八年级上册数学：专题12 勾股定理的逆定理【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

专题L2勾股定理的逆定理【八大题型】

【北师大版】

♦题型梳理

【题型1判断三边能否构成直角三角形】...........................................................1

【题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点】..................................................3

【题型3在网格中判断直角三角形】..............................................................6

【题型4勾股数的探究】.........................................................................9

【题型5利用勾股定理的逆定理证明］...........................................................13

【题型6利用勾股定理的逆定理求解】...........................................................16

【题型7勾股逆定理的应用】....................................................................19

【题型8勾股定理及其逆定理的综合】...........................................................23

►举一反三

【知识点勾股定理的逆定理】

如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

【题型1判断三边能否构成直角三角形】

【例1】（2023春•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨德强学校校考期中）由线段人从c组成的三角形是直角三角

形的是（）

A.a=5,b=3,c=3B.a=^,b=^,c=-

354

C.a=6,b=4,c=5D.a=7,b=24,c=25

【答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答.

【详解】解:A、32+32=18*52,故不能组成直角三角形，故不合题意；

B、GY+GY=益工（!）♦故不能组成直角三角形，故不合题意；

C、42+52=41662,故不能组成直角三角形，故不合题意；

D、72+242=625=252,故不能组成直角三角形，故不合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

【变式1-11（2023春・湖北孝感•八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a,b,c,且满足（Q+b）（a-h）=

c2,则这个三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定

【答案】B

【分析】将原式整理为〃=b2+c2f即可判断.

【详解】解：:,（a+b）（a—b）=

Aa2—b2=c2,

/.a2=b2+c2,

・•・这个三角形是直角三角形；

故选:B.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟练掌握勾股定理逆定理、得出。2=廿+。2是解题

的关键.

【变式1-2]（2023春•八年级单元测试）如图，以△4ZJC的两边3C、AC分别向外作正方形，它们的面积分

2

别是Sr52，若Si=2,S2=3,AB=5,则△4BC的形状是________三角形.

【答案】直角

【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理的逆定理即可得出答案.

【详解】解：/Si=2,S2=3,

：.BC2=2,AC2=3,

'：AB2=5,

：.AC2十BC2=AB2,

・•・A718。是直角三角形，

故答案为：直角.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和正方形面积的应用，理解勾股定理的逆定理的内容是解题的关键.

【变式1-3]（2023春・广东惠州•八年级校考期中）有四种说法：①三个内角之比为5:6:1；②三边形长分别

为：V2,V7,V5；③三边之长为9、40、41；④三边之比为1.5：2：3.其中层直角三角形的有

（填序号）.

【答案】①②③

【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理进行求解即可.

【详解】解：•・•三角形三个内角之比为5:6:1,

・•・三角形最大的内角为180。x=90°,

5+6+1

・.・该二角形为直角三角形，故①正确；

•・・（a）2+（伺2=（⑺2,

・•・该三角形为直角三角形，故②正确；

V92+402=412,

・•・该三角形为直角三角形，故③正确；

V1.52+22工32,

・•・该三角形不是直角三角形，故④错误；

故答案为：①②③.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理得逆定理，熟知三角形内角和为180度和勾股定理的

逆定理是解题的关键.

【题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点】

【例2】（2023春.全国.八年级专题练习）同一平面内有4R,C三点,A,B两点之间的距离为5cm.点C到

直线48的距离为2cm,且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有个.

【答案】8

【分析】该题存在两种情况；（1）A8为斜边，MzC=90°；（2）A8为直角边，AC=2cm^C=2cm：

【详解】（1）当4B为斜边时，点C到直线48的距离为2cm,即AB边上的高为2cm,符合要求的。点有4

个，如图：

（2）当A8为直角边时，AC=2cm或BC=2cm,符合条件的点有4个，如图;

而可得出m=0：当NOBA=90。时，点B在x轴上，进而可得出m=5；当NAOB=90。时，利用勾股定理

可得出关于m的一元二次方程，解之即可得Him的值.综上，对照四个选项即可得出结论.

