2025届上海市进才实验中学高三二模试题数学试题

2025届上海市进才实验中学高三二模试题数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的二项展开式中，的系数是（）A．70 B．-70 C．28 D．-282．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A． B．4C． D．53．已知复数，则的虚部为（）A． B． C． D．14．已知数列满足,且,则的值是()A． B． C．4 D．5．已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为A． B．C． D．6．已知是虚数单位，若，，则实数（）A．或 B．-1或1 C．1 D．7．定义在R上的函数y=fx满足fx≤2x-1A． B． C． D．8．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（）A． B．C． D．9．执行下面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（）A． B． C． D．10．若为虚数单位，则复数，则在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A． B． C． D．12．将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则的最小值为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.14．已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为________.15．记Sk＝1k+2k+3k+……+nk，当k＝1，2，3，……时，观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推测，A﹣B＝_____．16．已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，且经过点，斜率为的直线经过点，与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由.18．（12分）已知椭圆的右顶点为，为上顶点，点为椭圆上一动点．（1）若，求直线与轴的交点坐标；（2）设为椭圆的右焦点，过点与轴垂直的直线为，的中点为，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线与直线的交点在椭圆上．19．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.当与连线的斜率为时，直线的倾斜角为（1）求椭圆的标准方程；（2）若是以为直径的圆上的任意一点，求证：20．（12分）已知在中，角、、的对边分别为，，，，.（1）若，求的值；（2）若，求的面积.21．（12分）已知函数，.（1）当时，①求函数在点处的切线方程；②比较与的大小;（2）当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．22．（10分）已知凸边形的面积为1，边长，，其内部一点到边的距离分别为.求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】试题分析：由题意得，二项展开式的通项为，令，所以的系数是，故选A．考点：二项式定理的应用．2．B【解析】

还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中,利用体积分割求解即可.【详解】如图，三棱锥的直观图为，体积.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.3．C【解析】

先将，化简转化为，再得到下结论.【详解】已知复数，所以，所以的虚部为-1.故选：C【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．B【解析】由，可得，所以数列是公比为的等比数列，所以，则，则，故选B.点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5．B【解析】

作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，利用数形结合即可得到的最小值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，当位于时，此时的斜率最小，此时．故选B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6．B【解析】

由题意得，，然后求解即可【详解】∵，∴.又∵，∴，∴.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题7．D【解析】

根据y=fx+1为奇函数，得到函数关于1,0中心对称，排除AB，计算f1.5≤【详解】y=fx+1为奇函数，即fx+1=-f-x+1，函数关于f1.5≤2故选：D.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.8．C【解析】

画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．【详解】画出图形，如下图．选取为基底，则，∴．故选C．【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．9．B【解析】

根据程序框图，逐步执行，直到的值为63，结束循环，即可得出判断条件.【详解】执行框图如下：初始值：，第一步：，此时不能输出，继续循环；第二步：，此时不能输出，继续循环；第三步：，此时不能输出，继续循环；第四步：，此时不能输出，继续循环；第五步：，此时不能输出，继续循环；第六步：，此时要输出，结束循环；故，判断条件为.故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.10．B【解析】

首先根据特殊角的三角函数值将复数化为，求出，再利用复数的几何意义即可求解.【详解】，，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.11．C【解析】令圆的半径为1，则，故选C．12．B【解析】

首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合，那么，利用的最小正周期为，从而求得结果.【详解】的最小正周期为，那么(∈)，于是，于是当时，最小值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．2【解析】

求出焦点到渐近线的距离就可得到的等式，从而可求得离心率．【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，由得，∴，，∴．故答案为：2.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于的等式．14．【解析】

由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为,,因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,当时,,由可得,等式两边同除可得,解得（舍）；当时,,由可得,等式两边同除可得,解得,故答案为:【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.15．【解析】

观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案.【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，∴A，A1，解得B，所以A﹣B．故答案为：．【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.16．20,21【解析】

由题意知数列奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据为奇数和为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.【详解】解:由题意知数列的奇数项构成公差为的等差数列,偶数项构成公比为的等比数列,则;.当时,,.当时,,.由此可知,满足的正整数的所有取值为20,21.故答案为:20,21【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）存在；实数的取值范围是【解析】

（1）根据椭圆定义计算，再根据，，的关系计算即可得出椭圆方程；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立方程组，求出的范围，根据根与系数的关系求出的中点坐标，求出的中垂线与轴的交点横，得出关于的函数，利用基本不等式得出的范围．【详解】（1）由题意可知，，．又，，，椭圆的方程为：．（2）若存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形，则为线段的中垂线与轴的交点．设直线的方程为：，，，，，联立方程组，消元得：，△，又，故．由根与系数的关系可得，设的中点为，，则，，线段的中垂线方程为：，令可得，即．，故，当且仅当即时取等号，，且．的取值范围是，．【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．18．（1）（2）见解析【解析】

（1）直接求出直线方程，与椭圆方程联立求出点坐标，从而可得直线方程，得其与轴交点坐标；（2）设，则，求出直线和的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分和说明．【详解】解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合，（1）由题知，，则．因为，所以，则直线的方程为，联立，可得故．则，直线的方程为．令，得，故直线与轴的交点坐标为．（2）证明：因为，，所以．设点，则．设当时，设，则，此时直线与轴垂直，其直线方程为，直线的方程为，即．在方程中，令，得，得交点为，显然在椭圆上．同理当时，交点也在椭圆上．当时，可设直线的方程为，即．直线的方程为，联立方程，消去得，化简并解得．将代入中，化简得．所以两直线的交点为．因为，又因为，所以，则，所以点在椭圆上．综上所述，直线与直线的交点在椭圆上．【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线方程验证点在曲线．本题考查了学生的运算求解能力．19．（1）；（2）详见解析.【解析】

（1）由短轴长可知，设，，由设而不求法作差即可求得，将相应值代入即求得，椭圆方程可求；（2）考虑特殊位置，即直线与轴垂直时候，成立，当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到与的关系，将表示出来，结合基本不等式求最值，证明最后的结果【详解】解：（1）由已知，得由，两式相减，得根据已知条件有，当时，∴，即∴椭圆的标准方程为（2）当直线斜率不存在时，，不等式成立.当直线斜率存在时，设由得∴，∴由化简，得∴令，则当且仅当时取等号∴∵∴当且仅当时取等号综上，【点睛】本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题20．（1）7（2）14【解析】

（1）在中，，可得，结合正弦定理，即可求得答案；（2）根据余弦定理和三角形面积公式，即可求得答案.【详解】（1）在中，，，，，，.（2），，，解得，.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是掌握正弦定理边化角，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21．（1）①见解析，②见解析；（2）见解析【解析】

（1）①把代入函数解析式，求出函数的导函数得到，再求出，利用直线方程的点斜式求函数在点处的切线方程；②令，利用导数研究函数的单调性，可得当时，；当时，；当时，．（2）由题意，，在上有唯一零点．利用导数可得当时，在上单调递减，当，时，在，上单调递增，得到．由在恒成立，且有唯一解，可得，得，即．令，则，再由在上恒成立，得在上单调递减，进一步得到在上单调递增，由此可得．【详解】解：（1）①当时，，，，又，切线方程为，即；②令，则，在上单调递减．又，当时，，即；当时，，即；当时，，即．证明：（2）由题意，，而，令