建筑力学课件：静定结构的内力

工程力学静定结构的内力(1)结构的基本概念(2)刚片、自由度和联系(3)几何不变体系的几何组成规则(4)静定结构和超静定结构１、结构计算简图的概念 能表现结构的主要特点，略去次要因素的原结构的简化图形。

11.1结构的计算简图２、结构计算简图的简化原则是：计算简图要能反映实际结构的主要受力和变形特点，即要使计算结果安全可靠；便于计算，即计算简图的简化程度要与计算手段以及对结果的要求相一致。1、空间杆系结构的平面简化根据其组成特点及荷载的传递路径等，近似分解为若干个独立的平面结构。结构体系的简化2、杆件简化：以杆件的轴线代替杆件自身

３、结点的简化

结构中，把各个杆件连接在一起的区域称为结点，通常根据其实际构造和结构受力特点，分为铰结点、刚结点和组合结点。

结构体系的简化铰结点

特点：与铰相连的各杆件可以分别绕该铰做自由转动，不能相对移动。由于转动在杆端不会产生力矩，也不会传递力矩，只能传递轴力和剪力，一般用小圆圈表示。

结点的简化结点的简化刚结点

特点：与刚结点相连接的各杆件在连接处既不能相对转动，也不能相对移动。各杆件间的夹角在变形前后保持不变。杆端除轴力、剪力外，还产生弯矩。结点的简化组合结点（半铰)

刚结点与铰结点的组合体。结点的简化１）可动铰支座：

约束杆端不能竖向移动，但可水平移动和转动。沿支座链杆方向产生约束力。结构构件与其支承物间的连接装置就是支座。支座的简化２）固定铰支座：

约束杆端不能移动，但可以转动。过铰心产生任意方向的约束力（分解成水平和竖直方向的两个力）。支座的简化３）固定端支座：

不允许有任何方向的移动和转动，产生水平、竖直及限制转动的约束力。支座的简化A4）定向支座：

能限制结构的转动和沿一个方向上的移动，但允许结构在另一个方向上的滑动。MAAFAy支座的简化qF

荷载的简化是指将实际结构构件上所受到的各种荷载简化为作用在构件纵轴上的线荷载、集中荷载或力偶。在简化时应注意力的作用点、方向和大小。荷载的简化

例：如图(a)所示为某排架结构单层厂房的剖面图，图(b)为其平面布置图，屋面板为大型预应力屋面板，基础为预制杯形基础，并用细石混凝土灌缝，试确定该排架结构的计算简图。

荷载的简化本书研究的主要对象是平面杆系结构。（1）

梁梁是一种受弯构件，轴线常为一直线，可以是单跨梁，也可以是多跨连续梁，其支座可以是铰支座、可动铰支座，也可以是固定支座。

1、按结构的受力特点分类：11.2平面杆系结构的分类

（2）

拱拱的轴线为曲线，在竖向力作用下，支座不仅有竖向支座反力，而且还存在水平支座反力，拱内不仅存在剪力、弯矩，而且还存在轴力结构的分类(3)

刚架刚架通常由直杆组成，结点全部或部分为刚结点，在荷载作用下，各杆件的轴力、剪力、弯矩往往同时存在，但以弯矩为主。结构的分类

（4）

桁架由若干杆件通过铰结点连接起来的结构，各杆轴线为直线，支座常为固定铰支座或可动铰支座，当荷载只作用于桁架结点上时，各杆只产生轴力。结构的分类（5）

组合结构由桁架杆件与梁或桁架杆件与刚架组合在一起的结构。在荷载作用下，桁架杆中往往只产生轴力，而梁或刚架部分则同时存在轴力、剪力和弯矩。结构的分类2、按计算方法分类：