【详解】

解：分三种情况考虑（如图所示）：

当NOAB=90。时，m=0；

当NOBA=90。时，m-5=0,解得：m=5；

当NAOB=90。时，AB2=OA2+OB2,即25=4+m2+4+m2Tom+25,

解得：mi=1,012=4.

综上所述：m的值可以为0,5,I,4.

故选B.

【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分NOAB=90。，ZOBA=90°,NAOB=90。三种情况

求出m的值是解题的关键.

【变式2-3】（2023春・全国•八年级专题练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,点A,8在小正

方形的顶点上，在图中画ZL4BC（点C在小正方形的顶点上），使ZL4BC为直角三角形，并说明理由.（要求

画出两个，且两个三角形不全等）

1..

【答案】小WC为直角三角形，理由详见解析•.

【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可.

【详解】解；如图所示.

如图I,在中，

AC=5,BC=3,

AB2=32+52=34

因为心+BC2=52+32=34=AB2f

所以乙ACB=90°,

即/ABC为直角三角形.

如图2,在RSACD中,

AC2=CD2+AD2=I24-l2=2.

在AM8CE中，CB2=CE2+BE2=42+42=32.

在/中，AB2=AF2+BF2=32+52=34.

所以4c2+c/2=AB21

所以2cB=90%即2MBe为直角三角形.

【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键

【题型3在网格中判断直角三角形】

【例3】（2023春・北京西城•八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,△力BC的

三个顶点A,8,。都在格点上，，1。是BC边上的中线，那么力。的长为（）

A.2.5B.3C.2V2D.V5

【答案】A

【分析】由勾股定理可得4。2=5,8。2=25,482=20,则4。2+432=8。2,即△A8C是直角三角形，然后

由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答.

【详解】解：由勾股定理可得4。2=5,8。2=25,力”=20,

：.AC2+AB2=BC2,即△力BC是直角三角形,

,・MD是BC边上的中线,

：.AD=^BC=2.5.

故选：A.

【点睛】本题主要考行了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识点，根据勾股定理逆定理判定

是直角三角形是基础，掌握斜边上的中线的性质是解题的关键.

【变式3-1］（2023春・广东湛江•八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为I,A、B、。是小正方

形的顶点，则乙4BC的度数为.

【答案】45°

【分析】根据勾股定理得到48,BC,4。的长度，再判断△ABC是等腰宜角三角形，进而得出结论.

【详解】解:如图，连接4C，

C

2222

由题意，AC=V2+I=V5,BC=&2+12=75,AB=Vl+3=VW,

：.AC=BC,AB2=AC2+BC2,

・•・A/IBC是等腰直角三角形，且乙4CB=90。，

：.LABC=乙CAB=45°.

故答案为：45°.

【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△48C是等腰直角三

角形是解决本题的关键.

【变式3-2］（2023春・广东惠州・八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1.

（1）求四边形43C0的面枳与周长；

⑵求证：乙BCD=90°.

【答案】（1）周长为：8&+2旧；面积为：32

⑵见解析

【分析】（1）借助正方形的小格，根据勾股定理分别计算四边形的各边的长，从而求得四边形的周长;

（2）在△4BC中，根据勾股定理的逆定理进行判定.

【详解】（1）解：根据勾股定理可知48=3V2,BC=V34.CD=V34,AD=5

•••四边形48CD的周长为3&+5V2+V34+V34=8V2+2734；

面积为：8x8--x3x3--x5x5--x5x3--x3x5=32.

2222

（2）证明：连接8D,

•••BC=V34,CD=V34,DB=倔,

•.BC2+CD2=BD2.

是直角三角形，即48CD=90°.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用以及勾股定理逆定理的之用，掌握勾股定理是解题的关键.

【变式3-3】(2023春♦八年级单元测试)如图所示的是2x5的正方形网格，点4B,P都在网格点上，则

乙4PB=.

