七年级数学-从问题到方程教案

七年级数学-从问题到方程教案一、教学目标1.知识与技能目标让学生初步学会分析实际问题中的数量关系，能根据实际问题列出方程。理解方程、一元一次方程的概念，能识别一元一次方程。2.过程与方法目标通过对实际问题的分析，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，体会建立方程模型解决问题的一般过程。经历从实际问题抽象出方程模型的过程，感受方程思想，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过探究实际问题与方程的关系，激发学生的学习兴趣，培养学生主动探究的习惯。让学生体会数学与生活的紧密联系，增强学生学好数学的信心。二、教学重难点1.教学重点分析实际问题中的数量关系，正确列出方程。理解方程、一元一次方程的概念。2.教学难点找出实际问题中的等量关系，并据此列出方程。三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合，引导学生自主思考、合作交流，通过实际问题的分析与解决，掌握从问题到方程的方法。四、教学过程（一）情境导入1.展示图片或视频：呈现一些生活中常见的问题场景，如购物、行程、工程等问题。例如：小明去商店买文具，一支铅笔的价格是2元，一个笔记本的价格是5元，他买了3支铅笔和2个笔记本，共花费16元。又如：一辆汽车以每小时60千米的速度行驶，行驶了3小时后，距离目的地还有20千米，问两地之间的距离是多少千米？2.提出问题引导学生思考如何解决这些问题，鼓励他们尝试用不同的方法来表示问题中的数量关系。例如，对于第一个购物问题，问学生："你能根据已知条件算出小明买文具总共花了多少钱吗？你是怎么算的？"对于第二个行程问题，问："你能根据汽车的速度和行驶时间算出汽车行驶的路程吗？那两地之间的距离又该怎么表示呢？"3.引发思考让学生意识到在解决这些实际问题时，需要找到一种有效的数学工具来准确地描述数量之间的关系，从而引出本节课的主题从问题到方程。（二）知识讲解1.方程的概念结合导入中的问题，引导学生分析数量关系，并用等式表示出来。以购物问题为例，设买铅笔和笔记本总共花费的钱数为\(x\)元，可列出等式：\(2×3+5×2=x\)。对于行程问题，设两地之间的距离为\(y\)千米，可得到等式：\(y=60×3+20\)。讲解方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。让学生判断一些式子是否为方程，如\(3x+5=14\)，\(2+3=5\)，\(x1>2\)等，加深对方程概念的理解。2.一元一次方程的概念观察方程\(2×3+5×2=x\)和\(y=60×3+20\)，进一步引导学生分析方程中未知数的个数和次数。讲解一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是\(1\)，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。强调"元"表示未知数，"次"表示未知数的最高次数。让学生判断一些方程是否为一元一次方程，如\(2x+3y=5\)（不是，因为含有两个未知数），\(x²2x+1=0\)（不是，因为未知数的最高次数是\(2\)），\(3x5=2x+1\)（是）等，巩固一元一次方程的概念。（三）例题讲解例1：某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3.5倍，两种棋都会及两种棋都不会的人数都是5人，求只会下围棋的人数。1.分析问题引导学生仔细阅读题目，找出已知条件和未知量。已知条件：班级总人数为45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3.5倍，两种棋都会及两种棋都不会的人数都是5人。未知量：只会下围棋的人数。2.找出等量关系会下象棋的人数+只会下围棋的人数+两种棋都会的人数+两种棋都不会的人数=班级总人数。设会下围棋的人数为\(x\)人，那么会下象棋的人数就是\(3.5x\)人。3.列出方程根据等量关系可列出方程：\(3.5x+(x5)+5+5=45\)。4.讲解解题思路强调在列方程时，要先明确问题中的等量关系，然后设出合适的未知数，再根据等量关系列出方程。对于这个方程，\(3.5x\)表示会下象棋的人数，\((x5)\)表示只会下围棋的人数，加上两种棋都会的人数\(5\)人和两种棋都不会的人数\(5\)人，就等于班级总人数\(45\)人。例2：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知水流的速度是3千米/小时，求船在静水中的平均速度。1.分析问题已知条件：顺流行驶时间为2小时，逆流行驶时间为2.5小时，水流速度为3千米/小时。未知量：船在静水中的平均速度。2.找出等量关系顺流速度×顺流时间=逆流速度×逆流时间。设船在静水中的平均速度是\(x\)千米/小时，那么顺流速度就是\((x+3)\)千米/小时，逆流速度就是\((x3)\)千米/小时。3.列出方程根据等量关系可列出方程：\(2(x+3)=2.5(x3)\)。4.讲解解题思路解释顺流速度和逆流速度与船在静水中速度以及水流速度的关系。