静定结构,超静定结构。静定结构：在任意荷载作用下，结构的全部反力和内力都可以由静力平衡条件确定。超静定结构：在任意荷载作用下，结构的全部反力和内力

不能由静力平衡条件确定。结构的分类11.3平面体系的几何组成分析任一平面杆件体系是否一定能作为结构？几何组成分析：判断一个杆件体系是否可以作为结构。前提条件：不考虑结构受力后材料产生的微小变形，即把组成结构的每根杆件都看作完全不变形的刚性杆件。１、几何不变体系：若不计杆件的变形，在荷载作用下能保持其几何形状和位置都不改变的体系。

F结构２、几何可变体系：即使不考虑材料的变形，在荷载作用下不能保持其几何形状和位置都不改变的体系。F机构11.3平面体系的几何组成分析3、几何组成分析：判断体系是否几何不变这一工作，

又称作几何构造分析。4、研究体系几何组成的任务和目的：

1）研究结构的基本组成规则，用及判定体系是否可作为结构以及选取结构的合理形式。

2）根据结构的几何组成，正确区分静定和超静定结构，选择相应的计算方法和计算途径。11.3平面体系的几何组成分析

1、刚片

在进行几何组成分析时，由于不考虑材料的变形，因而任一杆件或已经判明是几何不变的部分，均可视为刚体。平面内的刚体又称刚片。

在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。相关基本概念

2、自由度是指确定体系位置所必需的独立坐标的个数。

平面体系的自由度：

用以确定平面体系在平面内位置的独立坐标数。⑴平面上的点有两个自由度

独立变化的几何参数为：x、y。xyAxyo相关基本概念⑵平面上的刚片有三个自由度xyxyo⌒独立变化的几何参数为：x、y、

。AB

凡体系的自由度大于零，则是可以发生运动的，位置是可以改变的，即都是几何可变体系。相关基本概念3、约束

能减少体系自由度数的装置（又称为联系）。减少1个自由度的装置称为1个约束；减少n个自由度的装置，称为n个约束。约束的种类:⑴链杆:

CB

xyAαβⅠⅡxyO一根链杆相当一个约束,能使体系减少1个自由度。相关基本概念

⑵铰ⅠⅡxyAxy⌒

1⌒

2o连结两个刚片的铰称为单铰。一个单铰可使体系减少2个自由度。连结两个以上刚片的铰称为复铰。连结n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰，将减少2(n-1)个自由度。ⅠⅡxyAxy⌒

1⌒

2o⌒III

3相关基本概念⑶刚性联结：刚性联结的作用是使两个刚片不能有相对的移动及转动。一个刚结点或一个固定支座具有３个约束，能减少3个自由度，相当于3个链杆的约束。相关基本概念实铰：若联接两个刚片的两链杆始终相交于一个铰，则该铰称为实铰。

虚铰：虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的。虚铰的两根链杆可以平行、交叉，或延长线交于一点。

当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时，两个刚片绕该交点（瞬心）作相对转动。相关基本概念4、必要约束与多余约束

使体系的自由度减少为零所需要的最少约束称为必要约束。在体系上加上一个约束并不能减少原体系的自由度数，则该约束就是多余约束。也就是说多余约束对体系的自由度没有影响。相关基本概念按刚片算：体系计算自由度W=刚片总自由度数-总约束数。5、平面体系的计算自由度

体系的自由度等于其各组成部分相互间没有约束时总的自由度数减去体系中的必要约束数。

m---刚片数（不包括地基）

g---单刚结点数

h---单铰数

b---单链杆数（含支座链杆）W=3m-(3g+2h+b)相关基本概念确定图示体系的计算自由度W=3×2−(3×0+

2×1+3)=1ACB体系的自由度大于零，则是可以发生运动的，都是几何可变体系。例题确定图示体系的计算自由度W=3×8−(3×1+

2×10+1)=0ACCDBCEEFCFDFDGFG32311有几个刚片？有几个单铰？ACEFGDB例题W=3×3−(3×0+

2×2+5)=0确定图示体系的计算自由度例题W=3×2−(3×1+

2×1+5)=−4确定图示体系的计算自由度例题W=3×9−(2×12+3)=0按刚片计算332129根杆（9个刚片）3根单链杆1确定图示体系的计算自由度例题体系W=0，几何是否可变？W=3×9-(2×12+3)=0223311即使计算自由度<或=0，但由于布置不当，可能几何可变。（上部有多余约束，下部缺少约束。）W=3×9-(2×12+4)=-1讨论实际自由度S、计算自由度W和多余约束n的关系S=各组成部分总自由度数—必要约束数W=各组成部分总自由度数—总的约束数实际自由度S‒计算自由度W=多余约束数n

