福建省莆田第二十五中学2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

2024-2025学年莆田第二十五中学九年级上期末数学试题第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列几何体中，主视图是三角形的为（）A. B. C. D.答案：BA选项的三棱柱主视图是矩形，A错误；B选项的圆锥的主视图是三角形，B正确；C选项的圆柱的主视图是矩形，C错误；D选项的正方体的主视图是正方形，D错误；正确答案选B.2.已知＝，则的值为（）A.﹣2 B.2 C.﹣ D.答案：D解：∵，∴设，∴．故选：D．3.如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（）A. B. C. D.答案：D解：是的直径，，，，故选：D．4.已知反比例函数，下列说法中正确的是（）A.该函数的图象分布在第一、三象限 B.点在该函数图象上C.随的增大而增大 D.该图象关于原点成中心对称答案：D解：A．∵反比例函数中-6＜0，∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；B．把（2，3）代入得：左边=3，右边=-3，左边≠右边，所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；C．∵反比例函数中-6＜0，∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；D．反比例函数的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；故选：D．5.如图，某滑雪场有一坡角为α的滑雪道，滑雪道的长为300m，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（）A.300cosαm B.300sinαm C. D.答案：B解：在中，，，，∵，∴，故选：B．6.如图，能使成立的条件是（）A. B. C. D.答案：D解：在与中与是公共角，，A选项：只有，一组角对应相等不能证明，故A选项不符合题意；B选项：只能说明是等腰三角形，不能说明，故B选项不符合题意；C选项：只能说明是等腰三角形，不能说明，故C选项不符合题意；D选项：在与中与是公共角，，所以可证，故D选项符合题意．故选：

D．7.如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（）米．A.45 B.60 C.75 D.90答案：B解：∵∴米∵∴米∴米故选B．8.如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（）A.1：3 B.3：1 C.1：9 D.9：1答案：C∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∵CD∥AB，∴△EFG∽△BAG，∴，故选C．9.如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（）A.13 B.14 C.12 D.28答案：D解：连接，∵，∴，∵点A、点B关于原点O对称，∴，即点为中点，∴，若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为，则，∴，又∵，∴，∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，∴的最大值为，∴的最大值为．故选：D．10.如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：；；；；其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解：抛物线与轴有2个交点，，，故正确；当时，，，故错误；抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，，，抛物线的对称轴为直线，，，故正确；抛物线的对称轴为直线，，当时，，即，，故正确；故选：C．第II卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.若点在反比例函数的图象上，则的值为__________．答案：2解：∵点在反比例函数的图象上，∴，解得．故答案为：212.如图，在Rt中，，，，则的值为_______．答案：解：∵，，，∴，∴，故答案为：13.如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是_______答案：##8厘米解：如图所示：根据题意得：，∴，∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，∴，∴故答案为：14.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______．答案：##解：延长FA交⊙A于G，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，∴∠GAB=，∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，∴，故答案为．15.如图，工人师傅将一块锐角三角形的铁片通过切割加工成矩形铁片，已知的边长，高，若矩形铁片的一边在边上，点，分别在，边上，若满足，则矩形铁片的面积为__________．答案：解：如图，设与的交点为点，设，∵，∴，∵四边形为矩形，，∴，，∴，，，∴，四边形是矩形，∴，，∵，，∴，解得：，∴，，∴∴矩形铁片的面积为，故答案为：．16.如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____．答案：．过点作，，垂足为、，由折叠得：是正方形，，，，，∴，在中，，∴，在中，设，则，由勾股定理得，，解得：，∵，，∴∽，∴，设，则，，∴，，解得：，∴，∴，故答案为．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算：2sin30°+3cos60°-4tan45°．答案：﹣1.52sin30°+3cos60°﹣4tan45°==-1.5.18.如图，点，在线段上，且是等边三角形，，，．求证：．答案：见解析证明：为等边三角形，，，，．．19.已知与成反比例，且当时，．（1）求与之间的函数解析式；（2）当时，求的值．答案：（1）（2）【小问1详解】解：∵与成反比例，∴设，∵当时，，∴，解得，∴与之间的函数解析式为．【小问2详解】解：当时，，解得，经检验，是该方程的解．20.如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当时，对应的x的取值范围．答案：（1），；（2）；（3）或．【小问1详解】解：∵反比例函数的图象过点，∴，∴反比例函数为，∵反比例函数的图象过点，∴，∴，∵直线过点，，∴，解得，∴一次函数的解析式；【小问2详解】解：如图所示，令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，在中，令，则，令，即，令，则，，即，∴；【小问3详解】解：根据函数图象得，当时，或．21.如图，在矩形中，，，点是的中点．（1）在上求作一点，使（尺规作图，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求的长．答案：（1）见解析（2）【小问1详解】解：过作于，即为所求；【小问2详解】解：四边形是矩形，，，又，，，边中点，，，又，，，，．22.如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）（1）求长；（2）求物体上升的高度（结果精确到）．答案：（1）（2）【小问1详解】解：由题意得，，∵，，∴在中，由，得：，∴,答：；【小问2详解】解：在中，由勾股定理得，，在中，，∴，∴，由题意得，，∴，∴，答：物体上升的高度约为．23.如图，已知AC为的直径，直线PA与相切于点A，直线PD经过上的点B且，连接OP交AB于点M．求证：（1）PD是的切线；（2）答案：（1）见解析（2）见解析【小问1详解】连接OB，，，AC为的直径，，，，，PD是的切线；【小问2详解】直线PA与相切于点A，，∵PD是的切线，，，，，，．24.（1）阅读材料：小红遇到这样一个问题：如图，在四边形中，，，，，求的长．小红发现，延长与相交于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决如图请回答：的长为

．（2）参考小红思考问题的方法，解决问题：①如图，在四边形中，，，，，求和的长；②如图，四边形内接于，，，，，求的长．答案：（1）；（2）①的长为，的长为；②解：（1）如图，延长、交于点，∵，，∴，，∵，，∴，∴，在中，，，，∴，∴的长为故答案为：；（2）①如图，延长、交于点，∵，，，∴，∴，，设，∴，，，在中，，，∴，解得：，经检验：是所列方程的解且符合题意，∴，，，∴，∴的长为，的长为；②如图，延长、交于点，∵四边形内接于，，，，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，解得：，∴的长为．25.（2017黑龙江省哈尔滨市，第26题，10分）已知：AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D．（1）如图1，求证：AD=BD；（2）如图2，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是上一点，连接AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB=90°；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ=6DP，sin∠ABO=，求的值．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．（1）如图1，连接OA，∵C是的中点，∴，∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，∴OD⊥AB，AD=BD；（2）如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT．∵BT是⊙O的直径，∴∠BPT=90°，∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，∵BM是⊙O的切线，∴OB⊥BM，又∵∠OBA+∠MBA=90°，∴∠ABO=∠OMB．又∵∠ABO=∠APT，∴∠APB﹣90°=∠OMB，∴∠APB﹣∠OMB=90°；（3）如图3，连接MA，∵MO垂直平分AB，∴MA=MB，∴∠MAB=∠MBA，作∠PMG=∠AMB，在射线MG上截取MN=MP，连接PN，BN，则∠AMP=∠BMN，∴△APM≌△BNM，∴AP=BN，∠MAP=∠MBN，延长PD至点K，使DK=DP，连接AK、BK，∴四边形APBK是平行四边形；∵AP∥BK，∴∠PAB=∠ABK，∠APB+