【答案】135°

【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得aPCB是等腰直角三角形，可得48PC=45。，即可求解.

【详解】解•：延长AP至C,连接BC,

CP=CB=V22+I2=V5,

BP=V32+I2=V10,

•.•(匹)2+(V5)2=(V10)2,即CP?+CB2=BP2,

••.△PC8是等腰直角三角形，

Z.BPC=45°,

：.LAPB=180°-45°=135°,

故答案为:135°.

【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是得到APCB是等腰直角三角形.

【题型4勾股数的探究】

【例4】(2023春・安徽阜阳•八年级统考期末)法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如/+/=z2的方

程，显然，这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数的解(x,y,z)叫做勾股数.如(3,4,5)就是一组

勾股数.

(1)请你再写出两组勾股数：(),();

(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，％=2⑶y=

n2-l,z=n2+l,那么，以％,y,z为三边的三角形为直角三角形（即，y,z为勾股数），请你加以证

明.

【答案】（1）5,12,13：7,24,25

（2）证明见解析

【分析】（1）根据/+y2=z2,即可得出5,12,13、7,24,25是勾股数：

（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案.

【详解】（1）•••52+122=169,132=169,

AS2+122=132,

A5,12,13是勾股数；

V72+24Z=625,25Z=625,

A72十242=252,

・・・7,24,25是勾股数；

故答案为：5,12,13；7,24,25；

（2）证明：Vx=2n,y=n2—1,

工/+y2

=（2n）2+（n2-I）2

=4n2+n4-2n2+1

二小+2n2+1

=（n2+l）2

=z2,

即北y,z为勾股数.

・••以x,y,z为三边的三角形为直角三角形.

【点睛】此题考查勾股逆定理的证明，勾股数的规律探究，掌握勾股逆定理的证明，根据勾股定理得出勾股

数是解题的关键.

【变式4-1]（2023春•四川达州•八年级校考期中）以下列各组数据中的三个数，其中是勾股数的是（）

A.V3,Ax^5B.6,8,10C.1,AV3D.2,3,4

【答案】B

【分析】根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案.

【详解】解:A、V32+V42=7,V52=5,7/5,故此选项错误;

B、62+82=100,102=100,且100=100,故此选项正确;

C、12+V22=3,V32=3,3=3,V2,百不是整数，故此选项错误:

D、22+32=13,42=16,13R16,故此选项错误.

故答案为：B.

【点睛】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足a2+/=c2.

[变式4-2]（2023春•全国•八年级专题练习）一个直角一角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整

数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数''老师给出了下表（其中〃?，〃为正整数，且m>〃）：

m23344・・・

n11212•••

222222

a2+I3+I32+2242+124+2•••

b4612816•・・

22222222

c22-123-l3-24-l4-2•••

（1）探究a，b,。与机，〃之间的关系并用含〃1,〃的代数式表示：a=,b=,c=

⑵以a,b,c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由.

【答案】（Dm?+2mn,m2-n2

（2）以小力，c•为边长的三角形一定为直角三角形，理由见解析

【分析】（1）根据给出的数据总结即可；

（2）分别计算出a?、b\c2,根据勾股定理逆定理进行判断.

【详解】（1）解：观察可得〃二h2+力2,h=2rnn,「二.2—”2,

2222

故答案为：m+nf2mn,m-n；

（2）以a,b,c为边长的三角形一定为直角三角形，理由如下：

a2=（m2+*）2=m4+2m2n24-n4,

22444224

bc=m—27n2n2+n+4m2n2=m4-2mn+n»

.'•a2=b2+c2,

・••以a,b,c,为边长的三角形一定为直角三角形.

【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理的逆定理，熟练掌握：如果三角形的三边长Q,b,C满足o2+垓=c2,

那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键.

【变式4-3](2023春•重庆北倍・八年级西南大学附中校考期中)勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国

西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直

角三角形叫“整数直角三角形这三个整数叫做一组“勾股数”,如：3,4,5：5,12,13；7,24,25；8,

15,17；9,40,41等等都是勾股数.