由此可见，只有当体系上没有多余约束时，计算自由度才等于体系的实际自由度。

W>0：缺少足够联系，体系几何可变。

W=0：实际约束数等于体系必须的约束数，

但不能判定是否几何不变。

W<0：体系具有多余联系，但不能判定体系是否几何不变。W>0体系几何可变体系几何不变W≤0结论规则一（三刚片规则）：三个刚片用不在一条直线上的三个铰（可以是虚铰）两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。

平面几何不变体系的组成规则ⅠIIIII规则二（两刚片规则）：铰链杆刚片Ⅰ刚片Ⅱ刚片Ⅲ

两个刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。

两个刚片用一个单铰和一根延长线不通过该铰的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。或刚片Ⅰ刚片ⅡO．平面几何不变体系的组成规则规则三（二元体规则）：二元体——两根不共线的链杆连结一个新结点的装置。

在体系中增加或减少二元体，不改变原体系的几何不变性或几何可变性。无多余约束的几何不变体系链杆链杆铰结点平面几何不变体系的组成规则常变体系与瞬变体系几何可变体系又分为常变体系和瞬变体系。不满足上述规则的杆系为几何可变体系。常变体系—受力后可以出现大的位移的杆件体系。常变体系！说明常变体系缺少必要约束。1.缺少必要约束2.二刚片用平行且等长的三根链杆相连接3.二刚片用交于一实铰的三根链杆相连接常变体系常变体系与瞬变体系瞬变体系--原为几何可变，经微小位移后即转化为几何不变体系。ABCC1建筑结构只能是几何不变体系

Δ是微量FNFNF在有限的荷载作用下，体系将产生无限大的内力！β瞬变体系不能用作结构！瞬变体系1.二刚片用交于一虚铰的三根链杆相连接发生微小位移后，三根链杆不再交于同一点。瞬变体系！2.二刚片用平行但不等长的三根链杆相连接先将能直接观察出的几何不变部分当作刚片，并尽可能扩大其范围，这样可简化体系的组成，便于运用组成规则考察这些刚片间的联结情况。1)当体系中有明显的二元体时，可先依次去掉其上的二元体，再对余下的部分进行分析。几何可变体系几何组成分析思路2)由一基础刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定；ⅠⅡBAECDFBAECDF无多余约束的几何不变体系几何组成分析思路3）凡是只以两个铰与外界相连的刚片，不论其形状如何，从几何组成分析的角度看，都可看作为通过铰心的链杆。无多余约束的几何不变体系瞬变体系几何组成分析思路4)当体系的基础以上部分与基础间以三根支承链杆按规则二相联结时，可先拆除这些支杆，只就上部体系本身进行分析，所得结果即代表整个体系的组成性质。无多余约束的几何不变体系几何组成分析思路5)当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片之间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连；瞬变体系几何组成分析思路