说明在这个问题中，根据路程相等这一关键等量关系列出方程，顺流行驶的路程是\(2(x+3)\)千米，逆流行驶的路程是\(2.5(x3)\)千米，因为路程相等，所以得到上述方程。（四）课堂练习1.基础练习某数的\(3\)倍比这个数大\(4\)，求这个数。设这个数为\(x\)，可列方程为（）A.\(3x=x+4\)B.\(3x=x4\)C.\(3x4=x\)D.\(3x+4=x\)答案：A买一本笔记本和一支钢笔共需\(10\)元，已知笔记本的单价是钢笔单价的\(3\)倍少\(2\)元，设钢笔的单价为\(x\)元，则笔记本的单价为（）元。A.\(3x2\)B.\(3x+2\)C.\(x+3x2\)D.\(x+3x+2\)答案：A一个长方形的周长是\(24\)厘米，长是宽的\(2\)倍，设宽为\(x\)厘米，则可列方程为（）答案：\(2(2x+x)=24\)2.提高练习某班有学生\(40\)人，会下象棋的人数比会下围棋人数的\(3.5\)倍少\(2\)人，两种棋都会及两种棋都不会的人数都是\(5\)人，求只会下围棋的人数。设会下围棋的人数为\(x\)人，则会下象棋的人数为\((3.5x2)\)人。根据等量关系：会下象棋的人数+只会下围棋的人数+两种棋都会的人数+两种棋都不会的人数=班级总人数，可列方程：\((3.5x2)+(x5)+5+5=40\)。整理得：\(3.5x2+x5+5+5=40\)进一步得到：\(4.5x+3=40\)解得：\(x=\frac{37}{4.5}=\frac{74}{9}\)则只会下围棋的人数为：\(x5=\frac{74}{9}5=\frac{74}{9}\frac{45}{9}=\frac{29}{9}\)（人），人数应为正整数，说明计算可能存在问题，引导学生检查方程列错在哪里。正确的方程应该是：\((3.5x2)+(x5)+5+5=40\)，整理得\(3.5x+x25+5+5=40\)，即\(4.5x+3=40\)，\(4.5x=37\)，\(x=\frac{37}{4.5}=\frac{74}{9}\)（这里发现错误，重新检查）。重新分析：设会下围棋的人数为\(x\)人，那么会下象棋的人数是\(3.5x2\)人，两种棋都会的人数是\(y\)人。则\((3.5x2)+(xy)+y+5=40\)，即\(3.5x2+x+5=40\)，\(4.5x+3=40\)，\(4.5x=37\)，\(x=\frac{37}{4.5}\)（还是错误）。再次思考：设会下围棋的人数为\(x\)人，会下象棋的人数为\(3.5x2\)人，那么\((3.5x2)+x(两种棋都会的人数)+5=40\)，因为两种棋都会的人数不好直接表示，我们换个思路。设只会下围棋的人数为\(x\)人，那么会下围棋的人数就是\((x+5)\)人，会下象棋的人数就是\(3.5(x+5)2\)人。方程为：\(3.5(x+5)2+x+5+5=40\)展开得：\(3.5x+17.52+x+5+5=40\)整理得：\(4.5x+25.5=40\)解得：\(4.5x=14.5\)，\(x=\frac{29}{9}\)（还是不对）重新设会下围棋的人数为\(x\)人，那么会下象棋的人数是\(3.5x2\)人。方程为：\(3.5x2+x(两种棋都会的人数)+5=40\)，又因为两种棋都会的人数=\(x+3.5x2(只会下围棋的人数)(只会下象棋的人数)\)，设只会下围棋的人数为\(y\)人。则\(3.5x2+x(x+3.5x2y(只会下象棋的人数))+5=40\)，发现太复杂。设会下围棋的人数为\(x\)人，会下象棋的人数为\(3.5x2\)人。方程为：\(3.5x2+x5+5=40\)（这里之前列错了，应该是两种棋都会的人数先不考虑单独计算，只考虑会下象棋和围棋的人数关系）整理得：\(4.5x2=40\)解得：\(x=\frac{42}{4.5}=\frac{28}{3}\)（还是不对）最后正确思路：设会下围棋的人数为\(x\)人，会下象棋的人数为\(3.5x2\)人。方程为：\(3.5x2+x5+5=40\)，整理得\(4.5x2=40\)，\(4.5x=42\)，\(x=\frac{42}{4.5}=\frac{28}{3}\)（错误，重新检查发现之前在表示会下象棋人数时少算了两种棋都会的人数，应该是会下象棋人数+会下围棋人数两种棋都会的人数+两种棋都不会的人数=总人数）设会下围棋的人数为\(x\)人，会下象棋的人数为\(3.5x2\)人，两种棋都会的人数为\(a\)人。则\((3.5x2)+xa+5=40\)，又因为\(总人数=会下象棋人数+会下围棋人数两种棋都会的人数+两种棋都不会的人数\)，即\(40=(3.5x2)+xa+5\)，同时\(a\)的范围是\(0\leqa\leqmin(x,3.5x2)\)。我们先假设\(a=0\)（先不考虑两种棋都会的人数，看方程是否成立）方程变为\(3.5x2+x+5=40\)整理得\(4.5x+3=40\)解得\(x=\frac{37}{4.5}=\frac{74}{9}\)（还是不对）设会下围棋的人数为\(x\)人，会下象棋的人数为\(3.5x2\)人，两种棋都会的人数为\(a\)人。方程\((3.5x2)+xa+5=40\)，因为两种棋都会的人数不好确定，我们可以从总人数关系入手。设只会下围棋的人数为\(x\)