2025年中考数学总复习《方程与方程组》专项测试卷(附答案)

第第页2025年中考数学总复习《方程与方程组》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．解答题（共27小题）1．某校为了对学生进行爱国主义教育，开展了“爱我中华”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了50件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的3倍少2件，各种奖品的单价如表所示：一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价（元/件）20148数量（件）x（1）设一等奖奖品的数量为x件，请用含x的代数式填表；（2）购买这50件奖品所需的总费用为568元，求二等奖奖品的数量．2．山西祁县酥梨，洁白透黄、皮薄肉细、香甜酥脆、果汁多、营养丰富、品质上乘，被誉为“果中一绝，梨之上品”．一果园有甲、乙两支专业酥梨采摘队，已知甲队比乙队每天多采摘600公斤酥梨，甲队采摘28800公斤酥梨所用的天数与乙队采摘19200公斤酥梨所用的天数相同．问甲、乙两队每天分别可采摘多少公斤酥梨？3．我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．4．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度（不含靠背）为xcm，则y应是x的一次函数．如表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x/cm40.037.0课桌高度y/cm75.070.2（1）试确定y与x之间的函数表达式（不要求写出x的取值范围）；（2）现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由．5．端午节即将来临，小明和妈妈打算去超市买粽子，他们购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，已知每个肉粽比素粽多1元，那么每个肉粽多少元？6．利民超市第一批购进某种水果若干千克，花费了10000元，接着这种水果的单价下降了20%，该超市又用同样的钱数第二批购进这种水果，且多购进500千克．求该超市第一批购进这种水果的单价．7．如图，合肥市某画家书画作品装裱前是一个长为2.5米，宽为1.3米的矩形，对此画四周加上宽度相同的边衬进行装裱，装裱后整幅图画长与宽的比是9：5，求边衬的宽度．8．“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份和2月份的销量，该品牌头盔1月份销售300个，2月份销售360个，若从1月份到3月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔3月份的销售量．9．某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求参加研学的学生人数．10．春节燃放烟花给节日增添了喜庆，同时存在危险和污染，因此各地政府倡导“绿色春节”的同时，对烟花燃放的地点及企业的安全生产进行了严格的管理．检查发现某企业生产的一款烟花，使用的快引线燃尽时间仅为5秒，存在安全隐患．为了延长燃尽时间，给原快引线加长了一段慢引线，这样引线的总长达到了15cm，从而燃尽时间延长了80%，已知每秒钟快引线燃烧的长度比慢引线多2cm，求慢引线燃烧的速度．11．春季阳光明媚，某班级利用周末时间去公园开展春游活动，甲、乙两同学分别从距离活动地点1200米和1800米的两地同时出发，参加活动．乙同学的速度是甲同学的速度的1.2倍，甲同学比乙同学提前4分钟到达活动地点．求甲、乙两同学的速度．12．某工厂利用精密机床和普通机床加工零件，每台精密机床每小时加工零件的数量比每台普通机床的2倍还多9件．用一台精密机床和一台普通机床分别加工540件零件，精密机床用时仅为普通机床用时的3713．某商店以每盏25元的价格采购了一批节能灯，运输过程中损坏了3盏，然后以每盏30元售完，共获利160元．该商店共购进了多少盏节能灯？14．《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重于16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”15．在某学校食堂为学生提供的400克早餐套餐中，蛋白质总含量为10%，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋（一个去壳鸡蛋的质量约为50克，其中蛋白质含量为11克：谷物面包和牛奶的部分主要营养成分如图所示）．项目面包（含量）牛奶（含量）蛋白质10%7%脂肪30%3.4%碳水化合物45%5.8%设该份早餐中谷物面包为x克，牛奶为y克．（1）请补全表格（用含有x，y的代数式表示）；谷物面包牛奶去壳鸡蛋总量质量/克xy50400蛋白质含量/克11400×10%（2）求出x，y的值．16．某花店母亲节期间对康乃馨进行促销活动，买一支一束的康乃馨价格是5元一束，如果买三支一束的康乃馨将给予优惠，优惠的百分率为x，如果买六枝一束的康乃馨在原来优惠的基础上再优惠相同的百分率，此时每支康乃馨是3.2元．（1）填写下面表格，并求x．