建筑力学课件：静定结构的位移

静定结构的位移结构的位移:平动产生线位移、转动产生角位移线位移角位移AFP相对线位移CDFP相对角位移

结构在外界因素作用下，会发生变形。因此而使结构各点的位置发生相应的改变，这种改变称为结构的位移。一、结构位移的种类二、产生位移的原因

荷载作用产生变形

温度变化和材料胀缩

支座沉降等静定结构位移的概念本专业仅要求掌握静定结构在荷载作用下产生的位移！三、实功与虚功P1Δ11ΔPΔ11P1OABΔij位移发生的位置产生位移的原因P1在自身引起的位移Δ11上作的功为：-2虚功原理&结构位移计算公式

实功：力在自身引起的位移上所作的功。如W11，实功恒为正。状态1

在简支梁上先加载P1

，使力P1作用点的位移达到终值△11;

状态2

再加载P2，使力P1的作用点发生位移△12;W12=P1△12即状态1的力在状态2的位移上做功。

力P1在位移△12上作的功叫虚功,表示为：

P1P2Δ11Δ22Δ12在Δ12过程中，P1的值不变，相当于常力的功。虚功：力在其它原因产生的位移上作的功。如W12

如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。△12由P2引起的，与P1无关。-2虚功原理&结构位移计算公式P1P2Δ11Δ22Δ12

先后坐进汽车里的两个人：

虚功：后坐进汽车里的人使汽车又下沉一定的位移，前一人的重力在此位移上作虚功。

实功：先坐进汽车里的人使汽车下沉一定的位移，人的重力在该位移上作实功。-2虚功原理&结构位移计算公式状态2

W12=P1△12即状态1的力在状态2的位移上做功。

力P1在位移△12上作的功叫虚功,表示为：

P1P2Δ11Δ22Δ12P1Δ11状态1

力P:可以是集中力、集中力偶和支座反力等，称为广义力；位移△:与广义力相对应的广义位移。广义力和广义位移乘积应具有功的量纲！-2虚功原理&结构位移计算公式外力虚功=内力虚功变形体系的虚功原理

任何一个处于平衡状态的变形体系，当由于其他原因产生符合约束条件的微小的连续虚位移，则外力在相应虚位移上所作虚功恒等于内力在相应变形上所作的虚功，即虚功原理在具体应用时有两种方式：（1）虚力原理：对于给定的位移状态，另虚设一个力状态，利用虚功方程来求解位移状态中的位移。（2）虚位移原理：对于给定的力状态，另虚设一个位移状态，利用虚功方程来求解力状态中的未知力。-2虚功原理&结构位移计算公式△kP=?

如何求荷载作用下，该结构某位置在某指定方向的位移？例如：求该结构在荷载作用下D点沿着k方向的线位移D结构位移计算公式D实际受力状态（状态1）虚拟受力状态（状态2）△kP=?

D结构位移计算公式D实际受力状态（状态1）状态1(实际受力状态)中的内力:

状态1(实际受力状态)中的变形:拉压变形、剪切变形、弯曲变形dsdu

dsdθds

dv结构位移计算公式k—等效修正系数6/510/9

虚拟状态中只在所求位移地点沿所求位移方向加一单位荷载，以使荷载虚功恰好等于所求位移，这种计算位移的方法称为——单位荷载法

等于状态2中的内力在状态1中的相应变形上作的虚功:结构位移计算公式BAC

（a）求B点水平方向位移ΔBx

ACB（b）求B点竖直方向位移ΔCyBAC（c）求C截面转角φC

（d）求AB两点水平方向相对位移ΔABAB

A

B（e）求AB两点竖直方向相对位移ΔAB

如何施加单位力：在所求位移的位置沿所求位移的方向加上单位荷载（单位力或单位力偶)。例如：(f)求C左右两侧截面相对转角φC

C

实际位移状态的荷载引起的内力、、虚力状态的单位荷载引起的内力、、k

剪切截面形状系数k=1.2抗弯刚度抗拉刚度抗剪刚度求和是将所有杆件的内力虚功相加积分是沿杆长积分得到该杆件的内力虚功结构位移计算公式

梁和刚架

桁架——忽略剪切变形和轴向变形对位移的影响——内力只有轴力，且同一杆件上轴力为常数静定结构位移计算公式

组合结构——刚架和桁架组合（仅了解）积分法计算梁和刚架位移的步骤：

（直杆）静定结构由荷载引起的位移计算桁架位移的步骤：

静定结构由荷载引起的位移（直杆）求图示悬臂梁在A端的竖向位移，梁的EI已知。解：实际荷载lx虚力状态lx1、实际荷载作用下的内力2、虚力状态下的内力例题（）3、计算位移

