专题23.8中位线-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【华师大版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】专题23..8中位线姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•抚顺期末）如图，要测定被池塘隔开的A、B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC、BC，并分别找出它们的中点D、E，连接DE．现测得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，则A、B两点间的距离为（）A．35m B．45m C．48m D．50m【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解析】∵D、E分别为AC、BC的中点，DE＝24m，∴AB＝2DE＝2×24＝48（m），故选：C．2．（2021春•邢台期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE＝4，则BC等于（）A．2 B．4 C．8 D．10【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解析】∵D、E分别是AB、AC边上的中点，DE＝4，∴BC＝2DE＝2×4＝8，故选：C．3．（2021春•驿城区期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB＝8cm，AC＝10cm，则四边形ADEF的周长等于（）cm．A．14 B．18 C．20 D．24【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的概念分别求出AD、DE、EF、AF，计算即可．【解析】∵点D、E、F分别是边AB、BC、CB的中点，AB＝8cm，AC＝10cm，∴AD=12AB＝4cm，DE=12AC＝5cm，AF=12AC＝5cm，EF∴四边形ADEF的周长＝AD+DE+EF+AF＝18cm，故选：B．4．（2021春•富拉尔基区期末）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是两条对角线AC，BD的中点，若EH＝6，且AD≠BC，则以下说法不正确的是（）A．EH∥GF B．GF＝6 C．AD＝12 D．BC＝12【分析】由三角形中位线定理可得EH∥AD，EF=12AD，GF∥AD，GF=12AD，可得EH∥GF，EF＝GF＝6，AD【解析】∵E、F是AB、CD的中点，G、H是AC、BD的中点，∴EH∥AD，EH=12AD，GF∥AD，GF=1∴EH∥GF，EH＝GF＝6，AD＝2EH＝12，故选：D．5．（2021春•凤山县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合）点E，F分别是线段DM，MN的中点，若线段EF的最大值为2.5，则AD的长为（）A．5 B．41 C．2.5 D．3【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF的最大值为2.5，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB【解析】∵点E，F分别是线段DM，MN的中点，∴ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12DN∴DN最大时，EF最大，∵线段EF的最大值为2.5，∴DN＝2EF＝5．∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=AD∴AD＝3．故选：D．6．（2020秋•江干区期末）如图，已知△ABC，DF∥BC，DE∥AC，四边形DECF的面积为12，若DE经过△ABC的重心，则△ABC的面积为（）A．25 B．26 C．27 D．28【分析】设重心为G，则BGGH=2，根据三角形相似的判定与性质可得，S△BCES【解析】∵DE经过△ABC的重心，∴DF∥BC，DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC，∴DEAC=∴ADAB=∴S△BCES△ABC=∴S△BDES△ADF+SDECF①②组成方程组，S△BDES解得S△BDE＝12，S△ADF＝3，∴S△ABC＝27．故选：C．7．（2020秋•泗水县期末）如图，CD、BE分别为△ABC的两条中线，CD、BE相交于点O，连接DE，若△ABC的面积为12，则△ODE的面积为（）A．2 B．56 C．23 【分析】根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=12BC，根据平行线的性质得出成比例线段，根据△ABC的面积为12，即可求出△ODE【解析】∵△ABC的两条中线CD、BE相交于点O，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC∴ODOC=又∵S△ABC＝12，∴S△ABE=12S△ABC∵DE是△ABE的中线，∴S△BDE=12S△ABE∵OEOB=∴OEBE=∴S△ODE=13S△BDE故选：D．8．