工程数学期末复习指导

工程数学期末复习指导一、课程概述工程数学(本)是开放教育本科各理工科专业的一门重要基础课程，它为后续专业课程的学习提供必要的数学工具。本课程包括线性代数、概率论与数理统计两大部分内容。通过学习，学生应掌握线性代数中的矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量等基本概念和运算方法，以及概率论与数理统计中的随机事件与概率、随机变量及其概率分布、数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计和假设检验等知识，并能运用这些知识解决一些实际问题。二、复习重点线性代数1.矩阵矩阵的运算：加法、数乘、乘法、转置等，要熟练掌握运算规则。逆矩阵：理解逆矩阵的概念，掌握用伴随矩阵法和初等行变换法求逆矩阵。矩阵的秩：会用初等行变换求矩阵的秩。2.向量向量的线性组合与线性表示：判断一个向量能否由一组向量线性表示。向量组的线性相关性：掌握判别向量组线性相关或线性无关的方法。向量组的极大线性无关组与秩：会求向量组的极大线性无关组和秩。3.线性方程组线性方程组的消元法：熟练掌握用高斯消元法求解线性方程组。线性方程组解的判定：理解线性方程组有解、无解、有唯一解或无穷多解的条件。齐次线性方程组的基础解系与通解：会求齐次线性方程组的基础解系和通解。非齐次线性方程组的通解：掌握求非齐次线性方程组通解的方法。4.矩阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的概念：理解特征值和特征向量的定义。特征值与特征向量的计算：会求矩阵的特征值和特征向量。相似矩阵：了解相似矩阵的性质。实对称矩阵的对角化：掌握实对称矩阵正交相似对角化的方法。概率论与数理统计1.随机事件与概率随机事件的关系与运算：掌握事件的包含、相等、并、交、差、对立等关系及运算规则。概率的定义与性质：理解概率的公理化定义，掌握概率的基本性质。古典概型：会计算古典概型中的概率问题。条件概率：掌握条件概率的定义和计算方法。全概率公式与贝叶斯公式：会运用全概率公式和贝叶斯公式解决实际问题。2.随机变量及其概率分布随机变量的概念：理解随机变量的定义。离散型随机变量：掌握离散型随机变量的概率分布、分布函数的定义和性质，会计算相关概率。连续型随机变量：理解连续型随机变量的概率密度函数、分布函数的定义和性质，会计算相关概率，掌握常见连续型随机变量的分布。随机变量函数的分布：会求简单随机变量函数的分布。3.数字特征数学期望：理解数学期望的定义，掌握离散型和连续型随机变量数学期望的计算方法，掌握数学期望的性质。方差：理解方差的定义，掌握方差的计算方法和性质。协方差与相关系数：理解协方差和相关系数的概念，掌握它们的计算方法和性质。4.大数定律与中心极限定理切比雪夫不等式：了解切比雪夫不等式及其应用。大数定律：了解大数定律的基本内容。中心极限定理：掌握独立同分布的中心极限定理和棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，并会运用它们近似计算相关概率。5.数理统计的基本概念总体与样本：理解总体、个体、样本和样本容量的概念。统计量：掌握常见统计量的定义，如样本均值、样本方差等。抽样分布：了解\(\chi^{2}\)分布、\(t\)分布和\(F\)分布的定义和性质，会查相应的分布表。6.参数估计点估计：掌握矩估计法和极大似然估计法求参数的点估计。估计量的评选标准：了解无偏性、有效性和一致性的概念。区间估计：掌握正态总体均值和方差的区间估计方法。7.假设检验假设检验的基本思想：理解假设检验的基本原理。单正态总体均值和方差的假设检验：掌握单正态总体均值和方差的假设检验方法，包括双边检验和单边检验。三、复习方法1.系统复习按照教材章节顺序，全面梳理知识点，建立知识框架。明确各部分内容的重点、难点，理解基本概念、定理和公式的含义。对线性代数和概率论与数理统计的知识点进行分类整理，比如将矩阵的各种运算规则整理在一起，将不同类型随机变量的概率分布及相关计算方法进行对比总结。2.多做练习通过做教材后的习题、网上作业以及历年考试真题，加深对知识点的理解和掌握。做题时要注重解题思路和方法，总结同类题型的解题技巧。对于做错的题目，要认真分析原因，找出自己的薄弱环节，有针对性地进行复习和强化训练。3.总结归纳复习过程中要不断总结归纳，将相似的知识点进行对比分析，找出它们的联系与区别。例如，对比不同求解线性方程组的方法，分析其适用情况；对比不同分布的特点和应用场景。总结解题方法和技巧，形成自己的解题策略。比如在求矩阵的逆、计算概率等问题上，总结出常用的方法和步骤。4.请教老师和同学如果在复习过程中遇到不懂的问题，要及时向老师和同学请教。与同学交流讨论，可以从不同角度理解问题，拓宽解题思路。参加学习小组或线上讨论，分享学习经验和复习资料，共同提高复习效果。四、各部分题型及解题要点线性代数1.选择题这类题目通常考查基本概念和简单运算。解题时要仔细分析每个选项，运用所学的定义、定理和性质进行判断。例如：已知矩阵\(A\)满足\(A^{2}=A\)，则\(A\)的特征值只能是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(0\)或\(1\)D.以上都不对解题要点：设\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(x\)是对应的特征向量，则\(Ax=\lambdax\)，由\(A^{2}=A\)可得\(A^{2}x=Ax\)，即\(\lambda^{2}x=\lambdax\)，因为\(x\neq0\)，所以\(\lambda^{2}\lambda=0\)，解得\(\lambda=0\)或\(\lambda=1\)，答案选C。2.填空题主要考查基本公式和简单计算。答题时要准确记忆公式，认真计算。例如：设三阶矩阵\(A\)的特征值为\(1,1,2\)，则\(\vertA\vert=\)______。解题要点：根据矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式的值，可得\(\vertA\vert=1\times(1)\times2=2\)。3.计算题矩阵运算：要熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算规则，按照运算顺序逐步计算。例如：已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，求\(AB\)。解题要点：\(AB=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)求逆矩阵：可以用伴随矩阵法或初等行变换法。伴随矩阵法需要先求伴随矩阵，再计算逆矩阵；初等行变换法是将矩阵\((A|E)\)进行初等行变换，当\(A\)化为\(E\)时，右边的矩阵就是\(A\)的逆矩阵。