反证法-高二数学理科选修教学课件(人教A版)

第二章推理与证明

反证法1.

什么是反证法?它的基本原理是什么?2.用反证法证明命题应掌握什么要点?学习要点

问题1.

将9个球分别染成红色或白色,同色的球至少有多少个?为什么?同色的球至少有5个.原因是:则红色球少于5个,白色球也少于5个,即红色球最多4个,白色球也最多4个,假设同色的球少于5个,这个结果与已知9个球矛盾.也就是结果推翻了已知条件,所以假设不成立,那么同色球至少有5个是正确的.两种颜色的球之和最多8个.

问题2.

如果两个平面平行,在一个平面内的直线是否平行另一个平面?为什么?abl

在一个平面内的直线一定平行另一个平面.如图,平面a//b,直线l

a.假设l

与b

不平行,l

又不在b

内,那么l

必与b

相交,设交点为P,由于l

a,则P

a,于是a

与b

就有公共点P,P这与已知的a//b

矛盾,所以假设是错误的.

一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.反证法是间接证明的一种基本方法.用反证法证明命题时:(1)假设命题不成立要作为条件应用.(2)推证的结论不能与反证过程中已用的条件相矛盾.反证法其实就是对原命题的逆否命题的证明.

例4.

已知直线a,b

和平面a,如果a

a,b

a,且a//b,求证a//a.aab证明:因为a//b,所以a,b

确定一个平面,设为b(如图),b因为a

a,b

a,所以b∩a=b.假设a

与a

不平行,而a

a,则a

与a

相交,设交点为P,则点P

是平面a

与b

的公共点,P所以点P

必在交线b

上,则直线a与b

相交于P,这结论与a//b

矛盾,所以假设不成立,原命题得证.例5.

求证是无理数.证明:假设不是无理数,那么它就是有理数,就可写成分数的形式,即(m,n是互质的正整数)得m2=2n2,于是得m

是偶数,设m=2k,k

为正整数,又得4k2=2n2,即2k2=n2,于是得n

也是偶数,此结论与m,n

互质矛盾,所以假设不成立,从而得是无理数.练习:(课本91页)第1、2题.练习:(课本91页)

1.

证明:在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定是锐角.证明:假设∠B不是锐角,因为三角形中的角是正角,则∠B≥90,因为∠C是直角,所以∠B+∠C≥180,则∠A+∠B+∠C>180,此结论与三角形内角和为180

相矛盾,所以假设不成立,原命题得证.2.

求证:不可能成等差数列.证明:假设成等差数列,则得得得25=40,25=40显然不成立,所以假设不成立,则原命题得证.【课时小结】1.

反证法

一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.反证法是间接证明的一种基本方法.反证法就是对原命题的逆否命题的证明.【课时小结】2.

反证法的证明要点(1)假设命题不成立要作为条件应用.(2)推证的结论不能与反证过程中已用的条件相矛盾.习题2.1A组第1、4题.1.

已知a0,证明x

的方程ax=b

有且只有一个根.证明:采用反证法.假设方程不止一个根,不妨设有两不等根x1,x2,则ax1=b,ax2=b,①②①-②得a(x1-x2)=0,因为x1

x2,所以只有a=0,这结论与已知a0矛盾,所以假设不成立,(1)因为a0,所以一定有一根(2)证明只有一个根,原命题得证.习题2.2A组

4.

△ABC的三边a,b,c

的倒数成等差数列,求证证明:假设不成