（2020秋•文山市期末）如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点O，连接DE，下列结论：①DEBC=12；②S△DOES△COB=A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，即DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质即可判断．【解析】∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC，即DEDE∥BC，∴△DOE∽△COB，ADAB=∴S△DOES△COB=（DEBC）2故①正确，②错误，③正确；设△DOE的面积为x，则△BOC的面积为4x，∵DE∥BC，∴DEBC=∴S△BODS∴△BOD的面积为2x，∴△BCD的面积为6x，∴AD＝BD，∴S△ACD＝S△BCD＝6x，∴S△DOES△ADC=故选：C．9．（2021春•东港区校级月考）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取AC，BC边的中点D，E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1，连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2021等于（）A．122017 B．122018 C．1【分析】根据三角形中位线定理得到DE=12AB，DE∥AB，进而证明四边形ADEF为菱形，求出菱形ADEF的周长C1【解析】∵点D，E分别为AC，BC边的中点，∴DE=12AB=12，DE∥AB，AD=∴AD＝DE，∵EF∥AC，∴四边形ADEF为菱形，∴四边形ADEF的周长C1＝4×12同理：四边形E1D1FF1的周长记作C2＝4×14……C2021=12故选：C．10．（2021春•靖远县期末）如图，顺次连接△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连接△CEF三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连接△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3，设△ABC的面积为64，则S1+S2+S3＝（）A．21 B．24 C．27 D．32【分析】由三角形中位线定理得到AD＝DB，DF=12BC＝BE，DE=12AC＝AF，再证△ADF≌△DBE（SSS），同理△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC（SSS），则S1＝S△FEC=14S△ABC＝16，同理S2=14S1【解析】∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点，∴AD＝DB，DF=12BC＝BE，DE=12AC在△ADF和△DBE中，AD=DBAF=DEDF=BE∴△ADF≌△DBE（SSS），同理可证，△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC（SSS），∴S1＝S△FEC=14S△ABC同理可得，S2=14S1＝4，S3=14∴S1+S2+S3＝16+4+1＝21，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•武汉期中）如图，点D为△ABC的边AC的中点，点E为AB上一点，若∠AED＝150°，∠ABC＝120°，则DEBC的值为32【分析】取AB中点F，连接DF，作FG⊥DE于G．由三角形中位线定理得出DF∥BC，DF=12BC，根据平行线的性质得出∠EFD＝∠ABC＝120°，再证明∠DEF＝∠EDF＝30°，那么DF＝EF，根据等腰三角形三线合一的性质得出DG=12DE．然后解Rt△DGF，得出DG=3【解析】如图，取AB中点F，连接DF，作FG⊥DE于G．∵点D为△ABC的边AC的中点，F为AB中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥BC，DF=12BC∴∠EFD＝∠ABC＝120°，∵∠AED＝150°，∴∠DEF＝180°﹣∠AED＝30°，∠EDF＝∠AED﹣EFD＝30°，∴∠DEF＝∠EDF＝30°，∴DF＝EF，∵FG⊥DE，∴DG=12DE在Rt△DGF中，∵∠DGF＝90°，∠GDF＝30°，∴GF=12DF，DG=3GF=∴DEBC=故答案为：32．12．（2021春•洛阳期末）如图，D是△ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10cm，DE＝2cm，则AC的长为6cm．【分析】延长AC、BE交于点F，证明△AEB≌△AEF，根据全等三角形的性质得到AF＝AB＝10cm，BE＝EF，根据三角形中位线定理计算即可．【解析】延长AC、BE交于点F，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，在△AEB和△AEF中，∠BAE=∠FAEAE=AE∠AEB=∠AEF=90°∴△AEB≌△AEF（ASA），∴AF＝AB＝10（cm），BE＝EF，∵BD＝DC，DE＝2cm，∴CF＝2DE＝4（cm），∴AC＝AF﹣CF＝6（cm），故答案为：6．13．（2021春•九龙坡区期中）如图，DE是△ABC的中位线，且AB＝AC，∠ABC的角平分线交DE的延长线于点F，若EF＝1，△ABC的周长为16，则BC＝4．