每束康乃馨的支数每支康乃馨的价格每束康乃馨的价格151×536（2）每支康乃馨的成本是2元，花店共购进150支康乃馨，全部卖出，共获利260.4元，其中一支一束的康乃馨卖了18束；请问：3支一束的康乃馨和六支一束的康乃馨各卖了多少束？17．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工分拣快件数量的25倍，经过测试，由5台机器分拣8000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时．若该快递公司每天需要分拣10万件快件（每天工作时间为8小时），至少需要安排几台分拣机．18．列方程或方程组解应用题：2022年卡塔尔世界杯小组赛中，A组四个球队之间进行单循环比赛，每个队都要赛3场，本小组一共赛6场，各队胜负场数及得分如表（不完整）：注：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．球队名称胜场平场负场数积分荷兰07塞内加尔1厄瓜多尔1114卡塔尔0030根据以上信息，求：（1）荷兰队胜场数、平场数各是多少？（2）塞内加尔队最后的积分是多少？19．某项工程，甲工程队单独施工10天后，为加快进度，乙工程队也加入一起施工，这样共用30天完成了任务，已知乙工程队单独施工需要40天完成，求甲工程队单独完成此项工程所需的天数．20．安徽省加快“县城通高速”步伐，实现了高速公路“县县通”，有力促进县城经济的发展．仅去年一年就通过新建或扩建开通的高速公路共519公里，其中新建高速公路的长度是扩建的2倍少45公里，求去年新建和扩建高速公路各多少公里？21．2022年4月1日起，合肥市公安局交警支队在全市范围内开展“戴头盔、保安全、促文明”行动．某商家同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？（2）在销售中，该商家发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔售价每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．22．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有如下问题：今有人盗库绢，不知所失几何，但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？大意是：有几个盗贼偷了仓库里的绢，不知道具体偷盗了多少匹绢，只听盗贼在草丛中分绢时说：“每人分6匹，会剩下6匹；每人分7匹，还差7匹．”问有多少盗贼？多少匹绢？23．已知某商品的进价为每件10元，我班数学兴趣小组经过市场调查，整理出该商品在第x（1≤x≤30）天的售价与销量的相关信息如下表：第x天1≤x＜1515≤x≤30日销售单价（元/千克）20+110+日销售量（千克）40﹣x（1）第几天该商品的销售单价是25元？（2）在这30天中，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？24．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？25．为了美化校园，校团委植树节在清华路两旁植树，甲团小组计划用若干天完成校团委的植树工作，从第三个工作日起，乙团小组加入此项工作，且甲、乙两团小组工作效率相同，结果提前3天完成任务，求甲团小组计划完成此项工作的天数．26．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）可以通过调节扣调节，设双层部分长度为xcm，背带长度为ycm，且y与x是一次函数关系，若双层部分长度是30cm时，背带长度为90cm；若双层部分长度是20cm时，背带长度为100cm．（1）求出y与x的函数关系式；（2）若单层部分长度与双层部分长度相等时，求背带长度．27．《九章算术》是我国古代数学经典著作，书中记载着这个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？“大意是：甲袋中装有9枚重量相等的黄金，乙袋中装有11枚重量相等的白银，两袋重量相等．两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？参考答案与试题解析一．解答题（共27小题）1．某校为了对学生进行爱国主义教育，开展了“爱我中华”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了50件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的3倍少2件，各种奖品的单价如表所示：一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价（元/件）20148数量（件）x（1）设一等奖奖品的数量为x件，请用含x的代数式填表；（2）购买这50件奖品所需的总费用为568元，求二等奖奖品的数量．【答案】（1）3x﹣2，52﹣4x；（2）二等奖奖品的数量为16件．【解答】解：（1）由题意得：二等奖奖品为（3x﹣2）件，三等奖奖品为50﹣x﹣（3x﹣2）＝50﹣x﹣3x+2＝52﹣4x（件），填写表格：一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价（元/件）20148数量（件）x3x﹣252﹣4x故答案为：3x﹣2，52﹣4x；（2）根据题意得20x+14（3x﹣2）+8（52﹣4x）＝568，解得：x＝6，∴二等奖奖品有3x﹣2＝3×6﹣2＝16，答：二等奖奖品的数量为16件．