解：实际荷载lx虚力状态lx1、实际荷载作用下的内力2、虚力状态下的内力例题3、计算位移（）图示简支梁受集中荷载作用。求梁两端截面A、B的相对转角。解：1、实际荷载作用下的内力2、建立虚力状态，求内力ablabl（）x虚力状态x00例题3、代入公式计算位移解：求桁架结点B的竖向位移，各杆EA=常数。dddddABCDE实际荷载作用下的内力ABCDE

虚力状态下的内力（）例题求ΔDy5P－8P

5/3－4/30000000000－1－3P（）各杆EA=常数，PPP4m×3=12m3mABDC例题计算两种状态下各杆轴力：解：在B、D两点施加一对反向共线的单位力求桁架B、D两点相对位移，各杆EA=常数。例题

求图示刚架C点的水平位移，刚架各杆EI已知。两个状态下的弯矩方程

BC段：AB段：例题

C

C

虚力状态

BC段：AB段：求图示刚架C点的转角，刚架各杆EI已知。例题

C

C

虚力状态有简便方法计算该积分吗？

梁和刚架

桁架静定结构由荷载引起的位移静定结构由荷载引起的位移计算公式：杆轴为直线；EI＝常数；

图和图中至少有一个为直线图形ABdxABx图乘法条件dAxy

-4图乘法杆轴为直线；EI＝常数；

图和图中至少有一个为直线图形ABdxABCx图乘法条件dAAxy

-4图乘法3.正负号规则：面积A与纵标yC同侧为正，反之为负图乘法公式：-4图乘法1.yC—是计算面积A的弯矩图之形心所对应的在另一个直线弯矩图上的弯矩纵标！2.

纵坐标yC必须取自直线的弯矩图中。若两个图形均为直线图形，则面积、纵标可任意分别取自两图形；几点说明：4.

当yC所在图形由若干段直线组成，须分段计算。5.

如弯矩图形状复杂，可分解为简单图形。l/3A=hl/2lhl/2l/2h二次抛物线A=2hl/3h3l/4l/4二次抛物线A=hl/3二次抛物线A=2hl/3顶点几种常见图形的面积和形心位置:顶点顶点在弯矩图形的顶点处，弯矩图斜率（剪力）应为零！

只有当顶点存在，才能采用面积公式和形心坐标！5l/83l/8h求图示矩形截面悬臂梁在A端的竖向位移。解：l实际荷载作用下的内力图

虚力状态下的内力图l（）A虚力状态例题纵坐标yC必须取自直线的弯矩图中。qllEIB1l求B点竖向位移。ql2/83ql2/2A1A2

非顶点！q（）例题求梁中点C处的挠度和转角。梁为等截面直梁，EI为常数。1.作出位移状态（真实受力状态）下的弯矩图2.根据所求位移，建立虚力状态，作出虚力状态下的弯矩图3.利用图乘法计算位移BAaaCqqa²/2BAaaC

a/2当yC所在图形由若干段直线组成，须分段计算。利用积分法验证：BAaaC

BAaaCqx【例】解：求图示刚架C端的角位移。已知抗弯刚度为EI。aaABCqABCABCABC11A1A2（）【例】解：求图示刚架在均布荷载作用下点B的水平位移。EI为常数。qllABCBAC（）ABCA1A2A3

已知EI

为常数，求铰C两侧截面相对转角。lqllA1图乘具体问题：1、两个直线图形相乘——可直接图乘A2-4图乘法A12、应用叠加法拆分面积A1A2A3-4图乘法二次抛物线