(I)小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写

成这两个整数的平方差.如3,4,5中，5=22+/,3=22-产；5,12,13中，13=32+22,5=3?-2?；请

证明：〃?，〃为正整数，且〃?>〃，若有一个直角三角形斜边长为楸2+若,有一条直角长为机2_则该直角

三角形一定为“整数直角三角形”；

(2)有一个直用三角形两直角边长分别为旧厂7和"150-30b,斜边长4质，且“和”均为正整数，用

含3的代数式表示内并求出，和〃的值；

(3)若C尸a『+历2,C2=a22+b22f其中，。八④、b/、岳均为正整数.证明：存在一个整数直用三角形，其

斜边长为C/・C2.

【答案】(1)见解析；(2)a=W丝，。=31,〃=4；(3)见解析

【分析】(I)根据勾股定理:利用(mW)2-(>-〃2)2,解得另一条直角边长为29,因为/〃，〃为正

整数,所以29也为正整数，即可得证;

(2)首先根据勾股定理求出Q关于b的代数式，再根据被开方数错大于等于()，即可求得a、b的范围，且a、

b均为正整数，将〃的可能值：1,2,3,4分别代入，即可求得符合条件的正整数a、b；

(3)观察发现，当力=6=1,。2=岳=2时，,・C2=5X5=25,而252=15?+20Z,故存在.

【详解】(1)证明：,:(〃『+〃2)2.2

=Cnr+rr+m2-n2)•(nr+n2-nr+n2)

=2〃P・2/

=(2/wz)2,

:.(2mn)2+(加2_/)2=(机2+/)2,

为正整数，且〃?>〃，

2mn,nr-n2,m2+n2均为正整数，

・•・该直角三角形一定为“整数直角三角形”；

(2)由勾股定理得;

7a-7+(150-30/?)=16x15,

.97+30b

..a=-----,

7

由题意可知：7a-7>0,150・30与>0,

0<b<5,

•・Z和b均为正整数，

・•"的可能值为：1,2,3,4,

当b=l时，。=炉=早，不是正整数，故b=l不符合题意；

当b=2时，。=宁二手，不是正整数，故方=2不符合题意；

当b=3时，。=亨=手，不是正整数，故〃=3不符合题意；

当b=4时，a=答空=半=31,是正整数，此时V7a-7=/HU,150-30b=历,

V（^10）2+（V30）2=240,（4715）2=240,

.,.(V210)2+(V30)2=(4V15)2,

:•匕=4符合题意,

（3）证明：观察发现，当〃/=力/=1,〃2=岳=2时，C・O2=5X5=25,

152+202=225+400=625,252=625,

A152+202=252.

・•・存在一个整数直角三角形，其斜边长为。・C2.

【点睛】本题目考查勾股定理，难股一般，也是中考的常考知识点，熟练掌握勾股定理的应用以及二次根式

的相关性质是顺利解答此题的关键.

【题型5利用勾股定理的逆定理证明】

【例5】（2023•江苏•八年级假期作业）如图，已知垂足为。，BD=1,CD=2,AD=4.求证:

/-ACB=90°.

ADB

【答案】见解析

【分析】根据勾股定理得出8c2,AC2,进而利用勾股定理的逆定理解答即可.

【详解】证明：VCDLAB,垂足为。，BD=1,CD=2,AD=4,

：.BC2=BD2+CD2=l2+22=5,AC2=AD2+CD2=42+22=20,

=AD+BD=4+1=5,

：,AB2=25=AC2+BC2=20+5,

・•・A48。是直角三角形，

：.LACB=90°.

【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理与其逆定理的区别是解题的关键.

【变式5-1](2023・江苏•八年级假期作业)在4力BC的三边分别是Q、b、c,且Q=n2-1,b=2n,c=n2+1,

判断△ABC的形状，证明你的结论.

