高中数学-1.1.1-数列的概念教案-北师大版必修5

高中数学-1.1.1-数列的概念教案-北师大版必修5一、教学目标1.知识与技能目标理解数列的概念，了解数列的表示方法。掌握数列通项公式的概念，能根据通项公式写出数列的前几项，并能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。了解数列是一种特殊的函数，体会数列与函数之间的关系。2.过程与方法目标通过对日常生活中大量实例的观察、分析，归纳出数列的定义，培养学生观察、归纳、类比、推理等能力。通过数列通项公式的学习，让学生感受从特殊到一般的数学思想方法，提高学生的数学抽象能力。通过探究数列与函数的关系，培养学生的联系与转化意识，提升学生综合运用知识解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过对数列概念的学习，使学生体会数学与生活的紧密联系，感受数学的严谨性和趣味性，激发学生学习数学的兴趣。在探究活动中，培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点数列的概念和通项公式。理解数列是一种特殊的函数，能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。2.教学难点对数列通项公式概念的理解，以及如何根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。体会数列与函数之间的内在联系，用函数的观点研究数列。三、教学方法1.讲授法：通过清晰、准确的语言，向学生讲解数列的基本概念、通项公式等重要知识点，使学生系统地掌握本节课的基础知识。2.讨论法：组织学生对一些具体的数列问题进行讨论，鼓励学生积极思考、发表自己的见解，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.探究法：引导学生通过自主探究、观察分析等活动，探索数列的规律，归纳出数列的通项公式，培养学生的探究能力和创新精神。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.展示图片多媒体展示大自然中的一些数列现象，如花瓣的数目（斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，...）、树木的分枝（1，2，4，8，16，...）、钢琴的音阶（1，2，3，4，5，6，7，i）等。2.提出问题引导学生观察这些图片，思考它们有什么共同的特点？这些现象中蕴含着怎样的数学规律？3.引入课题由此引出本节课的主题数列，让学生感受到数列在生活中的广泛存在，激发学生的学习兴趣。（二）讲解新课（25分钟）1.数列的概念实例分析多媒体展示几个具体的例子：三角形数：1，3，6，10，...正方形数：1，4，9，16，...某种细胞分裂问题：1个细胞30分钟后分裂成2个，经过5个小时，细胞分裂的个数依次为2，4，8，16，32，64，...我国参加6次奥运会获得的金牌总数：15，5，16，16，28，32引导学生观察这些例子，分析它们的共同特征提问：这些例子中的数有什么特点？它们之间有什么顺序关系？学生分组讨论，然后派代表发言。教师总结数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，......，排在第n位的数称为这个数列的第n项。数列的表示方法数列的一般形式可以写成：\(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n},\cdots\)，简记为\(\{a_{n}\}\)。其中\(a_{n}\)是数列的第n项。例如，数列1，3，6，10，...可表示为\(\{a_{n}\}\)，其中\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=3\)，\(a_{3}=6\)，\(a_{4}=10\)，...2.数列的通项公式实例探究对于数列2，4，6，8，...提问：你能找出这个数列的项与序号之间的关系吗？引导学生观察：\(a_{1}=2=2\times1\)，\(a_{2}=4=2\times2\)，\(a_{3}=6=2\times3\)，\(a_{4}=8=2\times4\)，...学生尝试总结规律，得出该数列的通项公式为\(a_{n}=2n\)。通项公式的定义如果数列\(\{a_{n}\}\)的第n项\(a_{n}\)与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。讲解通项公式的作用通项公式可以帮助我们确定数列的每一项，通过代入不同的n值，就能求出数列的任意一项。同时，它也反映了数列的变化规律。例题讲解例1：根据下面数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式，写出它的前5项：（1）\(a_{n}=n^{2}\)；（2）\(a_{n}=(1)^{n}\cdotn\)解：（1）当\(n=1\)时，\(a_{1}=1^{2}=1\)；当\(n=2\)时，\(a_{2}=2^{2}=4\)；当\(n=3\)时，\(a_{3}=3^{2}=9\)；当\(n=4\)时，\(a_{4}=4^{2}=16\)；当\(n=5\)时，\(a_{5}=5^{2}=25\)。