例如：用初等行变换法求矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix}\)的逆矩阵。解题要点：\((A|E)=\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\2&2&1&0&1&0\\3&4&3&0&0&1\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_22R_1}\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\0&2&5&2&1&0\\3&4&3&0&0&1\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_33R_1}\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\0&2&5&2&1&0\\0&2&6&3&0&1\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_2\div(2)}\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\0&1&\frac{5}{2}&1&\frac{1}{2}&0\\0&2&6&3&0&1\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_12R_2}\begin{pmatrix}1&0&2&1&1&0\\0&1&\frac{5}{2}&1&\frac{1}{2}&0\\0&2&6&3&0&1\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_3+2R_2}\begin{pmatrix}1&0&2&1&1&0\\0&1&\frac{5}{2}&1&\frac{1}{2}&0\\0&0&1&1&1&1\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_12R_3}\begin{pmatrix}1&0&0&1&3&2\\0&1&\frac{5}{2}&1&\frac{1}{2}&0\\0&0&1&1&1&1\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_2+\frac{5}{2}R_3}\begin{pmatrix}1&0&0&1&3&2\\0&1&0&\frac{3}{2}&3&\frac{5}{2}\\0&0&1&1&1&1\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_3\times(1)}\begin{pmatrix}1&0&0&1&3&2\\0&1&0&\frac{3}{2}&3&\frac{5}{2}\\0&0&1&1&1&1\end{pmatrix}\)所以\(A^{1}=\begin{pmatrix}1&3&2\\\frac{3}{2}&3&\frac{5}{2}\\1&1&1\end{pmatrix}\)线性方程组求解：用高斯消元法将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，然后根据方程组解的判定条件进行求解。对于齐次线性方程组，求出基础解系后得到通解；对于非齐次线性方程组，先求出对应的齐次线性方程组的基础解系，再求出一个特解，两者相加得到通解。例如：求解线性方程组\(\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=1\\2x_1+2x_2+x_3=2\\3x_1+4x_2+3x_3=3\end{cases}\)解题要点：增广矩阵\((A|B)=\begin{pmatrix}1&2&3&1\\2&2&1&2\\3&4&3&3\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_22R_1}\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&2&5&0\\3&4&3&3\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_33R_1}\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&2&5&0\\0&2&6&0\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_3R_2}\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&2&5&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_2\div(2)}\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&1&\frac{5}{2}&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_12R_2}\begin{pmatrix}1&0&2&1\\0&1&\frac{5}{2}&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_12R_3}\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&\frac{5}{2}&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_2+\frac{5}{2}R_3}\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_3\times(1)}\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\)所以方程组的解为\(x_1=1\)，\(x_2=0\)，\(x_3=0\)。概率论与数理统计1.选择题同样考查基本概念和简单计算。要对概率的各种定义、性质以及常见分布的特点有清晰的理解。例如：设随机变量\(X\simN(0,1)\)，\(\varPhi(x)\)为其分布函数，则\(P\{X\gt1\}\)等于（）A.\(2\varPhi(1)1\)B.\(12\varPhi(1)\)C.\(2\varPhi(1)\)D.\(\varPhi(1)\)解题要点：因为\(P\{X\gt1\}=1P\{X\leq1\}=1\varPhi(1)\)，又因为正态分布是对称的，\(P\{X\leq1\}=1\varPhi(1)\)，所以\(P\{X\gt1\}=P\{X\lt1\}\)，则\(P\{X\gt1\}=\frac{1P\{1\leqX\leq1\}}{2}=\frac{1[\varPhi(1)\varPhi