【例】试对如图所示体系进行几何组成分析。

【解】AB杆与基础之间用铰A和链杆1相连，组成几何不变体系，可看作一扩大了的刚片。将BC杆看作链杆，则CD杆用不交于一点的三根链杆BC、2、3和扩大刚片相连，组成无多余约束的几何不变体系。例题【例】试对如图所示体系进行几何组成分析。【解】体系中折杆DHG和FKG可分别看作链杆DG、FG（图中虚线所示），依次去掉二元体（DG、FG）、（EF、CF），对余下部分，将折杆ADE、杆BE和基础分别看作刚片，它们通过不共线的三个铰A、E、B两两相连，故为无多余约束的几何不变体系。例题【例】试对如图所示体系进行几何组成分析。【解】体系基础以上部分与基础用三根不交于一点且不完全平行的链杆1、2、3相连，符合两刚片规则，只分析上部体系。将AB看作刚片Ⅰ，用链杆AC、EC固定C，链杆BD、FD固定D，则链杆CD是多余约束，故此体系是有一多余约束的几何不变体系。在本例中链杆AC、EC、CD、FD及BD其中之一均可视为多余约束。例题【例】分析如图所示体系的几何构造。【解】首先，三角形ADE和AFG是两个无多余约束的几何不变体系，分别以Ⅰ和Ⅱ表示。Ⅰ与地基Ⅲ间的链杆1、2相当于瞬铰B，Ⅱ与地基Ⅲ间的链杆3、4相当于铰C。如A、B、C三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不变体系。例题[例]试分析体系的几何构造IIIIII瞬变体系O13O23无穷远处虚铰O12例题静定结构与超静定结构1、静定结构：在几何组成上是几何不变、无多余约束的体系；可由静力平衡方程求出全部支反力和内力均；2、超静定结构：

在几何组成上是几何不变、但有多余约束的体系；不能由静力平衡条件确定出全部支反力和内力，还需补充其它条件。体系几何不变体系几何可变体系有多余约束无多余约束常变瞬变可作为结构静定结构超静定结构不可作结构静定结构与超静定结构§11-4静定平面刚架一、刚架结构的特点：刚架——具有刚结点的由直杆组成的结构车站雨蓬多层多跨房屋具有部分铰结点的刚架刚结点特点

在刚结点处，

1)各杆端不能发生相对移动和相对转动，保持夹角不变。

2)由于刚结点能约束杆端相对转动，所以能承受和传递弯矩。(与铰结点不同)§11-4静定平面刚架变形特点：在刚结点处各杆不能发生相对转动，各杆件可以产生弯曲、剪切、轴向变形。受力特点：内力相应有M，FS，FN。杆件可称为“受弯杆”或“梁式杆”。静力计算特点：刚架梁的组合梁的内力计算法则、内力图形状特征、作弯矩图的叠加法等均适用于刚架。§11-4静定平面刚架1、悬臂刚架2、简支刚架二、静定平面刚架的型式——按组成方式支座反力有3个

根据结构整体的三个平衡方程即可求出全部反力。3、三铰刚架二、静定平面刚架的型式支座反力有4个

除考虑结构整体的三个平衡方程外，还需再取刚架的左半部（或右半部）为隔离体建立一个平衡方程，方可求出全部反力。4、组合刚架二、静定平面刚架的型式——上述三种刚架的组合基本部分附属部分计算顺序：先附属部分，后基本部分。三、静定刚架作内力图步骤1、求支座约束反力根据刚架整体或局部的平衡条件，求出各支座反力以及内部约束处的反力。

不作正负规定，但必须画在杆件的受拉侧。

受拉处的轴力为正，受压处轴力为负。可画在杆件的任意一侧，但需标出正（+）负（-）。§11-4静定平面刚架使分离体顺时针转动的剪力为正，反之为负。可画在杆件的任意一侧，但需标出正（+）负（-）。为了准确表示出内力所在杆件以及截面，杆端内力均采用双下标表示：例如：MAB表示AB杆上截面A的弯矩；

FSAB表示AB杆上截面A的剪力；

FNAB表示AB杆上截面A的轴力。§11-4静定平面刚架解：【例1】1、求支座反力试求图示刚架的内力图ABCaaABCABC§11-4静定平面刚架BACBAABC2、作轴力图例题求轴力时，考虑沿着杆件轴线方向的平衡3、作剪力图BACBAABC求剪力时，考虑垂直杆件轴线方向的平衡例题BACBAABC求弯矩时，假设内侧受拉为正对截开处列力矩平衡方程例题4、作弯矩图M图只有两杆汇交的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆端弯矩必大小相等，且同侧受拉。作弯矩图时，仍需要利用弯矩和剪力的关系：

