2024高考数学一轮复习第10章算法初步统计与统计案例第4节变量间的相关关系统计案例教学案理北师大版

PAGEPAGE1第四节变量间的相关关系、统计案例[最新考纲]1.会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图相识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能依据给出的线性回来方程系数公式建立线性回来方程(线性回来系数公式不要求记忆).3.了解回来分析的基本思想、方法及其简洁应用.4.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法及其初步应用．1．相关性(1)线性相关若两个变量x和y的散点图中，全部点看上去都在一条直线旁边波动，则称变量间是线性相关的．(2)非线性相关若全部点看上去都在某条曲线(不是一条直线)旁边波动，则称此相关为非线性相关的．(3)不相关假如全部的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．2．最小二乘估计(1)最小二乘法假如有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．(2)线性回来方程方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的线性回来方程，其中a，b是待定参数．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))\o()xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))\o()xi－\x\to(x)2)＝\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))\o()xiyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))\o()x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2).,a＝\x\to(y)－b\x\to(x).))3．回来分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))称为样本点的中心．(3)相关系数r①r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))；②当r>0时，称两个变量正相关．当r<0时，称两个变量负相关．当r＝0时，称两个变量线性不相关．4．独立性检验若一个2×2列联表为：BAB1B2总计A1aba＋bA2cdc＋d总计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d则统计量χ2为：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).(1)当χ2≤2.706时，可以认为变量A，B是没有关联的；(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．eq\a\vs4\al([常用结论])1．回来直线必过样本点的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．2．当两个变量的相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．一、思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“名师出高徒”可以说明为老师的教学水平与学生的水平成正相关关系．()(2)通过回来直线方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))可以估计预报变量的取值和改变趋势．()(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回来方程，所以没有必要进行相关性检验．()(4)事务X，Y关系越亲密，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越大．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√二、教材改编1．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝3.5，则由该观测数据算得的线性回来方程可能是()A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4A[因为变量x和y正相关，解除选项C，D.又样本中心(3,3.5)在回来直线上，解除B，选项A满足．]2．下面是2×2列联表：y1y2总计x1a2173x2222547总计b46120则表中a，b的值分别为()A．94,72 B．52,50C．52,74 D．74,52C[∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.]3．为了推断中学三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.依据表中数据，得到χ2的观测值k＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为______．5%[χ2的观测值k≈4.844，这表明小概率事务发生．依据假设检验的基本原理，应当断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种推断出错的可能性约为5%.]4．某同学家里开了一个小卖部，为了探讨气温对某种冷饮销售量的影响，他收集了一段时间内这种冷饮每天的销售量y(杯)与当天最高气温x(℃)的有关数据，通过描绘散点图，发觉y和x呈线性相关关系，并求得其回来方程eq\o(y,\s\up8(^))＝2x＋60.假如气象预报某天的最高气温为34℃，则可以预料该天这种饮料的销售量为__________杯．128[由题意x＝34时，该小卖部大约能卖出热饮的杯数eq\o(y,\s\up8(^))＝2×34＋60＝128杯．]考点1相关关系的推断判定两个变量正、负相关的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．(3)线性回来直线方程中：eq\o(b,\s\up8(^))>0时，正相关；eq\o(b,\s\up8(^))<0时，负相关．1.已知变量x和y近似满足关系式y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关C[由y＝－0.1x＋1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关．]2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2＜r4＜0＜r3＜r1B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r3A[由相关系数的定义以及散点图可知r2＜r4＜0＜r3＜r1.]3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若全部样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝－3x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－3 B．0C．－1 D．1C[在一组样本数据的散点图中，全部样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝－3x＋1上，所以b＝－3<0，即这组样本数据的两个变量负相关，且相关系数为－1.故选C.]4．x和y的散点图如图所示，则下列说法中全部正确命题的序号为________．①x，y是负相关关系；②在该相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的相关系数为r1，用eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))拟合时的相关指数为r2，则|r1|＞|r2|；③x，y之间不能建立线性回来方程．