高中数学讲义微专题62 点线面位置关系

微专题62点线面位置关系的判定

一、基础知识

(-)直线与直线位置关系：

1、线线平行的判定

(1)平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行

(2)线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该

直线平行

(3)面面平行性质：

2、线线垂直的判定

(1)两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直

直线与平面位置关系：

(2)线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直

(二)直线与平面的位置关系

1、线面平行判定定理：

(1)若平面外的一条直线/与平面a上的一条直线平行，则/〃a

(2)若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行

2、线面垂直的判定：

(1)若直线/与平面a上的两条相交直线垂直，则

(2)两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直

(3)如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直

(三)平面与平面的位置关系

1、平面与平面平行的判定：

(1)如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行

(2)平行于同一个平面的两个平面平行

2、平面与平面垂直的判定

如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直

(四)利用空间向量判断线面位置关系

1刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量

平面：法向量

2、向量关系与线面关系的转化：

设直线〃力对应的法向量为。1,平面a,〃对应的法向量为机(其中凡。在外)

(1)a//b<=>a//b

(2)a_Lb=a

(3)aLa<=>a//m

(4)a//aoaVm

(5)a//f3<=>m//n

(6)aL/3mA_n

3、有关向量关系的结论

(1)若£〃及B〃乙则£〃2平行+平行一平行

(2)若〃入则£，"平行+垂直一垂直

(3)若则Q,C的位置关系不定。

4、如何用向量判断位置关系命题真假

(1)条件中的线面关系翻译成向量关系

(2)确定由条件能否得到结论

(3)将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假

二、典型例题：

例1：已知a,/?是两个不同的平面，相，〃是两条不同的直线，现给出下列命题：

①若mua,nua,m〃仇〃〃B、则a〃,；

②若a_1_民ua,则加_L力；

③若m±a,m//[5,则aJ_4；

④若根〃〃，mua,则〃〃a.

其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

思路：①为面面平行的判定，要求一个平面上两条相交直线，而①中加，〃不一定相交。所以

无法判定面面平行；②为面面垂直的性质，要求一个平面上垂直交线的直线，才与另一平面

垂直。而②中m不一定与交线垂直。所以不成立；③可用向量判定，设a,夕对应法向量为m,n,

直线加方向向量为a,则条件转换为：a//m,a±n,可推得mJ.〃，即a_L尸，③正确；

④为线面平行判定，要求“在a夕卜，所以④错误；综上只有1个命题正确

答案：B

例2：已知是不同的直线，a,£是不同的平面，以下命题正确的是（）

//n,mua,〃u。,则a〃/?；

mua,nu。,a//p,IVm,贝

③_La,〃J_p,a〃夕，则〃？〃〃；

a_L，，m//a,n//(3,WJm±/i；

A.②③B.③©C.②④D.③

思路：题目中涉及平行垂直较多，所以考虑利用正方体（举反例）或向量判断各个命题

①两平面各选一条直线，两直线平行不能判断出两个平面平

行，例如在正方体中在平面ABCO和平面CG。。中，虽然

AB//C.D,,但两个平面不平行，所以①错误

②例如：平面A5CO〃平面A4GA，BD±AC,但8D

与AB|不垂直，所以②错误

③考虑利用向量帮助解决：mnm"a,〃,0-n"B、a//B=a//B,所以可以推

断，？;〃〃，所以可得相〃〃

④考虑利用向量解决：a工B0a工B，ni〃a=m，a,n〃00n工B,由垂直关系不

能推出，"_L”,所以④错误

答案：D

例3：对于直线小〃和平面a,a〃尸的一个充分条件为（)

A.tnuaj/u氏〃〃aB.m//n,m//a,n///3

C.m//n,m±a,n±(3D.m±n,m±a,n±f3

思路：求a〃夕的充分条件，即从A,B,C,D中选出能判定a〃/

的条件，A选项：例如正方体中的平面ABCD和平面CD£>1C|

可知虽然A8〃平面CDRG,GR〃平面但这两个

平面不平行。B选项：也可利用A选项的例子说明无法推出

a//p,C选项可用向量模型进行分析：

m//n=>m//n,mLa=>m//a,n±/7=>n//(3,所以可得：a//(5,即a〃4；D选项可利

用A选项的例子：m=BC,n-CCt,可知m_L_L平面CDE>|G，平面ABC。，但

这两个平面不平行，综上所述，只有C为a〃4的一个充分条件

答案：C

例4：给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

思路：分别判断四个命题：①必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行，才可

判定两平面平行，所以①错误；②该命题为面面垂直的判定，正确；③空间中垂直同一条

直线的两条直线不一定平行，例如正方体中交于一点的三条棱；④可用反证法确定，假设该

直线与另一平面垂直，则必然垂直该平面上所有的直线，包括两平面的交线。所以与条件矛

盾。假设不成立。综上所述，正确的命题是②和④

答案：D

例5：已知加，〃表示两条不同直线，a表示平面，下列说法中正确的是（）

A.若，"_La,〃ua,则租_L〃

B.若优〃a,〃〃a则机〃n

C.若〃?J_a,mLn,则〃〃a

D.若加〃a,mLn,则

思路：A选项若直线与平面垂直，则直线与这个平面上的所有直线均垂直，所以A正确

B选项可用向量判断，m//am±a,n//a=>n±a,由，”_La,无法判断出

加，〃的关系，所以不能推出m〃〃；C选项并没有说明直线〃是否在平面a上，所以结论不

正确；D选项也可用向量判断，m//a=>mA,a,mA.n=>mA.n,同理由加_L_L”

