江苏省南京市2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案）

2025年中考第一次模拟考试数学试卷南京卷注意事项：1．考试时间：120分钟，试卷满分：120分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．6的算术平方根是（）A．2 B．6 C．6 D．2+2．若（a+3）（a+2b）＝a2﹣2a﹣15，则b等于（）A．5 B．−52 C．23．截至10月30日，某市累计新冠疫苗接种共完成1015000人次，将1015000用科学记数法表示应为（）A．10.15×106B．1.015×106 C．0.1015×107D．1.015×1074．若x1，x2是一元二次方程x2﹣13x﹣14＝0的两根，则x1+x2的值是（）A．13 B．﹣13 C．14 D．﹣145．用一个平面截下列几何体，截面形状不可能出现三角形的是（）A．B．C．D．6．如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，已知网格的单位长度为1，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中的3个格点，则a的最大值为（）A．34 B．1 C．43 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．−11的绝对值是，5−3的相反数是8．若2x+1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是9．把多项式3ax2﹣3ay2分解因式的结果是．10．设α、β是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ＝．11．已知线段点P是线段AB上的一点，AB长8厘米且BP2＝AP•AB，那么AP的长是厘米．12．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为．13．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为120°扇形，则该圆锥的侧面面积为cm2．14．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线AE为⊙O的直径，连接HE，则∠AEH的度数为．15．如图，反比例函数y=2x的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=kx的图象经过点D，则16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，与CD边交于点F，连接AF，则AF的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）计算：（a2a−3+18．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0；（2）解不等式：2x−(x−1)≥1，1+x19．（8分）计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期10天才能完成．实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．求原计划完成的天数．20．（8分）某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a．甲班23名学生的身高：163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180．b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示：班级平均数中位数众数甲169mn乙169170167（1）写出表中m，n的值；（2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为p1，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为p2，则p1p2（填“＞”“＜”或“＝”）；（3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为cm．21．（8分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的长．22．（8分）某省运动会如期举行，其中第二个比赛日包含排球、足球、体操以及艺术体操4个项目．现有四张关于运动项目的门票，门票的正面分别印有的图案为A．“排球”、B．“足球”、C．“体操”和D．“艺术体操”．将这四张卡片背面朝上（这四种门票的背面完全相同，ABCD作为代号），洗匀：（1）从中抽取一张后放回再抽取一张，两张门票分别是A和D的概率为；（2）从中随机抽取两张，请你用合适的方法，求两张门票是B和D的概率．23．（8分）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图1所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地面的长度为EF，小明测得窗户距离地面高度DO＝1m，窗高CD＝1.5m，某一时刻，OE＝1m，EF＝4m，其中B、O、E、F四点在同一条直线上，C、D、O三点在同一条直线上，且AB⊥BE，CO⊥OE．（1）求出路灯的高度AB．（2）现在小明想让光线透过窗子DC照亮地面的最远端位置离右墙角点F的距离为2m，如图2所示，需将路灯AB的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是多少？（画出图形并解答）24．（8分）如图，在△ABC中，AB＞AC，（1）请用尺规作图法在边BC上求作一点D，使S△ABD：S△ACD＝AB：AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接AD，F是AD的反向延长线上一点，过点F作EF⊥BC交线段BC于点E．若∠B＝35°，∠C＝60°，求∠AFE的度数．25．（8分）如图，在⊙O中，AB是弦，AC与⊙O相切于点A，AB＝AC，连接BC，点D是BC的中点，连接AD交⊙O于点E，连接OE交AB于点F．（1）求证：OE⊥AB；（2）若AD＝4，ACBC=3226．（9分）已知二次函数y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1：（1）如果直线y＝x+1经过二次函数y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1图象的顶点P，求此时a的值；（2）随着a的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由；（3）将该二次函数以x＝3为对称轴翻折后的图象过（a，b）（a未知，b为常数），求原函数与y轴的交点纵坐标．