【答案】直角二角形，理由见解析

【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可.

【详解】解：M-l,b=2几c=M+1

Aa2=(n2-=n4-2n2+1,

b2=(2n)2=4n2,

c2=(n2+l)2=n4+2n2+1,

：.a2+b2=c2,

故A是直角三角形.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，会利用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三

角形是解答的关键.

【变式5-2](2023春•八年级课时练习)如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形.已知这三个正方形

构戊的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断.

【答案】△48C是直角三角形，证明见解析

【分析】设坐标绿色部分的面积和为。，右边绿色部分的面积为从蓝色部分的面积和为c，坐标空白部分的

面枳为d，右边空白部分的面枳为e,

【详解】设坐标绿色部分的面积和为。，右边绿色部分的面积为从蓝色部分的面枳和为c,坐标空白部分的

面积为d,右边空白部分的面积为。，然后根据绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等列式得到(a+d)+

(b+e)=c+d+e,然后由a+d=AC?/,+。=8C?求解即可..

•・•绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等

.\a+b=c

，a+b+d+e=c+d+e

:.(a+d)+(b+e)=c+d+e

a+d=AC2,b+e=BC2

，c+d+e=AB2

：.AC2+BC2=AB2

・•・440。足直角二角形.

【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理.

【变式5-3](2023春•江苏盐城•八年级统考期中)如图，在△力8C中，AB=7,AC=25,4D是中线，点E

在的延长线上，且A0=ED=12.

(1)求证：ZiCDE三△BDA；

(2)证明:CE1AE；

(3)求A/IBC的面积.

【答案】(I)见解析

(2)见解析

(3)84

【分析】(1)根据SAS证明ZiCDE三△BZM即可；

(2)结论：△4CE是宜.角三角形；首先根据推出CE=AB=7,最后根据勾股定理的逆定

理即可证明：

（3）由全等三角形的性质得出SM§C=SAAC£，所以计算△ACE的面积，即可得出aABC的面积.

【详解】（1）证明：・・N。是边8c上的中线，

：.BD=CD,

在A8ZX4和ZiCDE中，

（AD=BD

\LADB=乙EDC，

（BD=CD

/.ACDE三4BDA（SAS）,

（2）结论：△4CE是直角三角形；

理由：由（1）知：△CDEBDA,

：,CE=AB=7,

f：AD=ED=12,

C,AE—24,

'：AE2+CE2=242+72=625,AC2=252=625,

.\AE2+CE2=AC2,

：,LE=90°,

是直角三角形；

（3）a：^CDE^^BDA,

••SACDE+^AADC=S&ADC+SA80A，

•・SAABC=S—CE，

VS^ACE=-AE-CE=-x24x7=84,

22

♦・S^ABC=84。

【点睛】此题是三角形的综合题，考查三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆定理的运用,三角形的面积

计算方法，掌握三角形全等的判定方法与勾股定理逆定理是解决问题的关键.

【题型6利用勾股定理的逆定理求解】

【例6】（2023春・山西吕梁•八年级统考期末）如图，在△48C中，AB=5,BC=4,AC=.,将三角形纸

片沿4D折叠，使点C落在边上的点E处，则△BDE的周长为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】利用勾股定理的逆定理判断出4c=90。，利用翻折不变性可得4E=4C=3,推出BE=2,即可解

决问题.

【详解】解：在中,*：AB=5,BC=4,AC=3,

222

：,AB=BC+ACf

・•・AABC是直角三角形，且乙C=90。，

由翻折的性质可如：AE=AC=3,CD=DE,

：,BE=2,

:.kBOE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=4+2=6,

故选:D.

【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【变式6-11（2023春•湖北襄阳・八年级统考期中）如图，在△43c中，点D在218上"8=AC,BC=S,BD=3,

CD=4.求AC的长.

【答案】AC=^-

6

【分析】由勾股定理的逆定理判定48DC=90。，再在Rta/IQC中利用勾股定理列方程即可解答.