①②[在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝c1ec2x拟合比用eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))拟合效果要好，则|r1|＞|r2|，故②正确；x，y之间可以建立线性回来方程，但拟合效果不好，故③错误．]相关关系的直观推断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有肯定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具有相关性．考点2回来分析线性回来分析求线性回来直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验推断两个变量是否具有线性相关关系；(2)利用公式eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x)求得回来系数；(3)写出回来直线方程．如图是某企业2012年至2024年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2024.(1)由折线图看出，可用线性回来模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回来方程，预料2024年该企业的污水净化量；(3)请用数据说明回来方程预报的效果．参考数据：eq\x\to(y)＝54，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝21，eq\r(14)≈3.74，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up8(^))i)2＝eq\f(9,4).参考公式：相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))yi－\x\to(y)2))，线性回来方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(a,\s\up8(^))＋eq\o(b,\s\up8(^))t，eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(t).反映回来效果的公式为：R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))yi－\o(y,\s\up8(^))i2,\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))yi－\x\to(y)2)，其中R2越接近于1，表示回来的效果越好．[解](1)由折线图中的数据得，eq\x\to(t)＝4，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝28，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))(yi－eq\x\to(y))2＝18，所以r＝eq\f(21,\r(28×18))≈0.935.因为y与t的相关系数近似为0.935，说明y与t的线性相关程度相当大，所以可以用线性回来模型拟合y与t的关系．(2)因为eq\x\to(y)＝54，eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2)＝eq\f(21,28)＝eq\f(3,4)，所以eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(t)＝54－eq\f(3,4)×4＝51，所以y关于t的线性回来方程为eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))t＋eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\f(3,4)t＋51.将2024年对应的t＝10代入得eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\f(3,4)×10＋51＝58.5，所以预料2024年该企业污水净化量约为58.5吨．(3)因为R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))yi－\o(y,\s\up8(^))i2,\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))yi－\x\to(y)2)＝1－eq\f(9,4)×eq\f(1,18)＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8)＝0.875，所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，这说明回来方程预报的效果是良好的．在线性回来分析中，只需利用公式求出回来直线方程并利用其进行预料即可(留意回来直线过样本点的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)))，利用回来方程进行预料，常把线性回来方程看作一次函数，求函数值．[老师备选例题]某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：年份x20132014201520242024储蓄存款y(千亿元)567810表1为了探讨计算的便利，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2012，z＝y－5得到下表2：时间代号t12345z01235表2(1)求z关于t的线性回来方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回来方程；(3)用所求回来方程预料到2024年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回来方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，其中eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x))[解](1)eq\x\to(t)＝3，eq\x\to(z)＝2.2，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))tizi＝45，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))teq\o\al(2,i)＝55，eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(45－5×3×2.2,55－5×9)＝1.2，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(z)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(t)＝2.2－3×1.2＝－1.4，所以eq\o(z,\s\up8(^))＝1.2t－1.4.(2)将t＝x－2012，z＝y－5，代入eq\o(z,\s\up8(^))＝1.2t－1.4，得y－5＝1.2(x－2012)－1.4，即eq\o(y,\s\up8(^))＝1.2x－2410.8.(3)因为eq\o(y,\s\up8(^))＝1.2×2022－2410.8＝15.6，所以预料到2024年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．1.(2024·山东高考)为了探讨某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，依据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回来直线方程为eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^)).已知eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))eq\o()xi＝225，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))yi＝1600，eq\o(b,\s\up8(^))＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A．