2024-2025学年江苏省沭阳县高一下册第一次月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年江苏省沭阳县高一下学期第一次月考数学检测试卷注意事项考生在答题报道认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含选择题（第1题-第11题）填空题（第12题-第14题，共73分）.解答题（第15-19题，共77分），满分150分.2.答题状、请考生务必停自己的姓名、学校、班级、座位号.考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上初应的位置，并将考试证号用2B相关正确填涂在答题卡的相应位置.3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答，在试卷或草辊纸上作答一律无数.4.如有作图需要、可用2B铅笔作图、并请加黑加粗、描写清楚.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的：1.化简等于（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据向量的加法运算求解即可.【详解】

.故选:C.2.已知平面向量与的夹角为，则（）A. B. C.4 D.12【正确答案】B【分析】由数量积定义结合向量模长公式即可计算求解.【详解】由题得，所以.故选：B.3.如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出，进而求出的值.【详解】，所以，所以，所以，.故选：D.4.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.5.在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】用基底表示向量，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为，，则，，所以，，因为，，，由平面向量数量积的定义可得，因此，.故选：C.6.已知，，则的值为（）A B. C. D.【正确答案】D【分析】由已知条件切化弦，整理得出，然后把展开可求出，从而利用两角和的余弦公式可求解.【详解】由于，且，则，整理得，则，整理得，所以.故选：D.7.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了0.618就是黄金分割数的近似值，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由和得，利用二倍角公式，诱导公式即可求解.【详解】由，，故选：D.8.已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据向量关系得出向量夹角，再结合向量的投影向量公式计算即得.【详解】因为，所以是的中点，因为的外接圆圆心为，所以为圆的直径，又，则，即，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分或3分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.的最小值为1B.若，则C.若，与垂直的单位向量只能为D.若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为【正确答案】AB【分析】对A：根据模运算公式代入计算，利用二次函数性质即可判断；对B：利用向量垂直的坐标运算性质即可判断；对C：举反例即可判断；对D：根据向量夹角是钝角，得到且向量与向量不反向共线，即可判断．【详解】对A：，则当时，取最小值1，故A正确；对B：若，则，解得，故B正确；对C：若,，易知也是与垂直的单位向量，故C错误；对D：若与的夹角为钝角，则，且向量与向量不反向共线，即，解得且，故D错误；故选：AB．10.下列各式的值正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】BD【分析】利用二倍角的正弦公式可判断A选项；利用诱导公式结合两角和的余弦公式可判断B选项；利用二倍角的正切公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，因为，所以，，故，D对.故选：BD.11.下列命题中正确的是（）A.若，，则B.“”是“”的必要不充分条件C.D.在中，，，，为的外心，若，则的值为【正确答案】BCD【分析】利用共线向量的定义可判断A选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；利用平面向量数量积的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的定义和运算性质可得出关于、的方程组，解之可判断D选项.【详解】对于A选项，若，，则或，A错；对于B选项，若或，则成立，若、均为非零向量，设、的夹角为，则，由可得，即，即，所以，则，即、同向.所以，“”“或或、同向”，且“”“或或、同向”，所以，“”是“”的必要不充分条件，B对；对于C选项，若或，则，此时，，若、均为非零向量，设、的夹角为，则，则，则，所以，.综上所述，，C对；对于D选项，在中，，，，由平面向量数量积的定义可得，取线段的中点，连接，则，所以，，同理可得，因为，则，即，①，即，②解得，，因此，，D对.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点坐标_______________.【正确答案】【分析】在梯形中，，．得到，设点D的坐标为，根据向量相等得到方程组，可得答案.【详解】解：∵在梯形中，，，，，．∴．设点D的坐标为．则，．∴，即，∴解得故点的坐标为．故．13.已知为锐角，若，则_____.【正确答案】##【分析】利用换元法，结合三角函数的诱导公式与倍角公式即可得解.【详解】因为，令，则，，又为锐角，所以，则，即，所以，所以.故答案为.14.已知点、、，则点到直线的距离为_______.【正确答案】##【分析】由平面向量数量积的坐标运算求出，进而可求出的值，由此可得出点到直线的距离为，即可得解.【详解】由已知可得，，则，，，由平面向量数量积的坐标运算可得，所以，，所以，点到直线的距离为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演奏步骤.15.已知（1）求的值；（2）求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用诱导公式可得出，在该等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得的值；（2）利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式化简可得所求代数式的值.【小问1详解】因为，所以，，故.小问2详解】.16.已知点、、（1）若，与共线且方向相反，求的坐标；（2）若点满足，当点在第四象限时，求的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）设，则，利用平面向量的模长公式可求出的值，即可得出向量的坐标；（2）根据平面向量的坐标运算可得出点的坐标，根据点在第四象限可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】由已知可得，因为与共线且方向相反，设，则，由平面向量的模长公式可得，解得，故.【小问2详解】由已知可得，则，设点，则，则，解得，即点，因为点在第四象限，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.17.在平面直角坐标系中，已知向量，.（1）若，，求的值；（2）若与的夹角为且，求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由已知向量的坐标结合向量垂直列式求得，再利用两角差的正切求值；（2）直接利用数量积求夹角公式及辅助角公式可得，求得的值，则的值可求．【小问1详解】因为，且，所以，，所以，故；【小问2详解】因为，，所以，，，因为与的夹角为，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以.18.如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角、的终边与单位圆分别交、两点，点是单位圆与轴的交点.（1）当、时，求的值：（2）若为劣弧上的动点，当点的横坐标为时，求最小值.【正确答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）利用三角函数的定义结合两角和的余弦公式可求得的值；（2）对点的坐标进行分类讨论，设点，求出的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算以及辅助角公式、以及正弦型函数的值域可求得的最小值.【小问1详解】由三角函数的定义可得，，，，由两角和的余弦公式可得.【小问2详解】由图可知，，，且，即点，若点，不妨设点，其中，则，，所以，，因，则，故当时，即当时，取最小值；若点，不妨设点，其中，则，，所以，，因为，则，故当时，即当时，取最小值.19.如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点．（1）若，求实数x，y的值；（2）若，求实数的值；（3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解；（2）根据向量的线性运算以为基底