【详解】解：VFC=5,BD=3,CD=4,

：.BD2+CD2=32+42=25=BC2.

工乙BDC=90°.

：.LADC=180°-乙BDC=90°.

:.AD2-\-CD2=AC2.

设4c=x.

*：AB=AC,BD=3,

*.AD=x—3.

：.(X-3)2+42=X2.

解得”=

6

：,AC=-.

6

【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关健在于熟练掌握定理，灵活运用.

【变式6-2](2023春・河南开封•八年级统考期末)己知△力8。的三边分别为〃、b、c,且满足(Q+2b-II)2+

12a-b-21=10c-25-c2,请你判断△力8c的形状，并求出其周长与面积.

【答案】△48C是直角三角形，它的周长是12,面积是6

【分析】首先把原等式变形为(a+2b-ll)2+|2a-匕一2|+(c-5)2=0,利用非负数的性质，建立三元

一次方程组，求得〃、从。的数值，利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状，进一步求得周长和面积即可.

【详解】解：由题意得(a+2b-ll)2+|2a-b-2|+c2-10c+25=0,

+2b-ll)2+|2a-b-2|+(c-5)2=0,

(a+2b—11=0

：•2a-b-2=0,

c-5=0

G=3»b=4,c=5,

•：a2+b2=c2,

・•・AABC是直角三角形，它的周长是3+4+5=12,

面积是3x3x4=6.

【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解三元一次方程组，勾股定理逆定理以及三角形的周长

和面积的计算方法；注意解题的思路与方法的灵活性.

【变式6-3](2023春•陕西榆林•八年级校考期末)已知在△力C8中，4c=12,BC=5MB=13,点E为边4c

上的动点，点6为边48上的动点，贝IJ/E+E8的最小值是.

C

E

AB

【答案】詈

【分析】先根据勾股定理的逆定理可得，ACB=90。，再作点B关于AC的对称点B',连接反然后

根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当B'F时，线段FE+E8的值最小，最小值为夕凡最后利用

三角形的面积公式即可得.

【详解】解：•••在A/1CB中，AC=12,BC=5,AB=13,

:.AC2+HC2=AH2,

.•.△ABC是直角三角形，且41C8=9O。，

如图，作点8关于力C的对称点用,连接夕月夕,

B'C=BC=5,BB,=2BC=10,=BE,

：.FE+EB=FE+B'E,

由两点之间线段最短可知，当点9,E,F共线时，FE+夕E最小，最小值为eF,

由垂线段最短可知，当时,夕F的值最小，

又S.BB，=•B，F=1/1C-BB\

.--"x138'F=^x12x10,

22

解得8/=喂，

JLJ

即5E+E8的最小值为詈，

故答案为：詈.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质等知识点，熟练掌

握轴对称的性质和勾股定理的逆定理是解题关键.

【题型7勾股逆定理的应用】

【例7】（2023春・广东广州.八年级统考期中）如图，在笔直的公路力8旁有一座山，从山另一边的C处到公

路上的停靠站A的距离为力C=15km,与公路上另一停靠站B的距离为8c=20km,停靠站4B之间的距离

为AB=25km,为方便运输货物现要从公路48上的。处开凿隧道修通一条公路到。处，且CD1AB.

（1）请判断A4BC的形状?

（2）求修建的公路C"的长.

【答案】（I）直角三角形

⑵12km

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，由AC2+8C2=A82得到△力8c是直角三角形.

（2）利用△ABC的面积公式可得，CD・AB=AC-BC,从而求出CD的长.

【详解】（1）解：△48C是直角三角形.

理由：AC=15km,BC=20km,AB=25km,

152+202=252,

AC24-BC2=AB2,

:.Z.ACB=90°,

.••△力3。是直角三角形.

(2)解：•••CDLAB,

-S^ABC=^AB-CD=^AC-BC,

15X20

/.CD==12(km).

AB25

答：修建的公路CD的长是12km.