判断下列图乘结果正确与否：

①Ay0②③④A1y1A2y2⑤⑥

（

）√AAy0y0（

）×AAy0y0（

）×（

）×（

）×（

）×本章作业：12-212-512-812-1012-1112-1212-13第4章静定结构的位移计算

结构在外界因素作用下，会发生变形。因此而使结构各点的位置发生相应的改变，这种改变称为结构的位移。绝对位移截面A角位移A点线位移包含：水平线位移竖向线位移一、结构位移的种类

线位移—

结构上某点沿直线方向移动的距离。角位移—

结构上某截面旋转的角度。——结构中某一截面位置或方向的改变§4-1结构位移和虚功的概念CD两点的水平相对线位移：相对位移——结构中某两个截面之间相对位置或方向的改变AB两截面的相对转角：§4-1结构位移和虚功的概念结构中两截面的相对位移即为两个截面各自沿相反方向的相应的绝对位移之和！二、产生位移的原因

荷载作用

温度变化和材料胀缩

支座沉降和制造误差§4-1结构位移和虚功的概念三、位移计算的目的1）验算结构的刚度：检验位移是否超过允许的位移限制2）为超静定结构的内力计算打基础§4-1结构位移和虚功的概念叠加原理适用(1)线弹性材料(2)小变形四、位移计算的假定五、实功与虚功§4-1结构位移和虚功的概念P1P2Δ11Δ22Δ12ΔPΔ11P1再加P2，P2在自身引起的位移Δ22上作的功为：在Δ12过程中，P1的值不变，相当于常力的功。Δ12与P1无关OABΔij位移发生的位置产生位移的原因P1在自身引起的位移Δ11上作的功为：P1在位移Δ12上作的功为：P1P2Δ11Δ22Δ12

实功：是力在自身引起的位移上所作的功。如W11，W22，实功恒为正。虚功：是力在其它原因产生的位移上作的功。如W12

如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。§4-1结构位移和虚功的概念§4-1结构位移和虚功的概念P1P2Δ11Δ22Δ12

先后坐进汽车里的两个人：

虚功：后坐进汽车里的人使汽车又下沉一定的位移，前一人的重力在此位移上作虚功。

实功：先坐进汽车里的人使汽车下沉一定的位移，人的重力在该位移上作实功。虚功——使力作功的位移不是由该力本身引起的，即：作虚功的力与相应于力的位移彼此独立无关，不存在因果关系。P112P212P1在Δ12上作虚功：P2在Δ21上作虚功：计算虚功的要点：1）对于单个力：相应的位移是该力作用点的位移在力作用方向上的分量。ΔmP（力）（位移）计算虚功的要点：mβ2）对于单个力偶：则相应的位移是它所作用截面的转角。P（力）（位移）计算虚功的要点：3）对于等值、反向的一对力：PPttABΔBΔA4）对于等值、反向的一对力偶:AB

ABmm

A

B表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对线位移AB两截面的相对转角（力）（位移）（力）（位移）两种状态：既然力与位移彼此独立无关，故可将力与位移视为两种独立的状态。PΔm力状态位移状态对于任一结构，其力状态上的力在不相干的位移状态的相应位移上所作的功一定是虚功。

任何一个处于平衡状态的变形体系，当由于其它原因产生符合约束条件的无限小连续变形时，则变形体系所受外力在虚位移上所作的总虚功W，恒等于变形体各微段截面上的内力在其虚变形上所作的虚功总和V。即恒有如下虚功方程成立：W

=V外力虚功=内力虚功一、变形体系的虚功原理§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法W

=V§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法

任何一个处于平衡状态的变形体系（力状态），对于同一体系在其它原因作用下的符合约束条件的变形状态（位移状态），则变形体系力状态的外力在位移状态的位移上所作的总外力虚功W，恒等于变形体力状态各微段截面上的内力在其位移状态的变形上所作的总内力虚功V。变形体系虚功原理的另一种说法：外力虚功=内力虚功位移状态

F12力状态P12§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法dsds位移状态

F12力状态P12dsds§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法位移状态

F12力状态P12§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法积分是沿杆长积分得到该杆件的内力虚功求和是将所有杆件的内力虚功相加位移状态

