2024-2025学年河北省承德市双滦区高二下册数学3月月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年河北省承德市双滦区高二下学期数学3月月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知函数，则（）A. B.1 C.2 D.32.已知函数在处的切线方程为，则（）A.0 B. C. D.-83.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.4.已知f(x)＝ln(2x＋1)－ax，且f′(2)＝－1，则a＝()A. B. C.－ D.－5.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.6.若函数不存在极值，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.8.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润P(x)最大时，每年生产产品的单位数是()A.150 B.200 C.250 D.300二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列求导运算不正确的是()A.′＝1＋ B.′＝C.(5x)′＝5xlog5x D.(x2cosx)′＝－2xsinx10.设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则()A.x＝3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时，f(x)<f(x2)C.当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0D.当－1<x<0时，f(2－x)>f(x)11.已知函数f(x)＝ax－lnx(a∈R)，则下列说法正确的是()A.若a≤0，则函数f(x)没有极值B.若a>0，则函数f(x)有极值C.若函数f(x)有且只有两个零点，则实数a的取值范围是D.若函数f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是(－∞，0]∪三、填空题（本大题共3小题，共15分）12.若曲线在点处的切线方程是，则________．13.已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．14.已知函数f(x)＝令g(x)＝f(x)－kx＋1，若函数g(x)有四个零点，则实数k的取值范围为______．四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(本小题13分）已知函数在点处的切线与直线垂直．（1）求；（2）求的单调区间和极值．16.(本小题15分）某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品的平均成本利润fx(单位：万元)与投资成本x(单位：万元)满足：fx=alnxx+5x−b(a，b为常数，(1)求a，b的值；(2)若该工厂计划投入50万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10万元，问怎样分配这50万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？(参考数据：ln10=2.303，ln17.(本小题15分）函数f(x)=ax3-6ax2+3bx+b,其图象在点(2,f(2）处的切线方程为3x+y-11=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)的图象与y=13f'(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围18.(本小题17分）设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．19.(本小题17分）已知函数.（1）若的极小值为-4，求的值；（2）若有两个不同的极值点，证明.答案：1.【正确答案】C因为函数，由定义可知表示函数在处的导数，，代入可得结果2.【正确答案】B因为直线方程斜率为所以函数在处的导数.3.【正确答案】C对于A，因为是常数，又(为常数),故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.4.【正确答案】Af′(x)＝－a，所以f′(2)＝－a＝－1，解得a＝.5.【正确答案】B对函数求导得，令，解得，则函数的单调递增区间为.6.【正确答案】A对函数求导得，由函数不存在极值，则，即，解得.7.【正确答案】B法一：由题意，，对于，当，即时，，f(x)在上单调递增，所以，即，因此；当，即时，由、且，则在上有两个不相等的实根，，不妨设，则上，上，上，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由此，，.由，则，同理可得，所以，，则，解得，与矛盾.综上，.法二：由题意得：，.当时，，即，所以；，又，，即，所以.综上，，即，得.8.【正确答案】D由题意得，总利润P(x)＝当0≤x≤390时，令P′(x)＝0，得x＝300，可知当0≤x<300时，P(x)单调递增，当300<x≤390时，P(x)单调递减，且P(390)＝31090.又当x>390时，P(x)＝70090－100x单调递减，且P(x)<70090－100×390＝31090，所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大．9.【正确答案】ACD′＝1－，故A错误；′＝，故B正确；(5x)′＝5xln5，故C错误；(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故D错误．10.【正确答案】ACD对于A，因为函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，易知当x∈(1,3)时，f′(x)<0；当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x＝3是f(x)的极小值点，故A正确；对于B，当0<x<1时，x－x2＝x(1－x)>0，所以1>x>x2>0，由A选项分析可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(x)>f(x2)，故B错误；对于C，当1<x<2时，1<2x－1<3，由A选项分析可知，函数f(x)在(1,3)上单调递减，所以f(1)>f(2x－1)>f(3)，即－4<f(2x－1)<0，故C正确；对于D，当－1<x<0时，f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)>0，所以f(2－x)>f(x)，故D正确．11.【正确答案】ABD由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝a－＝，若a≤0，则f′(x)<0恒成立，此时f(x)单调递减，没有极值，又当x趋近于0时，f(x)趋近于＋∞，当x趋近于＋∞时，f(x)趋近于－∞，∴f(x)有且只有一个零点．若a>0，在上f′(x)<0，f(x)单调递减，在上f′(x)>0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)取得极小值，同时也是最小值，∴f(x)min＝f＝1＋lna，当x趋近于0时，lnx趋近于－∞，f(x)趋近于＋∞，当x趋近于＋∞时，f(x)趋近于＋∞，当1＋lna＝0，即a＝时，f(x)有且只有一个零点；当1＋lna<0，即0<a<时，f(x)有且仅有两个零点．综上可知A，B，D正确，C错误．故选ABD.12.【正确答案】2因为函数，所以函数的定义域为，由曲线在点1,f1处的切线方程是得切线斜率为2，当时，f1=0，由得，所以，解得，所以，解得，所以.13.【正确答案】c<a<b由f(x)＝f(π－x)知，f(x)的图象关于x＝对称．因为f′(x)＝1＋cosx≥0，故f(x)在上是增函数，f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，∵>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.14.【正确答案】当g(x)＝0时，f(x)＝kx－1，故原问题可转化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝kx－1的交点个数问题，画出图象如图．令h(x)＝(x－1)3(x<2)，则h′(x)＝3(x－1)2，设切点P的坐标为(x0，y0)，则过点P的切线方程为y－(x0－1)3＝3(x0－1)2(x－x0)，将点(0，－1)的坐标代入，可得－1－(x0－1)3＝－3x0(x0－1)2，整理得2x－3x＝0，所以x0＝0(舍去)或x0＝；故h′＝，又(0，－1)，(2,1)两点连线的斜率为＝1，故<k<1.15.【正确答案】解：（1），则在点处的切线的斜率，在点处的切线与直线垂直所以，解得；（2）由，故，则，，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增故的单调递增区间为,，的单调递减区间为，故有极大值，有极小值.16.【正确答案】解：(1)由题意知，f1整理得5−b=5aln10+5−10b=16.515，解得a=5(2)设甲产品投资x万元，乙产品投资50−x万元，且x∈10,40则该公司获得的利润φx=x5则φ'x=令φ'x=0，解得x=25当10<x<25时，φ'x>0当25<x<40时，φ'x<0∴φx∴当甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元.17.【正确答案】解(1)f'(x)=3ax2-12ax+3b.由题意得f'(2)=-3,且f(2)=5,即12a-24a+3b=-3,8a所以f(x)=x3-6x2+9x+3.(2)由(1)知f(x)=x3-6x2+9x+3,f'(x)=3x2-12x+9,从而y=13f'(x)+5x+m=13(3x2-12x+9)+5x+m=x2+x+由题意得方程x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根,即函数g(x)=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点.g'(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),令g'(x)=0,解得x=23或x=4当x变化时,g(x),g'(x)的变化情况如下表:故函数g(x)的极大值为g23=6827-m,极小值为g由y=f(x)的图象与y=13f'(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,即函数g(x)的图象与x得g23=6827-故实数m的取值范围为-1618.【正确答案】解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取得最小值，即f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g(t)在(0,2)内有极大值g(1)＝1－m.h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0，∴m的取值范围为(1，＋∞)．19.【正确答案】解：（1）由函数得，当时，f'x<0，当x∈0,+∞时，所