2．山西祁县酥梨，洁白透黄、皮薄肉细、香甜酥脆、果汁多、营养丰富、品质上乘，被誉为“果中一绝，梨之上品”．一果园有甲、乙两支专业酥梨采摘队，已知甲队比乙队每天多采摘600公斤酥梨，甲队采摘28800公斤酥梨所用的天数与乙队采摘19200公斤酥梨所用的天数相同．问甲、乙两队每天分别可采摘多少公斤酥梨？【答案】甲队每天可采摘1800公斤酥梨；乙队每天可采摘1200公斤酥梨．【解答】解：设甲队每天可采摘x公斤酥梨，则乙队每天可采摘（x﹣600）公斤酥梨．根据题意得28800x解得x＝1800．经检验，x＝1800是原分式方程的解．∴x﹣600＝1200．答：甲队每天可采摘1800公斤酥梨，乙队每天可采摘1200公斤酥梨．3．我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．【答案】7人．【解答】解：设这个问题中的牧童人数为x，根据题意得：6x+14＝8x，解得：x＝7．答：这个问题中的牧童人数为7．4．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度（不含靠背）为xcm，则y应是x的一次函数．如表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x/cm40.037.0课桌高度y/cm75.070.2（1）试确定y与x之间的函数表达式（不要求写出x的取值范围）；（2）现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由．【答案】（1）y＝1.6x+11；（2）配套，理由见解答．【解答】解：（1）∵y是x的一次函数，∴设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b．将（40.0，75.0）和（37.0，70.2）代入，得75.0=40.0k+b70.2=37.0k+b，解得k=1.6∴y与x之间的函数表达式y＝1.6x+11．（2）配套．理由如下：当x＝42.0时，y＝1.6×42.0+11＝78.2，∴一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌配套．5．端午节即将来临，小明和妈妈打算去超市买粽子，他们购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，已知每个肉粽比素粽多1元，那么每个肉粽多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，依题意得：10x+5（x﹣1）＝70，解得：x＝5．答：每个肉粽5元．6．利民超市第一批购进某种水果若干千克，花费了10000元，接着这种水果的单价下降了20%，该超市又用同样的钱数第二批购进这种水果，且多购进500千克．求该超市第一批购进这种水果的单价．【答案】该超市第一批购进这种水果的单价为5元/千克．【解答】解：设该超市第一批购进这种水果的单价为x元/千克，则第二批购进的单价为x（1﹣20%）元/千克，由题意得：10000x解得x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，答：该超市第一批购进这种水果的单价为5元/千克．7．如图，合肥市某画家书画作品装裱前是一个长为2.5米，宽为1.3米的矩形，对此画四周加上宽度相同的边衬进行装裱，装裱后整幅图画长与宽的比是9：5，求边衬的宽度．【答案】0.1米．【解答】解：设边衬的宽度是x米，由题意得：2.5+2x1.3+2x∴x＝0.1，检验知x＝0.1是原方程的解，答：边衬的宽度是0.1米．8．“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份和2月份的销量，该品牌头盔1月份销售300个，2月份销售360个，若从1月份到3月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔3月份的销售量．【答案】该品牌头盔3月份的销售量为432个．【解答】解：设1月份到3月份销售量的月增长率为x，根据题意得：300×（1+x）＝360，解得：x＝0.2＝20%，∴300×（1+20%）2＝432（个），答：该品牌头盔3月份的销售量为432个．9．某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求参加研学的学生人数．【答案】参加研学的学生有190人．【解答】解：设每辆车能乘坐x人，根据题意，得4x+30＝5x﹣10，解得x＝40，故4x+30＝190（人），答：参加研学的学生有190人．10．春节燃放烟花给节日增添了喜庆，同时存在危险和污染，因此各地政府倡导“绿色春节”的同时，对烟花燃放的地点及企业的安全生产进行了严格的管理．检查发现某企业生产的一款烟花，使用的快引线燃尽时间仅为5秒，存在安全隐患．为了延长燃尽时间，给原快引线加长了一段慢引线，这样引线的总长达到了15cm，从而燃尽时间延长了80%，已知每秒钟快引线燃烧的长度比慢引线多2cm，求慢引线燃烧的速度．