F12力状态P12外力虚功=内力虚功§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法位移状态

F12力状态P12——位移计算一般公式（单位荷载法）（给定）（人为设立）§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法——位移计算一般公式（单位荷载法）计算结构中的指定位移时，题目给定的状态作为位移状态，而力状态一般根据所求位移的位置和类型加上相应的单位荷载来虚设，称为虚力状态。——位移计算一般公式（单位荷载法）虚力状态建立的原则：在所求位移的位置沿所求位移的方向加上单位荷载。二、结构位移计算一般公式：§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法该公式可用来求解位移状态上的任何位移！具体的位移与虚力状态上所施加的单位力相对应。dsdsK实际位移状态1ds虚力状态二、结构位移计算一般公式：§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法dsdsK实际位移状态1ds虚力状态该公式一次只能求解一个位移！需要求解多个位移时必须分别建立虚力状态然后应用公式。——弯曲变形对位移的影响——轴向变形对位移的影响——剪切变形对位移的影响——支座移动对位移的影响§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法

上式是普遍公式。（因为在推导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质）可考虑任何情况：①

变形类型：弯曲、轴向、剪切变形。②产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。③结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超静定。④材料性质：弹性、非弹性。公式中的“△”可以代表任一绝对位移和相对位移！即该公式可以求解任一绝对位移和相对位移！1ds虚力状态位移计算的一般步骤：(1)建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；(2)求虚力状态下的内力及反力表达式;(3)用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。

若求得⊿为正，表明位移⊿的实际方向与所设单位荷载方向一致；⊿为负则表明位移⊿的实际方向与所设单位荷载方向相反。§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法三、虚力状态的建立方法：在所求位移的位置，沿所求位移的方向施加单位力（或单位力偶）。§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法1、求绝对位移

求图示结构上A点的竖向线位移或水平线位移§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法

求图中结构上截面A的角位移，可在该处加一单位力偶。§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法

求如图所示桁架中AB杆的角位移，则应在杆件上加一个单位力偶。在链杆两端结点上施加的一对力（大小等于杆长的倒数，方向垂直于杆轴），相当于在该杆上施加了一个单位力偶。§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法

求图中结构上A、B两点沿其连线方向的相对线位移，可在该两点沿其连线加上一对方向相反的单位力。2、求相对位移§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法

求两个截面的相对角位移，可在这两个截面上加两个方向相反的单位力偶。（求铰A左右两侧截面的相对转角）AB§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法

求如图所示桁架中AB杆和CB杆的相对转角，即

ABC的改变量，则应加一对方向相反的单位力偶。二、结构位移计算一般公式：§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法该公式可用来求解位移状态上的任何位移！具体的位移与虚力状态上所施加的单位力相对应。dsdsK实际位移状态1ds虚力状态二、结构位移计算一般公式：§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法dsdsK实际位移状态1ds虚力状态该公式一次只能求解一个位移！需要求解多个位移时必须分别建立虚力状态然后应用公式。三、虚力状态的建立方法：在所求位移的位置，沿所求位移的方向施加单位力（或单位力偶）。§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法1、求绝对位移

求图示结构上A点的竖向线位移或水平线位移§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法

求图中结构上截面A的角位移，可在该处加一单位力偶。§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法

求如图所示桁架中AB杆的角位移，则应在杆件上加一个单位力偶。在链杆两端结点上施加的一对力（大小等于杆长的倒数，方向垂直于杆轴），相当于在该杆上施加了一个单位力偶。§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法

求图中结构上A、B两点沿其连线方向的相对线位移，可在该两点沿其连线加上一对方向相反的单位力。2、求相对位移§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法

求两个截面的相对角位移，可在这两个截面上加两个方向相反的单位力偶。（求铰A左右两侧截面的相对转角）AB§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法

求如图所示桁架中AB杆和CB杆的相对转角，即

ABC的改变量，则应加一对方向相反的单位力偶。§4-3静定结构由荷载引起的位移研究对象：静定结构、线性弹性材料。dsK1ds实际位移状态虚力状态dsdsdsd

,du,dv,dsK实际位移状态d

,du,dv,dsdsds§4-3静定结构由荷载引起的位移——荷载下的位移计算公式实际位移状态的荷载引起的内力、、虚力状态的单位荷载引起的内力、、k

截面形状系数1.2§4-3静定结构由荷载引起的位移抗弯刚度抗拉刚度抗剪刚度

梁和刚架

桁架——忽略剪切变形和轴向变形对位移的影响——内力只有轴力，且同一杆件内所有截面轴力均相同积分法计算梁和刚架位移的步骤：（1）求实际荷载作用下任意截面x的弯矩方程

