2024-2025学年江苏省无锡市高二下册3月月考数学阶段检测试题（附解析）

2024-2025学年江苏省无锡市高二下学期3月月考数学阶段检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数在处的导数为12，则的值为（）A. B.4 C. D.36【正确答案】A【分析】由导数的定义求解即可.【详解】因为函数在处的导数为12，所以.故选：A.2.已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】对函数求导，将代入导数中可得，从而得到函数解析式，将代入函数解析式可得答案.【详解】，则，令得,，解得，则，将代入上式得.故选：C3.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A.64 B.72 C.84 D.96【正确答案】C【分析】根据题意可知每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类，由此可得答案．【详解】由题意知，分两种情况：(1)、C不同色注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色：有种；(2)、C同色注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色：有种．共有种，故选：C．4.若函数在定义域内的区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先确定函数的定义域，求出导数，判断出函数的单调性；再根据题目信息列出不等式组求解即可.【详解】由函数可知函数定义域为，且.令，可得；令，可得，即函数区间上单调递减；在区间上单调递增.因为函数在定义域内的区间上不是单调函数，所以，解得.故选：B5.现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（）A.12种 B.24种 C.36种 D.48种【正确答案】B【分析】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法．【详解】由题意不同站法数为：．故选：B.6.动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】当点处的切线和直线平行时，的值最小，结合导数和解析式求得点，再由点到直线距离公式即可求解.【详解】设点是直线上任意一点﹐点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小﹐因为直线的斜率等于，曲线的导数，令，可得或(舍去)，故此时点的坐标为，，故选：A.7.设，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由等价于，利用导数求在的最大值即可.【详解】当时，恒成立等价于，所以，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，，所以，即.故选：A.8.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（）A B. C. D.【正确答案】D【分析】求导，将问题转化为有两个不同的零点，也即是关于x的方程有两个不同的解，构造函数，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性和最值，从而可得选项.【详解】函数的定义域为R，，因为函数有两个极值点，所以有两个不同的零点，故关于x的方程有两个不同的解，令，则，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，又当时，；当时，，且，，故，即.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（

）A.在上是增函数B.当时，取得极小值；C.在上是增函数、在上是减函数；D.当时，取得极大值【正确答案】BC【分析】由图可判断的正负号，即可判断的单调性，即可选出答案.【详解】由图可知：当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，函数取得极小值，其中不是函数的极值点.故选：BC.10.口袋中装有6个白球和8个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，下列说法正确的有（）A.恰好是白球、红球各一个的取法有48种 B.恰好是两个白球的取法有30种C.至少有一个白球的取法有63种 D.两球的颜色相同的取法有43种【正确答案】ACD【分析】由两个计数原理结合组合数逐个判断即可；【详解】对于A：由分布乘法原理可知恰好是白球、红球各一个的取法有，正确；对于B：恰好是两个白球的取法有：，错误；对于C：至少有一个白球的取法有:，正确；对于D：两球的颜色相同的取法有，正确；故选：ACD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数在处取得极大值B.方程有两个不同的实数根C.D.若不等式在上恒成立，则【正确答案】AC【分析】当时，函数有极大值，故选项A正确；方程不可能有两个不同的实数根，选项B错误；，选项Ｃ正确；，选项D错误.【详解】易知函数的定义域为，，令，则，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数有极大值，故选项A正确；因为，且当时，，当时，，所以方程不可能有两个不同的实数根，选项B错误；因为函数在上单调递增，且，所以，选项Ｃ正确；不等式在上恒成立即不等式在上恒成立，令，则，令，则，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数有最大值，所以，选项D错误.故选：AC方法点睛：零点问题求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得，分析的图象得解）.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则______．【正确答案】6【分析】利用排列数公式求解.【详解】因为，所以，即，解得（舍去）．故6.13.已知直线是曲线与的公切线，则__________.【正确答案】【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算.【详解】设曲线上切点，，切线斜率，切线方程，即同理，设曲线上切点，，切线斜率，切线方程，即，所以，解得，所以，，.故答案为.14.若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为________．【正确答案】【分析】求导，然后分类讨论和两种情况即可确定实数的取值范围.【详解】由题可得，当时，，函数在上单调递减，不存在最值；当时，令，可得，令，则，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上不存在最值，则，即，综上所述，实数的取值范围为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，且.（1）求的值；（2）求函数的图象在点处的切线方程.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）求导即可代入求解，（2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解.【小问1详解】由，得，又，所以，解得.【小问2详解】由，得，所以，即切点为，又切线的斜率为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即.16.在0，1，2，3，4，5这6个数字中选择若干个数.（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且不大于3450的四位数？【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）分个位数否为零两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理即可得解；（2）分个位数为和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解；（3）分千位数为或和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解.【小问1详解】当个位数为时，则千位数有种选法，则百位数有种选法，十位数有种选法，所以能组成个无重复数字的四位偶数；当个位数不为时，则个位数有种选法，则千位数有种选法，则百位数有种选法，十位数有种选法，所以能组成个无重复数字的四位偶数，综上所述，能组成个无重复数字的四位偶数；【小问2详解】当个位数为时，则万位数有种选法，则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法，所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数；当个位数为时，则万位数有种选法，则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法，所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数，综上所述，能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数；【小问3详解】当千位数为或时，则能组成个无重复数字且不大于3450的四位数；当千位数为，百位数为，十位数为时，则符合题意的数只有一个；当千位数为，百位数为，十位数不为时，则十位数有种选法，个位数有种选法，所以符合题意的数有种；当千位数为，百位数不为，则百位数有种选法，十位数有种选法，个位数有种选法，所以符合题意的数有种，综上所述，能组成个无重复数字且不大于3450的四位数.17.已知函数，且当时，函数取得极值为．（1）求的解析式；（2）若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据，可得可得结果；（2）先化简方程得，再利用导数研究函数在上单调性，结合函数图象确定条件解得结果.【详解】（1），由题意得，，即，解得，∴.（2）由有两个不同的实数解，得在上有两个不同的实数解，设，由，由，得或，当时，，则在上递增，当时，，则在上递减，由题意得，即，解得，即的取值范围是.18.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若函数在上为增函数，求实数a的取值范围.【正确答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，（2）【分析】（1）对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；（2）由题可得函数在上为增函数，在上恒成立，再利用导数求函数的最值即可.【小问1详解】由题意得，，当时，，函数在上单调递增；②当时，令，解得，，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，【小问2详解】因为函数在上为增函数，所以，在上恒成立．即在上恒成立．令，当时，ℎ′x=所以，在上单调递增，．所以，，解得，所以，实数的取值范围为．19.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）设，若对，都有恒成立，求的取值范围．【正确答案】（1）极小值为，无极大值；（2）【分析】（1）求定义域，求导，得到单调性，极值情况；（2）参变分离得到，构造，求导得到单调性和最值，得到的取值范围.【小问1详解】当时，，定义域为，故，令，解得，令，解得