160 B．163C．166 D．170C[∵eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xi＝225，∴eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xi＝22.5.∵eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))yi＝1600，∴eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))yi＝160.又eq\o(b,\s\up8(^))＝4，∴eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x)＝160－4×22.5＝70.∴回来直线方程为eq\o(y,\s\up8(^))＝4x＋70.将x＝24代入上式得eq\o(y,\s\up8(^))＝4×24＋70＝166.故选C.]2．某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如表：广告费用x(万元)2345销售额y(万元)26m4954依据上表可得回来方程eq\o(y,\s\up8(^))＝9x＋10.5，则m的值为()A．36 B．37C．38 D．39D[由回来方程的性质，线性回来方程过样本点的中心，则eq\f(26＋m＋49＋54,4)＝eq\f(2＋3＋4＋5,4)×9＋10.5，解得m＝39.故选D.]可线性化的回来方程可线性化的回来方程的求法(1)依据原始数据作出散点图．(2)依据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回来方程．(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得可线性化的回来方程．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需了解年宣扬费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣扬费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\o(∑,\s\up8(8),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2eq\o(∑,\s\up8(8),\s\do14(i＝1))(wi－eq\x\to(w))2eq\o(∑,\s\up8(8),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\o(∑,\s\up8(8),\s\do14(i＝1))(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，w]＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up8(8),\s\do14(i＝1))wi.(1)依据散点图推断，y＝a＋bx与y＝c＋deq\r(x)哪一个相宜作为年销售量y关于年宣扬费x的回来方程类型；(给出推断即可，不必说明理由)(2)依据(1)的推断结果及表中数据，建立y关于x的回来方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.依据(2)的结果回答下列问题：①年宣扬费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣扬费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回来直线eq\o(v,\s\up8(^))＝eq\o(α,\s\up8(^))＋eq\o(β,\s\up8(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))\o()ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))\o()ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up8(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up8(^))eq\x\to(u).[解](1)由散点图可以推断，y＝c＋deq\r(x)相宜作为年销售量y关于年宣扬费x的回来方程类型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y关于w的线性回来方程．由于eq\o(d,\s\up8(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up8(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回来方程为eq\o(y,\s\up8(^))＝100.6＋68w，因此y关于x的回来方程为eq\o(y,\s\up8(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值eq\o(y,\s\up8(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利润z的预报值eq\o(z,\s\up8(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②依据(2)的结果知，年利润z的预报值eq\o(z,\s\up8(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以当eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24时，eq\o(z,\s\up8(^))取得最大值．故年宣扬费为46.24千元时，年利润的预报值最大．对于非线性回来分析问题，应先进行变量代换，求出代换后的回来直线方程，再求非线性回来方程．[老师备选例题]某地级市共有200000名中小学生，其中有7%的学生在2024年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特殊困难，且人数之比为5∶3∶2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教化基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元．经济学家调查发觉，当地人均可支配收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“国家精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特殊困难的学生中有n%转为很困难．现统计了该地级市2013年到2024年共5年的人均可支配收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x取13时代表2013年，x与y(万元)近似满足关系式y＝c1·2c2x，其中c1，c2eq\x\to(y)eq\x\to(k)eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(ki－eq\x\to(k))2eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(yi－eq\x\to(y))eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))·(ki－eq\x\to(k))2.31.23.14.621其中ki＝log2yi，eq\x\to(k)＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))ki.(1)估计该市2024年人均可支配收入；(2)求该市2024年的“专项教化基金”的财政预算大约为多少．附：①对于一组具有线性相关关系的数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回来直线方程eq\o(v,\s\up8(^))＝eq\o(β,\s\up8(^))u＋eq\o(α,\s\up8(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up8(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up8(^))eq\x\to(u).