剪力为0，弯矩为直线；剪力为直线，弯矩为抛物线。M1

M1=M2M2

mM1

M2

M2

M1

m=0两杆汇交的刚结点：

不论刚结点由几根杆件汇交而成，刚结点处各杆端弯矩（与结点上的外力偶）必须满足力矩平衡条件。5、内力图校核:通常截取结点或结构的一部分，验算其是否满足平衡条件。满足平衡方程！?C例题M图30kN20kN·m2m2m4mABCDE【例2】试求刚架的内力图：解：1、求支座反力取整体：30kN20kN·m2m2m4mABCDECEB取右半刚架：30kN20kN·m2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE试求刚架的内力图：【例2】30kN20kN·m2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE10kN10kNADBE10kN20kN2、作M图刚架中一端为支座（或自由端）而另一端为刚结点的杆件：简称为外部杆件，其内力均等同于一个相应的悬臂杆，其中固定支座对应于原刚结点，支座反力和原直接荷载为作用在悬臂杆上的荷载。试求刚架的内力图：【例2】30kN20kN·m2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE10kN10kN40kN·mADBE10kN20kN40kN·m2、作M图D2040402040M图(kN.m)试求刚架的内力图：【例2】30kN20kN·m2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE3、作FS图20FS图(kN)101010试求刚架的内力图：【例2】30kN20kN·m2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE4、作FN图FN图(kN)101020试求刚架的内力图：【例2】对于悬臂刚架：可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。0.5

ql²M图ql²0.5

ql²0.125

ql²【例3】试求刚架的内力图：当杆件某一侧的外力均与杆件轴线相平行（即杆件的剪力为零）时，杆件的弯矩为常数，弯矩图形为平行于杆轴的直线。对于悬臂刚架：可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。qlFS图试求刚架的内力图：【例3】对于悬臂刚架：可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。qlFN图试求刚架的内力图：【例3】qlqlqll/2l/2作简支刚架的弯矩图：ABCDql2/2ql2/2ql2/8EM图ql2/2qlqlqll/2l/2ABCD

简支刚架绘制弯矩图时，往往只须求出一个与杆件垂直的支座反力，然后由支座作起。ql2/2ql2/2ql2/8EM图作简支刚架的弯矩图：当外力与杆件轴线重合时，不会在该杆件产生弯矩。但应注意：该外力一般会对其它杆件的弯矩产生影响！M图（kN.m)12016020kN/m4m4m200kN.m20080kN试求刚架的弯矩图：410332kN/m2kN5kN2m2m3m3kN.m试求刚架的弯矩图：3M图（kN.m)快速作弯矩图的技巧：1、熟练掌握弯矩图与荷载的关系2、对于悬臂刚架，可不求反力，从自由端开始作M图自由端快速作弯矩图的技巧：3、当杆件某一侧的外力均与杆件轴线相平行（即杆件的剪力为零）时，杆件的弯矩为常数，弯矩图形为平行于杆轴的直线。快速作弯矩图的技巧：4、静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力，只需求出与杆轴线垂直的反力。快速作弯矩图的技巧：5、当外力与杆件轴线重合时，该杆件内不产生弯矩。试求刚架的弯矩图：M图MM0.5ql2M图§11-5静定平面桁架桁架是由若干直杆在其两端用铰连接而成的结构。平面桁架(PlaneTruss)—所有杆件的轴线在同一平面内的桁架。§11-5静定平面桁架一.桁架的特点和组成抽象简化成杆轴交于一点、且只受结点荷载作用的直杆铰结体系特点：内力只有轴力，没有弯矩和剪力。§11-5静定平面桁架跨度

(span)节间长度intervaldistance桁高trussheight下弦杆lowchordmember上弦杆upperchordmember腹杆webmember斜杆(skewbar)竖杆(verticalmember)桁架的各部分名称二.桁架的简化和假定<2>各杆的轴线均为直线且通过铰心。<3>荷载和支座反力都作用在结点上。理想桁架各杆只受轴力