【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=12BC，根据平行线的性质、角平分线的定义得出BD＝DF【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC∴DF=12BC∴∠FBC＝∠BFD，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠FBC＝∠ABF，∴∠ABF＝∠BFD，∴BD＝DF=12BC∴AB＝2BD＝BC+2，∵△ABC的周长为16，AB＝AC，∴BC+2+BC+2+BC＝16，解得：BC＝4，故答案为：4．14．（2021春•南海区期末）如图，AF和BE是△ABC的中线，则以下结论①AE＝CE；②O是△ABC的重心；③△ACF与△ABE面积相等；④过点C、点O的直线平分线段AB．其中正确的是①②③④（填序号）．【分析】利用三角形中线的定义可对①进行判断；根据三角形重心的定义可对②进行判断；利用三角形面积公式可对③进行判断；根据重心的定义可对④进行判断．【解析】∵AF和BE是△ABC的中线，∴AE＝CE，CF＝BF，所以①正确；点O为△ABC的重心，所以②正确；∵S△ACF=12S△ABC，S△ABE=12S∴S△ACF＝S△ABE，所以③正确；∵O点为△ABC的重心，∴过点C、点O的直线平分线段AB，所以④正确．故答案为①②③④．15．（2021春•岳阳县期末）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是25．【分析】延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE，AE的长．【解析】延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠EAN，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠ANE＝90°，在△ABN和△AEN中，∠BAN=∠EANAN=AN∠ANB=∠ANE∴△ABN≌△AEN（ASA），∴AE＝AB＝6，BN＝NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE＝2MN＝2×1.5＝3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25，故答案为：25．16．（2021春•城阳区期末）三角形各边长分别是6cm，8cm，10cm，则以各边中点为顶点的三角形面积是6cm2．【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、DF、EF，根据勾股定理的逆定理得到以各边中点为顶点的三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解析】∵D、E分别为AB、BC的中点，AC＝8cm，∴DE=12AC＝4（cm同理可得：DF＝5cm，EF＝3cm，∵32+42＝9+16＝25＝52，∴以各边中点为顶点的三角形是直角三角形，∴以各边中点为顶点的三角形面积=12×3×4＝6（cm故答案为：6．17．（2021春•徐汇区期末）我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝12，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为63．【分析】连接EF、FG、GH、HE，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，EF＝6，GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，证明四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质和勾股定理计算，得到答案．【解析】设四边形ABCD的“中对线”交于点O，连接EF、FG、GH、HE，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，EF=12BD=同理可得：GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，∴四边形EFGH为菱形，∠EFG＝60°，∴∠EFO＝30°，∴OE=12EF在Rt△OEF中，OF=EF2−O∴FH＝63，即该四边形较长的“中对线”的长度为63，故答案为：63．18．（2021春•娄星区校级期中）如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…以此类推，则△A2021B2021C2021的周长是122021−5=【分析】由三角形的中位线定理得：B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的12，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出结论．【解析】∵△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7，∴△A1B1C1的周长是16，∵A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点，∴B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的12，∴△A2B2C2的周长是12×同理，△A3B3C3的周长是12×12…，以此类推，△AnBn∁n的周长是12n−1×16∴△A2021B2021C2021的周长是122021−5故答案是：122021−5三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•崇川区校级月考）已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：（1）DE∥FG；（2）DG和EF互相平分．