【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三常形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理

及其逆定理是解题的关键.

【变式7-1]（2023春・广西南宁•八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）森林火灾是一种常见的自然灾害,

危害很大.随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，△48C区域内是一

片森林，有一台救火飞机沿东西方向48,由点A飞向点8,己知点C为其中一个着火点，且点。与点48的

距离分别为600m和800m,又A8=1000m,飞机中心周围500rl以内可以受到洒水影响.

(1)求△4BC的面积.

(2)着火点C能否受到洒水影响？为什么？

【答案】⑴Z4U0U0m2

(2)受影响

【分析】(1)利用勾股定理的逆定理得出△48C是直角三角形，再利用面积公式计算即可；

(2)过点C作CD1A8于。，利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响.

【详解】(1)解：*：AC=600m,BC=800m,AB=1000m,

：,AC2+BC2=AB2,

・•・AABC是直角三角形，

•'•SMBC=ACxBC=24000Cm2；

(2)如图，过点C作。0于D,

:*S&AABC=鼻力',BC=]CD-ABf

•••600x800=1000CD,

CD=480,

•••飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，

.••着火点C受洒水影响.

【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾

股定理解答.

【变式7-2](2023春・广西桂林•八年级统考期中)一根12米的电线杆A8,用铁丝AC、A。固定，现已知用

去铁丝AC=15米，4力=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，8、。两点之间距离是5米，则

电线杆和地面是否垂直，为什么？

【答案】电线杆和地面垂直，理由见解析

【分析】由勾股定理的逆定理判断AABD是直角三角形，aABC是直角三角形，即可解答.

【详解】解：电线杆和地面垂直，理由如下：

连接BD

在△AB。中，*/=52+12:=169=132=AZ>2,

•••△A8D是直角三角形，且NABD=90。，

：.AB±BD,

在△48c中，VBC2+AB2=92+\?r=225=]52=AC2,

・•・△ABC是直角三角形，且N4BC=90。，

・•・电线杆和地面垂直.

【点睛】本题考杳勾股定理的逆定理，是重要考点，掌握相关知只是解题关键.

【变式,7-3]（2023春•八年级课时练习）海面上有两个疑似漂浮目标.A舰艇以12海里/时的速度离开港口

O,向北偏西50。方向航行；同时，8舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所

示，离开港口5小时后两船相距100海里，则4舰艇的航行方向是

【答案】北偏东40。

【分析】根据勾股定理的逆定理判断AAOB是直角三角形，求出£800的度数即可.

【详解】由题意得，。力=12x5=60（海里），08=16x5=80（海里），

又=100海里,

V602+802=1002,

即。口2+=AB2

：.z.AOB=90°,

"：£DOA=50°,

：.LBOD=40°,

则8舰艇的航行方向是北偏东40。，

故答案为：北偏东40。.

【点睛】本题考壹的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出△AOE是直角一:角形是解

决问题的关键.

【题型8勾股定理及其逆定理的综合】

【例8】（2023春•全国•八年级期末）如图，在△A8C中，。是△A8C内一点，连接40、BD,且A。180.己

知H0=4,BD=3,AC=13,BC=12.则图中阴影部分的面积为.

A

【答案】24

【分析】先根据勾股定理求出力氏然后根据勾股定理的逆定理，得△力8C是直角三角形，根据阴影部分的面

J-SA/|FC~即可•

【详解】:力。1BD,

：,AB2=AD2+BD2,

*：AD=4,BD=3,

'•AB=5,

'：AC=13,DC=12,

：.AC2=169,8c2=144,AB?=25,

：,AC2=BC2+AB2,

是直角三角形，

设阴影部分的面积S,

=x

••S=SMBC-S.ABD|力BxSC—|xADxBD,

AS=24,

・••设阴影部分的面积为：24.

故答案为:24.

【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用和勾股定理的逆定理.

【变式8-1]（2023春•江西赣州•八年级期中）如图，已知正方形4BCD的边长为4,