（2）当\(n=1\)时，\(a_{1}=(1)^{1}\times1=1\)；当\(n=2\)时，\(a_{2}=(1)^{2}\times2=2\)；当\(n=3\)时，\(a_{3}=(1)^{3}\times3=3\)；当\(n=4\)时，\(a_{4}=(1)^{4}\times4=4\)；当\(n=5\)时，\(a_{5}=(1)^{5}\times5=5\)。例2：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{2}{3}\)，\(\frac{3}{4}\)，\(\frac{4}{5}\)解：（1）观察发现数列的各项都是奇数，且是从1开始的连续奇数，所以通项公式可以为\(a_{n}=2n1\)。（2）观察发现数列的分子是从1开始的连续自然数，分母比分子大1，所以通项公式可以为\(a_{n}=\frac{n}{n+1}\)。总结方法：对于这类求数列通项公式的问题，我们需要观察数列各项的特征，寻找项与序号之间的规律。常见的规律有数字的变化规律、符号规律、与项数的运算关系等。（三）数列与函数的关系（15分钟）1.引导思考提问：数列\(\{a_{n}\}\)可以看作是一个函数吗？如果可以，它的定义域是什么？学生思考并回答，教师进行总结。2.分析讲解数列\(\{a_{n}\}\)可以看作是一个定义域为正整数集\(N^{*}\)（或它的有限子集\(\{1,2,3,\cdots,n\}\)）的函数\(a_{n}=f(n)\)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。例如，数列2，4，6，8，...的通项公式为\(a_{n}=2n\)，可以看作函数\(y=2x\)（\(x\inN^{*}\)），当\(x=1\)时，\(y=2\)；当\(x=2\)时，\(y=4\)；当\(x=3\)时，\(y=6\)；...用函数的观点理解数列的单调性对于数列\(\{a_{n}\}\)，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即\(a_{n+1}>a_{n}\)，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即\(a_{n+1}<a_{n}\)，那么这个数列叫做递减数列；如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列。例如，数列1，2，3，4，...是递增数列，因为\(a_{n+1}a_{n}=(n+1)n=1>0\)；数列\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots\)是递减数列，因为\(a_{n+1}a_{n}=\frac{1}{n+1}\frac{1}{n}=\frac{1}{n(n+1)}<0\)；数列2，2，2，2，...是常数列，因为\(a_{n+1}a_{n}=22=0\)。3.课堂练习已知数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=n^{2}5n+4\)。（1）数列中有多少项是负数？（2）\(n\)为何值时，\(a_{n}\)有最小值？并求出最小值。解：（1）令\(a_{n}=n^{2}5n+4<0\)，即\((n1)(n4)<0\)，解得\(1<n<4\)。因为\(n\inN^{*}\)，所以\(n=2\)或\(n=3\)，即数列中有2项是负数。（2）\(a_{n}=n^{2}5n+4=(n\frac{5}{2})^{2}\frac{9}{4}\)，因为\(n\inN^{*}\)，所以当\(n=2\)或\(n=3\)时，\(a_{n}\)有最小值，最小值为\(a_{2}=a_{3}=2^{2}5\times2+4=2\)。（四）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容提问：本节课我们学习了哪些知识？学生回答，教师进行补充和完善。2.总结归纳数列的概念：按照一定顺序排列的一列数。数列的表示方法：\(\{a_{n}\}\)，\(a_{n}\)是数列的第n项。数列的通项公式：\(a_{n}\)与序号n之间的关系式。数列与函数的关系：数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集\(N^{*}\)（或它的有限子集\(\{1,2,3,\cdots,n\}\)）。（五）布置作业（5分钟）1.书面作业教材第5页练习A组第1、2、3题；练习B组第1、2题。要求学生认真完成，书写规范，按时交作业。通过这些题目，进一步巩固本节课所学的数列的概念、通项公式等知识。2.拓展作业观察生活中还有哪些数列现象，并尝试写出它们的通项公式。鼓励学生积极探索，培养学生观察生活、运用数学知识的能力，激发学生学习数学的兴趣。五、教学反思通过本节课的教学，学生对数列的概念和通项公式有了一定的理解和掌握。在教学过程中，通过大量的实例引入，让学生感受到数列在生活中的广泛应用，提高了学生的学习兴趣。同时，通过引导学生观察