——主内力截面上应力分布均匀

——主应力<1>桁架的结点为光滑的铰结点。

理想桁架§11-5静定平面桁架二.桁架的简化和假定各杆的轴线均为直线且通过铰心。荷载和支座反力都作用在结点上。桁架的结点为光滑的铰结点。

理想桁架次内力——实际内力与主内力的差值理想桁架各杆只受轴力

——主内力截面上应力分布均匀

——主应力§11-5静定平面桁架三.桁架结构的分类（按几何组成分）§11-5静定平面桁架联合桁架(由几个简单桁架按照两刚片或三刚片规则组成的桁架)复杂桁架简单桁架(由基础依次增加二元体所组成的桁架。)平面桁架求桁架的轴力：截取桁架的一部分为隔离体，考虑隔离体的平衡，建立平衡方程，由平衡方程解出杆的轴力。四、计算桁架内力的方法§11-5静定平面桁架1、结点法：隔离体只含一个结点2、截面法：隔离体含两个以上结点要求：截取的结点上不超过二个未知内力——截取的隔离体为一个结点1、结点法F平衡方程：——可求两个未知力xy结点法：为分析桁架的基本方法之一，适合简单桁架§11-5静定平面桁架求图示结构中AB杆和BC杆的轴力。例题

设节点B受到两杆施加的作用力均为拉力负号表明B节点受到AB杆施加的作用力与假设方向相反，即AB杆受压例题试用结点法分析如图所示桁架各杆的轴力。2m20kN68710kN420kN5310kN2120kN4×2=8m(1)求支座反力例题2m20kN68710kN420kN5310kN2120kN4×2=8m40kN40kN取结点1为隔离体ΣFy＝0：ΣFx＝0：取结点2为隔离体FN25=

60kN

FN23=0

2FN25FN23FN2110kN140kNFN12FN13FN21=FN12=60kN例题2m20kN68710kN420kN5310kN2120kN4×2=8m40kN40kN取结点3为隔离体

FN45=20kN取结点4为隔离体420kNFN45FN46FN4320kN3x

FN35FN34FN32FN31例题本问题结构对称、荷载对称，所以各杆的内力也是对称的。2m20kN68710kN420kN5310kN2120kN4×2=8m0+60-67.1-44.7+60+20-22.40+60-67.1+60-44.7-22.4最后，将桁架各杆的轴力集中标在相应杆件中的一侧，其中正号表示拉力，负号表示压力——桁架的轴力图桁架中轴力为零的杆件，称为零杆。

零杆及几种特殊结点桁架中轴力为零的杆件，称为零杆。

（1）L形结点

L形结点当结点上无荷载时:

（2）T形结点T形结点

当结点上无荷载时:

零杆及几种特殊结点（3）X形结点X形结点

当结点上无荷载时:

（4）K形结点K形结点当结点上无荷载时:

当结点在对称轴上时，则不共线两杆为零杆，共线两杆轴力相等，性质相同。

有9根零杆桁架内力计算时首先找零杆，可使桁架计算简化。§11-5静定平面桁架零杆既然不受力，为何在实际结构中不把它去掉？(1)载荷改变后，“零杆”可以变为非零杆。因此，为了保证结构的几何形状在任何载荷作用下都不会改变，零杆不能从桁架中除去。实际上，零杆的内力也不是零，只是较小而已。在桁架计算中先已作了若干假设，在此情况下，零杆的内力才是零。1234567891011ABCDABC荷载经非零杆传递至地基！荷载传递路径：§11-5静定平面桁架找出桁架中的零杆：000000000有11根零杆00找出桁架中的零杆：000000000有9根零杆解：试求桁架各杆的内力：1、找零杆2、求各杆内力123456789P4m4m3m2m123456789POOOOOOOO3P00有些情况下，用结点法求解不方便：每个结点上都有三个未知力用结点法计算时需要截取多个结点后才能算出指定杆轴力§11-5静定平面桁架——截取的隔离体包含两个以上的结点要求：截面上的未知内力不超过三个，且不全平行也不交于一点。否则，只能求出个别内力。2、截面法平衡方程：——可求三个未知力截面法：适合所有桁架§11-5静定平面桁架例题计算图示桁架指定杆的内力。