【答案】慢引线燃烧的速度为59cm/s【解答】解：设慢引线燃烧的速度为xcm/s，则快引线的燃烧速度为（x+2）cm/s，根据题意，得5（x+2）+5×80%x＝15，解得x=5答：慢引线燃烧的速度为59cm/s11．春季阳光明媚，某班级利用周末时间去公园开展春游活动，甲、乙两同学分别从距离活动地点1200米和1800米的两地同时出发，参加活动．乙同学的速度是甲同学的速度的1.2倍，甲同学比乙同学提前4分钟到达活动地点．求甲、乙两同学的速度．【答案】甲同学的速度是75米/分钟，乙同学的速度是90米/分钟．【解答】解：设甲同学的速度是x米/分钟，则乙同学的速度是1.2x米/分钟，根据题意得：18001.2x解得：x＝75，经检验，x＝75是所列方程的解，且符合题意，∴1.2x＝1.2×75＝90（米/分钟）．答：甲同学的速度是75米/分钟，乙同学的速度是90米/分钟．12．某工厂利用精密机床和普通机床加工零件，每台精密机床每小时加工零件的数量比每台普通机床的2倍还多9件．用一台精密机床和一台普通机床分别加工540件零件，精密机床用时仅为普通机床用时的37【答案】普通机床每小时加工27件，则精密机床每小时加工63件．【解答】解：设普通机床每小时加工x件，则精密机床每小时加工（2x+9）件，由题意得540x解得x＝27，经检验：x＝27是所列方程的解，且符合题意，2x+9＝2×27+9＝63，答：普通机床每小时加工27件，则精密机床每小时加工63件．13．某商店以每盏25元的价格采购了一批节能灯，运输过程中损坏了3盏，然后以每盏30元售完，共获利160元．该商店共购进了多少盏节能灯？【答案】该商店共购进了50盏节能灯．【解答】解：设该商店共购进了x盏节能灯，由题意得：25x+160＝30（x﹣3），解得：x＝50，答：该商店共购进了50盏节能灯．14．《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重于16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”【答案】每只雀、燕的重量各为3219两，24【解答】解：设每只雀、燕的重量各为x两，y两，由题意得：5x+6y=164x+y=5y+x.解方程组得：x=答：每只雀、燕的重量各为3219两，2415．在某学校食堂为学生提供的400克早餐套餐中，蛋白质总含量为10%，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋（一个去壳鸡蛋的质量约为50克，其中蛋白质含量为11克：谷物面包和牛奶的部分主要营养成分如图所示）．项目面包（含量）牛奶（含量）蛋白质10%7%脂肪30%3.4%碳水化合物45%5.8%设该份早餐中谷物面包为x克，牛奶为y克．（1）请补全表格（用含有x，y的代数式表示）；谷物面包牛奶去壳鸡蛋总量质量/克xy50400蛋白质含量/克10%x7%y11400×10%（2）求出x，y的值．【答案】（1）10%x；7%y；（2）x＝150，y＝200．【解答】解：（1）根据题意得：谷物面包中蛋白质的含量为10%x克，牛奶中蛋白质的含量为7%y克．故答案为：10%x；7%y；（2）根据题意得：x+y+50=40010%x+7%y+11=400×10%解得：x=150y=200答：x的值为150，y的值为200．16．某花店母亲节期间对康乃馨进行促销活动，买一支一束的康乃馨价格是5元一束，如果买三支一束的康乃馨将给予优惠，优惠的百分率为x，如果买六枝一束的康乃馨在原来优惠的基础上再优惠相同的百分率，此时每支康乃馨是3.2元．（1）填写下面表格，并求x．每束康乃馨的支数每支康乃馨的价格每束康乃馨的价格151×5343×463.26×3.2（2）每支康乃馨的成本是2元，花店共购进150支康乃馨，全部卖出，共获利260.4元，其中一支一束的康乃馨卖了18束；请问：3支一束的康乃馨和六支一束的康乃馨各卖了多少束？【答案】（1）x＝20%；（2）3支一束的康乃馨卖了20束，六支一束的康乃馨卖了12束．【解答】解：（1）设优惠的百分率为x，根据题意得5（1﹣x）2＝3.2，解得x＝0.2（1.8舍去），∴x＝20%，填写下面表格，每束康乃馨的支数每支康乃馨的价格每束康乃馨的价格151×5343×463.26×3.2（2）设3支一束的康乃馨卖了m束，六支一束的康乃馨卖了n束，根据题意得3m+6n+18=1505×18+12m+19.2n−2×150=260.4解得m=20n=12答：3支一束的康乃馨卖了20束，六支一束的康乃馨卖了12束．17．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工分拣快件数量的25倍，经过测试，由5台机器分拣8000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时．若该快递公司每天需要分拣10万件快件（每天工作时间为8小时），至少需要安排几台分拣机．【答案】至少需要安排6台分拣机．【解答】解：设人工每人每小时分拣x件快件，则每台机器每小时分拣25x件快件，根据题意得：800020x解得：x＝84，经检验，x＝84是所列方程的解，且符合题意．设需要安排y台分拣机，根据题意得：8×25×84•y≥100000，解得：y≥125又∵y为正整数，∴y的最小值为6．答：至少需要安排6台分拣机．18．列方程或方程组解应用题：2022年卡塔尔世界杯小组赛中，A组四个球队之间进行单循环比赛，每个队都要赛3场，本小组一共赛6场，各队胜负场数及得分如表（不完整）：注：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．