；（2）求虚设单位荷载作用下任意截面x的弯矩方程；（3）代入公式计算所求位移。（直杆）§4-3静定结构由荷载引起的位移计算桁架位移的步骤：（1）求实际荷载作用下各杆的轴力

；（2）求虚设单位荷载作用下各杆的轴力；（3）代入公式计算所求位移。§4-3静定结构由荷载引起的位移【例】求图示矩形截面悬臂梁在A端的竖向位移。解：实际荷载lx虚力状态lx1、实际荷载作用下的内力2、建立虚力状态§4-3静定结构由荷载引起的位移【例】lxlx3、求（）求图示矩形截面悬臂梁在A端的竖向位移。实际荷载虚力状态§4-3静定结构由荷载引起的位移【例】图示简支梁受集中荷载作用。试求梁两端截面A、B的相对转角。解：1、实际荷载作用下的内力2、建立虚力状态，求内力ablabl（）x虚力状态xx00解：求图示刚架C端的角位移。已知抗弯刚度为EI。实际荷载作用下的内力为：AB杆BC杆建立虚力状态：AB杆BC杆aaxABCq（）【例】xxx虚力状态【例】解：求桁架结点B的竖向位移，各杆EA=常数。dddddABCDE实际荷载作用下的内力ABCDE

虚力状态下的内力（）求ΔDy5P－8PF=15/3－4/30000000000－1－3P（）各杆EA=常数，PPP4m×3=12m3mABDC

梁和刚架

桁架求梁和刚架位移的积分法能否改进？杆轴为直线；EI＝常数；

图和图中至少有一个为直线图形ABdxABx图乘法条件dAxy

§4-4图乘法杆轴为直线；EI＝常数；

图和图中至少有一个为直线图形ABdxABCx图乘法条件dAAxy

§4-4图乘法正负号规则：面积A与纵标yC同侧为正，反之为负图乘法公式：A不一定是MP图的面积，但yC必须取自直线弯矩图！§4-4图乘法yC—是与计算面积A的弯矩图之形心所对应的在另一个直线弯矩图上的弯矩纵标！A和yC必须取自两个不同的弯矩图！图乘法公式：§4-4图乘法图乘法计算步骤：1、作MP图；2、建立虚力状态，作M图；3、用图乘法公式求位移。A1图乘具体问题：1、两个直线图形相乘——可直接图乘A2§4-4图乘法A1§4-4图乘法A12、反梯形与三角形相乘——可直接图乘A1A23、应用叠加法分面积A1A2A3§4-4图乘法二次抛物线4、曲线图与折线图相乘——应分段图乘§4-4图乘法A1A2A3A4二次抛物线l/3A=hl/2lhl/2l/2h二次抛物线A=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线A=hl/3二次抛物线A=2hl/3h顶点几种常见图形的面积和形心位置:顶点顶点在弯矩图形的顶点处，剪力应为零！只有当顶点存在，才能采用面积公式和形心坐标！【例】求图示矩形截面悬臂梁在A端的竖向位移。解：l实际荷载作用下的内力图

虚力状态下的内力图l（）A虚力状态qllEIB1l求B点竖向位移。ql2/83ql2/2A1A2

非顶点！q（）【例】解：求图示刚架C端的角位移。已知抗弯刚度为EI。aaABCqABCABCABC11A1A2（）【例】解：求图示刚架在均布荷载作用下点B的水平位移。EI为常数。qllABCBAC（）ABCA1A2A3

已知EI

为常数，求铰C两侧截面相对转角。lqll

已知EI

为常数，求B截面转角。3m4m2m虚力状态3m4m2mA1A2

判断下列图乘结果正确与否：

①Ay0②③④A1y1A2y2⑤⑥

（

）√AAy0y0（

）×AAy0y0（