无法判断的情况，所以无法推断出〃_La,综上所述：A正确

答案：A

例6：给出下列命题，其中正确的两个命题是（）

①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条异

面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线相_L平面a,直线〃_Lm,则〃〃a；@a,b

是异面直线，则存在唯一的平面a,使它与a力都平行且与a/距离相等

A.①②B.②③C.③④D.②④

答案：D

思路：①到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧，如果是同侧，则两点所在直线

与平面平行，如果异侧，则直线与平面相交，且交点为这两点的中点。②正确，证明如下：

如图，平面a〃尸,A,Cea,B,De尸，且民尸分别为的中点，过。作CG〃A8交夕

于G,连接BG,GD,设H是CG的中点

：.EH//BG,HF//GDEH//fi,HF//（3

.•.a〃平面£/*〃/AEF//a,EF//（3

③命题中没有说明直线〃是否在a上，所以不正确；④正确，设A8为异面直线。力的公垂

线段，E为A8中点，过后作。力的平行线。,5,从而由a,5确定的平面与a力平行且与a,b

的距离相等。所以该平面即为所求。

答案：D

例7：下列命题正确的个数是（）

①若直线/上有无数个点不在平面a内，则/〃a

②若直线/〃a,则与平面a内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

④若直线/〃a,则与平面a内的任意一条直线都没有公共点

A.0B.1C.2D.3

思路：①“无数个点”只是强调数量多，并不等同于“任意点”，即使直线与平面相交，直

线上也有无数个点不在平面内。所以①不正确；②若/〃a,说明/与a没有公共点，所以/

与a上任意一条直线M都没有公共点，但即使/,机无公共点，/,根的位置关系不只是有平行，

还有可能异面，所以②不正确；③线面平行的前提是直线在平面外，而命题③中没有说明“另

一条”直线是否在平面上，所以③不正确；命题④可由②得知，/与a上任意一条直线”都

没有公共点，命题④正确，综上所述，正确的有1个

答案：B

例8：直线为两异面直线，下列结论正确的是（）

A.过不在a,匕上的任何一点，可作一个平面与a,b都平行

B.过不在。力上的任何一点，可作一个直线与。力都相交

C.过不在a,b上的任何一点，可作一个直线与a,。都平行

D.过a有且只有一个平面与b平行

思路：A选项中，如果P点与。确定的平面与匕平行，则此平面只和。平行，a在此平面上，

所以这样的P是无法作出符合条件的平面；B选项由A所构造出的平面可得，若过户的直线/

与a相交，则/也在该平面上，所以/与人无公共点；若过P的直线/与人相交，则无法与a相

交，综上所述对于这样的P点无法作出符合条件的直线；C选项如果过户的直线与。乃均平行,

则由平行公理可知a〃力，与已知条件矛盾，所以C错误：D选项，如果a,b异面，则过a只

能做出一个平面与〃平行。在a上取两点分别作b的平行线c,d,则c,d所唯一确定的

平面和。平行，且a在此平面上。所以D正确

答案：D

例9：设/,加是两条异面直线，P是空间任意一点，则下列命题正确的是（)