球队名称胜场平场负场数积分荷兰07塞内加尔1厄瓜多尔1114卡塔尔0030根据以上信息，求：（1）荷兰队胜场数、平场数各是多少？（2）塞内加尔队最后的积分是多少？【答案】（1）荷兰队胜场数为2，平场数为1．（2）塞内加尔队最后的积分是6分．【解答】解：（1）设荷兰队胜场数为x，平场数为3﹣x，根据题意，3x+3﹣x＝7，解得，x＝2，3﹣x＝1，答：荷兰队胜场数为2，平场数为1．（2）∵每个队都要赛3场，本小组一共赛6场，∴由荷兰和厄瓜多尔各自平1场，卡塔尔没有平场可知，塞内加尔也没有平场，而已知塞内加尔输了1场，每队均赛3场，故塞内加尔赢了2场，∴塞内加尔队最后的积分是3×2+1×0+0×1＝6（分）．答：塞内加尔队最后的积分是6分．19．某项工程，甲工程队单独施工10天后，为加快进度，乙工程队也加入一起施工，这样共用30天完成了任务，已知乙工程队单独施工需要40天完成，求甲工程队单独完成此项工程所需的天数．【答案】甲工程队单独完成此项工程需要60天．【解答】解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，根据题意得：30x解得：x＝60，经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意．答：甲工程队单独完成此项工程需要60天．20．安徽省加快“县城通高速”步伐，实现了高速公路“县县通”，有力促进县城经济的发展．仅去年一年就通过新建或扩建开通的高速公路共519公里，其中新建高速公路的长度是扩建的2倍少45公里，求去年新建和扩建高速公路各多少公里？【答案】去年新建高速公路331公里，扩建高速公路188公里．【解答】解：设去年新建高速公路x公里，扩建高速公路y公里，根据题意得：x+y=5192y−x=45解得：x=331y=188答：去年新建高速公路331公里，扩建高速公路188公里．21．2022年4月1日起，合肥市公安局交警支队在全市范围内开展“戴头盔、保安全、促文明”行动．某商家同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？（2）在销售中，该商家发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔售价每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．【答案】（1）A类头盔每个的进价是36元，B类头盔每个的进价是45元；（2）y＝﹣2x2+272x﹣7200，最大利润为2048元．【解答】解：（1）设A类头盔每个的进价是m元，B类头盔每个的进价是n元，根据题意得：3m+4n=2886m+2n=306解得m=36n=45答：A类头盔每个的进价是36元，B类头盔每个的进价是45元；（2）根据题意得：y＝（x﹣36）（100−x−505×10）＝﹣2x2+272x﹣7200＝﹣2（x∵﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝68，∴当x＝68时，y有最大值，最大值为2048，答：y＝﹣2x2+272x﹣7200，最大利润为2048元．22．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有如下问题：今有人盗库绢，不知所失几何，但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？大意是：有几个盗贼偷了仓库里的绢，不知道具体偷盗了多少匹绢，只听盗贼在草丛中分绢时说：“每人分6匹，会剩下6匹；每人分7匹，还差7匹．”问有多少盗贼？多少匹绢？【答案】有13个盗贼，有84匹绢．【解答】解：设有x个盗贼，有y匹绢，根据题意，得6x=y−67x=y+7解得x=13y=84答：有13个盗贼，有84匹绢．23．已知某商品的进价为每件10元，我班数学兴趣小组经过市场调查，整理出该商品在第x（1≤x≤30）天的售价与销量的相关信息如下表：第x天1≤x＜1515≤x≤30日销售单价（元/千克）20+110+日销售量（千克）40﹣x（1）第几天该商品的销售单价是25元？（2）在这30天中，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）10天或20天；（2）在这30天中，第15天获得的利润最大，最大利润是500元．【解答】解：（1）当20+12x＝25时，当10+300x=经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．答：第10天或20天该商品的销售单价是25元．（2）设每天获得的利润为y元，当1≤x＜15时，y＝（20+12x﹣10）（40﹣x）=−12x即y=−12（x﹣10）∵−1∴当x＝10时，y取得最大值，最大值为450；当15≤x≤30时，y＝（10+300x−10）（40﹣x∵12000＞0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝15时，y取得最大值，最大值=12000∵450＜500，∴在这30天中，第15天获得的利润最大，最大利润是500元．24．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收