②参考数据：2－0.72－0.320.121.721.821.90.60.81.13.23.53.73[解](1)因为eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(13＋14＋15＋16＋17)＝15，所以eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10.由k＝log2y得k＝log2c1＋c2x所以c2＝eq\f(\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)ki－\x\to(k),\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(1,10)，log2c1＝eq\x\to(k)－c2eq\x\to(x)＝1.2－eq\f(1,10)×15＝－0.3，所以c1＝2－0.3＝0.8，所以y＝0.8×2eq\f(x,10).当x＝18时，y＝0.8×21.8＝0.8×3.5＝2.8(万元)．即该市2024年人均可支配收入为2.8万元．(2)由题意知2024年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生有200000×7%＝14000人，一般困难、很困难、特殊困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人，2024年人均可支配收入比2024年增长eq\f(0.8×21.8－0.8×21.7,0.8×21.7)＝20.1－1＝0.1＝10%，所以2024年该市特殊困难的学生有2800×(1－10%)＝2520人．很困难的学生有4200×(1－20%)＋2800×10%＝3640人，一般困难的学生有7000×(1－30%)＋4200×20%＝5740人．所以2024年的“专项教化基金”的财政预算大约为5740×1000＋3640×1500＋2520×2000＝16240000(元)＝1624(万元)．十九大报告指出，必需树立“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这一理念将进一步推动新能源汽车产业的快速发展．以下是近几年我国新能源汽车的年销量数据及其散点图(如图所示)：年份20132014201520242024年份代码x12345新能源汽车的年销量y/万辆1.55.917.732.955.6(1)请依据散点图推断eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))与eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(c,\s\up8(^))x2＋eq\o(d,\s\up8(^))中哪个更相宜作为新能源汽车年销量y关于年份代码x的回来方程模型；(给出推断即可，不必说明理由)(2)依据(1)的推断结果及表中数据，建立y关于x的回来方程，并预料2024年我国新能源汽车的年销量．(精确到0.1)eq\o(c,\s\up8(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)wi－\x\to(w)2)，eq\o(d,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(c,\s\up8(^))eq\x\to(w).附：令wi＝xeq\o\al(2,i).eq\x\to(y)eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(wi－eq\x\to(w))2eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))22.7210374135.2851.2[解](1)依据散点图得，eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(c,\s\up8(^))x2＋eq\o(d,\s\up8(^))更相宜作为年销量y关于年份代码x的回来方程．(2)依题意得，eq\o(w,\s\up8(－))＝eq\f(1＋4＋9＋16＋25,5)＝11，eq\o(c,\s\up8(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)wi－\o(w,\s\up8(－))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(yi－\o(y,\s\up8(－)))),\i\su(i＝1,5,)wi－\o(w,\s\up8(－))2)＝eq\f(851.2,374)≈2.28，则eq\o(d,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(c,\s\up8(^))eq\o(w,\s\up8(－))＝22.72－2.28×11＝－2.36，∴eq\o(y,\s\up8(^))＝2.28x2－2.36.令x＝8，则eq\o(y,\s\up8(^))＝2.28×64－2.36＝143.56≈143.6，故预料2024年我国新能源汽车的年销量为143.6万辆．考点3独立性检验1.比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法(1)通过计算χ2的大小推断：χ2越大，两变量有关联的可能性越大．(2)通过计算|ad－bc|的大小推断：|ad－bc|越大，两变量有关联的可能性越大．2．独立性检验的一般步骤(1)依据样本数据制成2×2列联表．(2)依据公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)计算χ2的观测值k.(3)比较观测值k与临界值的大小关系，作统计推断．(2024·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，其次组工人用其次种生产方式．依据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如图所示的茎叶图：(1)依据茎叶图推断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式其次种生产方式(3)依据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解](1)其次种生产方式的效率更高．理由如下：(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用其次种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此其次种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此其次种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用其次种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟．因此其次种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用其次种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此其次种生产方式的效率更高．(以上给出了4种理由，答出其中随意一种或其他合理理由均可)(2)由茎叶图知m＝eq\f(79＋81,2)＝80.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155其次种生产方式515(3)由于χ2＝eq\f(4015×15－5×52,20×20×20×20)＝10＞6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．独立性检验是推断两个分类变量之间是否有关系的一种方法．在推断两个分类变量之间是否有关系时，作出等高条形图只能近似地推断两个分类变量是否有关系，而独立性检验可以精确地得到牢靠的结论．[老师备选例题](2024·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法