【分析】（1）利用三角形中位线定理即可得出FG＝DE且FG∥DE；（2）由（1）中结论可推出四边形DFGE为平行四边形，即可根据平行四边形性质得DG和EF互相平分．【解析】证明：（1）由题意可知，在△ABC中，BE、CD为中线，∴AD＝BD，AE＝CE，∴DE=12BC且DE∥在△OBC中，F，G分别是OB，OC的中点，∴FG=12BC且FG∥∴DE∥FG；（2）由（1）得DE∥FG且DE＝FG=12∴四边形DFGE为平行四边形，∴DG和EF互相平分．20．（2020秋•东西湖区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，中线BE和CD交于点O．（1）求证BE＝CD；（2）若∠A＝60°，求证OC＝2OD．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，然后证明△BCD≌△CBE，从而得到CD＝BE；（2）证明△ABC为等边三角形，则BE、CD为△ABC的角平分线和高，∠ABC＝∠ACB＝60°，再证明OB＝OC，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2OD，从而得到OC＝2OD．【解析】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BE和CD为△ABC的中线，∴BD=12AB，CE=1∴BD＝CE，在△BCD和△CBE中，BD=CE∠DBC=∠ECBBC=CB∴△BCD≌△CBE（SAS），∴CD＝BE；（2）∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵BE和CD为△ABC的中线∴BE、CD为△ABC的角平分线和高，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠BCD＝30°，CD⊥AB，∴OB＝OC，在Rt△BOD中，∵∠BDO＝90°，∠DBO＝30°，∴OB＝2OD，∴OC＝2OD．21．（2020•蔡甸区模拟）如图，△ABC中，D是边BC的中点，E是AB边上一点，且AD⊥CE于O，AD＝AC＝CE．（1）求证：∠B＝45°；（2）求OEOC的值；（3）直接写出BEEO的值．【分析】（1）作AF⊥BC于F，由等腰三角形的性质得出DF＝CF，∠ADC＝∠ACD，∠CEA＝∠EAC，证出∠1＝∠2，∠B＝∠EAF，即可得出结论；（2）设DF＝CF＝m，则BC＝4m，AF＝BF＝3m，由勾股定理得：CE＝AD=10m，由三角形吗结果先得出AD×OC＝CD×AF，求出OC=610m，得出OE＝CE﹣OC=（3）作EG⊥BC于G，则△BEG是等腰直角三角形，得出EG＝BG，设EG＝BG＝x，则CG＝4m﹣x，在Rt△CEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出EG＝m，BE=2m，即可得出结果．【解析】（1）证明：作AF⊥BC于F，如图1所示：∵AD＝AC＝CE，∴DF＝CF，∠ADC＝∠ACD，∠CEA＝∠EAC，∵∠1+∠ADC＝90°，∠ACD+∠2＝90°，∴∠1＝∠2，∵∠B+∠1＝∠CEA＝∠EAC＝∠EAF+∠2，∴∠B＝∠EAF，∵∠B+∠EAF＝90°，∴∠B＝∠EAF＝45°；（2）解：设DF＝CF＝m，则BC＝4m，AF＝BF＝3m，由勾股定理得：CE＝AD=10m，∵△ACD的面积=12AD×OC=12CD∴AD×OC＝CD×AF，即OC×10m＝2m×3m，∴OC=610m∴OE＝CE﹣OC=10m−610m=∴OEOC=（3）解：作EG⊥BC于G，如图2所示：则△BEG是等腰直角三角形，∴EG＝BG，设EG＝BG＝x，则CG＝4m﹣x，在Rt△CEG中，由勾股定理得：x2+（4m﹣x）2＝（10m）2，解得：x＝m，或x＝3m（舍去），∴EG＝m，∴BE=2m，∴BEEO=22．（2019秋•德惠市期中）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连接DE、EF、FG、GD．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）若△ADE的面积为6，则四边形DEFG的面积为8．【分析】（1）由题意可知DE和FG分别是△ABC和△BCO的中位线，从而DE∥BC，且DE=12BC；FG∥BC，且FG=1（2）由平行四边形及等底同高三角形可求得答案．【解析】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC，且DE=12BC∵F、G分别是BO、CO的中点，∴FG是△BCO的中位线．∴FG∥BC，且FG=12BC∴DE∥FG且DE＝FG．∴四边形DEFG是平行四边形．（2）∵CE为△ABC的中线，△ADE的面积为6∴S△BED＝6∵四边形DEFG是平行四边形，F是BO的中点，∴OD＝OF＝BF，OE＝OG∴S△BEF＝S△FOE＝S△ODE=13∴S△FOE＝S△ODE＝S△FOG＝S△ODG＝2∴四边形DEFG的面积为8．故答案为：8．23．（2019秋•中原区