27．（9分）将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AC边上一点，∠BAD＝∠DEC＝45°，作AD的垂直平分线分别交AD、DE于点O、F，探究下列问题．【特殊化】（1）当点A与点E重合时，①在图中，画出此特殊情形的图；②此情形下，点F与点重合，此时FD与AC满足的数量关系为．（2）当点F与点E重合时，在图中，用尺规作出点A的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）【一般化】（3）当点A、E、F中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中FD与AC所满足的数量关系在此情形下是否仍然成立？说明理由．参考答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．选：C．2．选：B．3．选：B．4．选：A．5．选：B．6．选：D．二、填空题7．答案为：11；3−58．答案为：x≥−12且9．答案为：3a（x+y）（x﹣y）．10．答案为：2．11．答案为：12−4512．答案为：37−313．答案为：4π314．答案为：22.5°．15．答案为：1216．答案为：263三、解答题17．解：原式=a2=(a+3)(a−3)a−3＝a．18．解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝5，（x﹣2）2＝5，x﹣2＝±5，所以x1＝2+5，x2＝2−（2）2x−(x−1)≥1①1+x解不等式①得x≥0，解不等式②得x＜5，所以不等式组的解集为0≤x＜5．19．解：设原计划完成的天数为x天，则甲单独做需要x天完成，乙单独做需要（x+10）天完成，由题意得：10x解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，答：原计划完成的天数为20天．20．解：（1）把甲班23名学生的身高从小到大排列，排在中间的数是168，故中位数m＝168；甲班23名学生的身高中165和166出现的次数最多，故众数n＝165或n＝166；（2）由题意得，p1＝9，p2＝12，∴p1＜p2．故答案为：＜；（3）∵163+164+1803∴甲班未入选的3名学生的身高分别为163、164、180cm．故答案为：163、164、180．21．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠DCO＝∠BAO，在△DCO和△BAO中∠DCO=∠BAO∴△DCO≌△BAO（ASA），∴DO＝BO，∵AO＝CO，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵由勾股定理得：BC2＝CO2+OB2，AB2＝AO2+OB2，又∵AO＝CO，∴AB2＝BC2，∴AB＝BC，∵AB＝10，∴BC＝AB＝10．22．解：（1）列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16种等可能的结果，其中两张门票分别是A和D的结果有2种，∴从中抽取一张后放回再抽取一张，两张门票是A和D的概率为216故答案为：18（2）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12种等可能的结果，其中两张门票是B和D的结果有2种，∴两张门票是B和D的概率为21223．解：（1）∵AB⊥BE，CO⊥OE，∴AB∥CO，∴△DOE∽△ABE，△COF∽△ABF，∴DOAB=OE即1AB=1解得：AB＝BE＝4（m），答：路灯的高度AB为4m；（2）由（1）得：AB＝4m，BE＝4m，∴BF＝BE+EF＝4+4＝8（m），∴BO＝BF﹣OE﹣EF＝8﹣1﹣4＝3（m），如图2，将路灯AB的高度升高至BH，由题意得：NF＝2m，∴BN＝BF﹣NF＝8﹣2＝6（m），∴ON＝BN﹣BO＝6﹣3＝3（m），同（1）得BH∥CO，∴△CON∽△HBN，△DOM∽△HBM，∴COHB=ON即1.5+1HB=3解得：HB＝5（m），OM=34（∴AH＝BH﹣AB＝5﹣4＝1（m），答：需将路灯AB的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是34m24．解：（1）如图，点D为所作；（2）如图，∵∠B＝35°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝35°+42.5°＝77.5°，∵FE⊥BC，∴∠FED＝90°，∴∠AFE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣77.5°＝12.5°．25．（1）证明：连接OA、OB，如图所示．∵AC与⊙O相切于点A，∴∠OAC＝90°．设∠EAC＝α，则∠OAE＝90°﹣α．∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE＝90°﹣α，∴∠AOE＝180°﹣∠OEA﹣∠OAE＝2α．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠EAC＝α，∴∠BOE＝2∠BAE＝2α，∴∠AOE＝∠BOE．又∵OA＝OB，∴OE⊥AB．（2）解：∵ACBC∴可设AC=3x，BC＝2x∵AB＝AC，D是BC的中点，∴CD=12BC＝x，AD⊥∴AD2+CD2＝AC2．∵AD＝4，∴42+x2＝（3x）2，解得：x＝22，∴AB＝AC=3x＝26，BD＝CD＝x＝22∵OE⊥AB，∴AF=12AB∵∠EFA＝∠BDA＝90°，∠FAE＝∠DAB，∴△FAE∽△DAB，∴EFBD=AF∴EF=3设⊙O的半径为r，则OA＝r，OF＝OE﹣EF＝r−3∵OF⊥AB，∴OA2＝OF2+AF2，即r2＝（r−3）2+（6）2解得：r=3∴⊙O的半径为3326．解：（1）由题意，∵y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1＝（x﹣a+1）2﹣a2+3a，∴P（a﹣1，﹣a2+3a）．又∵点P在直线y＝x+1图象上，∴﹣a2+3a＝a﹣1+1．∴a＝0或2．（2）顶点P是在抛物线y＝﹣x2+x+2图象上，理由如下：∵顶点P的坐标为（a﹣1，﹣a2+3a），又令x＝a﹣1，∴y＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣1）2+（a﹣1）+2．∴y＝﹣x2+x+2，∴二次函数图象的顶点P是在抛物线y＝﹣x2+x+2图象上，（3）∵原抛物线的顶点坐标为P（a﹣1，﹣a2+3a），又x＝3为对称轴翻折后的图象过（