A.过户点必存在平面与两异面直线/，机都垂直

B.过P点必存在平面与两异面直线/,机都平行

C.过P点必存在直线与两异面直线/,机都垂直

D.过P点必存在直线与两异面直线/,机都平行

思路：A选项，若平面与/，机均垂直，则推得/〃机，与/,加异面矛盾；B选项如果P点位于

某条直线上，则平面无法与该直线平行；C选项中直线的垂直包括异面垂直，所以可以讲/，机

平移至共面，过P的直线只需与这个平面线面垂直，即和/，阳都垂直，所以C正确；D选项如

果直线与/，加均平行，则由平行公理可得/〃加，与/,相异面矛盾。所以C正确

答案：C

例10：设/，机，〃是不同的直线，a,4,了是不重合的平面，则下列命题不正确的是（）

A.若加〃〃，m//p,“在厂外，则〃〃夕

B.若a_!_4,/_LQ,a,则

C.若a〃尸,=加，则/〃加

D.若AG（X,CGOC,BG（3,DG仇AB〃CD,且AB=CD,则a〃夕

思路：A选项可通过向量来判断：m//n=>m//n,m///?=>m±,由此可得：n工0,因

为〃在夕外，所以可判定〃〃4，A正确；B选项设a_1.4=〃z,y_L尸=〃，则a上所有点的

投影落在“？中，y上所有点的投影落在〃中，因为所以/上所有点的投影均在加,〃

的交点上，即/，尸，所以B正确；C选项符合面面平行的性质，即两个平面平行，第三个平

面与这两个平面相交，则交线平行，所以C正确；D选项中若A,C位于p同侧，则命题成立；

但如果位于0两侧，则满足条件的a与p相交。故不正确

答案：D

三、历年好题精选

1、（2016,山东胶州高三期末）设。,月,/为不同的平面，加,〃，/为不同的直线，则加，万的

一个充分条件为（）

A.a±/3,a（｝/3=l,mLlB.aC\y=m,（x.Ly,p-Ly

C.a1，Y，/3Ly,ml.aD.nA.a,nl./3,mLa

2、给出下面四个命题：

①“直线。〃直线力”的充要条件是“。平行于匕所在的平面”；

②“直线/人平面a内所有直线”的充要条件是“/，平面aM；

③“直线a,b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a,〃不相交”；

④“平面a〃平面夕”的必要不充分条件是“a内存在不共线三点到£的距离相等”.

其中正确命题的序号是（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

3、（2016,大连二十中期中考试）已知三个互不重合的平面a,/3,y,且

a^\/3-a,aC\y-b,/3^\y-c,给出下列命题（）

①若a_LZ?,a_Lc,则b-Lc②若aCl匕=P，则aric=P

③若aJ■仇a_Lc,则e_Ly④若a〃b,则。〃。

其中正确命题的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、（江西中南五校联考）已知孙〃是两条不同的直线，a,4是三个不同的平面，则下列命

题中正确的是（）

A.若a_L_L贝！jy//尸B.若〃"/〃，加ua,〃uQ,则a//4

C.若〃2//〃,〃2_La,〃_L,尸，则a//尸D.若M///,m//a,则〃//a

5、（2016,宁波高三期末）已知平面a与平面夕交于直线/,且直线aua,直线8u/?,则下

列命题箱号的是（）

A.若。_1_民。_1_/?,且。与/不垂直，则a_L/B.若a_L力，bA.1,则a_L〃

C.若a，。，b±l,且a与/不平行，则。J_/?D.若a_U,8_U,则aJ_/?

6、（2016）上海闸北12月月考）己知加，〃是两条不同直线，％尸是两个不同平面，给出下列

四个命题：

①若a,耳垂直于同一平面，则a与p平行

②若小,〃平行于同一平面，则加与〃平行

③若a,£不平行，则在a内不存在与尸平行的直线

④若小，〃不平行，则加与〃不可能垂直于同一平面

其中真命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

7、设a力为两条直线，/，为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（）

A.若a_La,Z?_LAa_LZ?,则夕_1_尸B,a//a,b///7,a〃夕，则a〃Z?

C.若aJ/a、bu0,a//h,则a〃夕D.若a〃a,a_L〃，则

8、（2015,广东文）若直线/「A是异面直线，4在平面a内，4在平面夕内，/是平面1与

平面，的交线，则下列命题正确的是（）

A./至少与//中的一条相交B./与//都相交

C./至多与4,4中的一条相交D./与都不相交

9、（2014,辽宁）已知加，〃表示两条不同的直线，a表示平面，下列说法正确的是（）

A.若mHa，nila,则/”〃"B.若加_La,〃ua,则/〃_L“

C.若，〃J__L〃，则”〃aD.若加〃a，m_Lzi,则“_L<z

习题答案：

1、答案：D

解析：A选项若加不在月上，则无法判定机_L〃；B选项：若a〃夕，则相〃夕，所以无法

判定；C选项，如果a,4,y来两两垂直，则无法判定根J_/；D选项，如果〃_La,〃_L4，

则a〃/7,再由m_La可判定

2、答案：D

解析：①若。平行于b所在的平面，则。力的关系为平行或异面，所以不是充要条件；

②由线面垂直定义可知：直线/，平面a当且仅当直线/_L平面a内所有直线，所以②正确；

③中若直线。力不相交，则可能平行。所以不能得到“直线a,b为异面直线”，③错误；④

若平面a〃平面△，则a内所有点到P的距离相等，当a内存在不共线三点到£的距离相等,

则两平面可能相交，这三点位于a的两侧。所以“a内存在不共线三点到夕的距离相等”是

“平面a〃平面夕”的必要不充分条件

3、答案：C

解析：当三个平面两两相交，交线平行或交于一点，所以若=则三条交线交于一点,

即aPk=P，若。〃b，则三条交线平行，a//c,所以②④正确；当三条交线交于一点时，

a±b,a±c,则仇c夹角不确定，所以①错误；若a_L6,a_Lc,因为。，。均在/上，所以可

知综上所述，②③④正确

4、答案：C

解析：A选项：垂直同一平面的两个平面可以平行，也可以相交，所以A错误

B选项：在正方体中，右侧面的棱与底面上的棱平行，但是这两个面不平行，所以