工=6.由勾股定

理得AQ=8.

2.6勾股定理的应用⑵

例1分析：设EC=xJ则OE=8-x,由于折叠长方形的边人。，且。落在点尸处，故△人所

和AAOE全等，则E产=8—*4/=4。=10,在RtAEFC中，运用勾股定理得到关于x的方程,

可以求出x的值.

解：设EC=xcm,则DE=<8_x>cm,AT\

•・•。、F关于A£对称:.AAFE^△AOE,Q

：,AF=AD=BC=10,EF=DE=8-x.\^\、'、、、、、、、

在RsA3尸中，Bb2=JA/72—432=6

：.FC=BC-BF=4.「

,,,图

在RsEFC中，由勾股定理得：厂+牛=(8-幻-,

解得x=3.

答：EC长为3cm..

回顾与反思：(1折叠问题和轴对称密切相关，要注意翻折图形的特征；

(2从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系72+

〃=c+看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把实际问题的条

件转化为解方程.

例2分析求证的结论中出现平方的形式，我们常可联想勾股定理.要运用勾股定理、首先

要找到与结论中的线段有关的直角三角形，若题中没有现成的直角三角形，则需要构造直角三

角形.A

解作AE1BC于E,则在△ADE中/+A序：

又•:ZI3AC=9()Q^B=AC,：.AE=BE=CE./

VBD2+CD2—<BE~DE>2~\~<CE+DE>2BDEC

=BU+CE+2D©图

=2AE2-\-2DET=2AD1,

ABD2+C£>2=2AD2.

回顾与反思：(1在三角形中若要说明某个角是直角，常常想到勾股定理的逆定理.

(2说明含某些线段的平方形式的问题，常通过作垂线构造直角三角形，运用勾股定理来

解决.

［训练与提高］

1.1.5.2.直角三角形；2.5.3.不一定，也可能只是〃=也4.略：5(1)3,(2)设。。=工,

77

由题意6?+f=<8—x>2,解得x=—/.CD=—.

I拓展与延伸］1.2〃；2.略.

第二章复习题1.±8：8；4：±5.2.4.3.一1,0,1.4.<,>.5.2-73,2->73.

6.±4.7.±1,±2.8.12.9.2,3.10.V34-2.11.xNO.任何实数.12.(1)2石.⑵

273,(3)10,24.13.V4?.14.30.15.B.I6.C.17.B.18.B.I9.C.20.G21.(1)

±V2.(2)-3.(3)3,-l；22.直角三角形.23.5cm.24.43.4.25.±1.26.2.27.2010.

28.x=6.29.2,V74.30.3.31.132.32.血,石，厢,历+♦.33.12.

34.2V10.6710.35.36.6〈提示：设C£>=x,由勾股定理得f+92+f+42=132>.37.

2

27vL38.<»>.

第三章中心对称图形(一参考答案