1m1m1m1m

1234

解：（1）求支座反力例题

1m1m1m1m

1234

解：（2）求1、2、3截面上的轴力

1m1m

123

例题

1m1m1m1m

1234

解：（3）求4截面上的轴力

1m

4

例题

1m1m1m1m

1234

解：（4）利用结点法求4截面上的轴力

结点法和截面法可结合使用，灵活截取隔离体非常重要！例题计算图示桁架中指定杆件的轴力:20kN20kN2m2m2m2m2m2m12345678ba【解】：1、求支座反力2、求指定杆轴力ⅠⅠI-I截面以左：20kN1257a820kN20kN2m2m2m2m2m2m12345678ba2、求指定杆轴力II-II截面以左：20kN20kN2m2m2m2m2m2m12345678baⅡⅡ172、求指定杆轴力或者取结点1：20kN20kN2m2m2m2m2m2m12345678ba12、求指定杆轴力III-III截面以右：20kN20kN2m2m2m2m2m2m12345678baIIIIII482、求指定杆轴力或者取结点4：20kN20kN2m2m2m2m2m2m12345678ba4§3-3静定刚架一、刚架结构的特点：刚架——具有刚结点的由直杆组成的结构车站雨蓬多层多跨房屋具有部分铰结点的刚架刚结点特点

在刚结点处，

1)各杆端不能发生相对移动和相对转动，保持夹角不变。

2)由于刚结点能约束杆端相对转动，所以能承受和传递弯矩。(与铰结点相反)§3-3静定刚架变形特点：在刚结点处各杆不能发生相对转动，各杆件可以产生弯曲、剪切、轴向变形。受力特点：内力相应有M，FS，FN。杆件可称为“受弯杆”或“梁式杆”。静力计算特点：刚架梁的组合梁的内力计算法则、内力图形状特征、作弯矩图的叠加法等均适用于刚架。§3-3静定刚架1、悬臂刚架2、简支刚架二、静定平面刚架的型式——按组成方式支座反力有3个

根据结构整体的三个平衡方程即可求出全部反力。3、三铰刚架二、静定平面刚架的型式支座反力有4个

除考虑结构整体的三个平衡方程外，还需再取刚架的左半部（或右半部）为隔离体建立一个平衡方程，方可求出全部反力。4、组合刚架二、静定平面刚架的型式——上述三种刚架的组合基本部分附属部分计算顺序：先附属部分，后基本部分。§3-3静定刚架三、静定刚架作内力图步骤1、求反力根据刚架整体或局部的平衡条件，求出各支座反力以及内部约束处的反力。2、作弯矩图先求各杆杆端截面弯矩，再用叠加法逐杆绘制M图。3、作剪力图先求各杆杆端截面剪力，再逐杆绘制FS图。4、作轴力图先求各杆轴力，再逐杆绘制FN图。为了准确表示出内力所在杆件以及截面，杆端内力均采用双下标表示：例如：MAB表示AB杆上截面A的弯矩；

FSAB表示AB杆上截面A的剪力；

FNAB表示AB杆上截面A的轴力。§3-3静定刚架解：【例1】1、求支座反力试求图示刚架的内力图ABCaaABCABC§3-3静定刚架2、作弯矩图（设弯矩内侧受拉为正）M图只有两杆汇交的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆端弯矩必大小相等，且同侧受拉。ABC§3-3静定刚架M1

M1=M2M2

mM1

M2

M2

M1

m=0两杆汇交的刚结点：

不论刚结点由几根杆件汇交而成，刚结点处各杆端弯矩（与结点上的外力偶）必须满足力矩平衡条件。3、作剪力图ABC§3-3静定刚架4、作轴力图ABC§3-3静定刚架当刚架各杆上的荷载都垂直于杆轴时，各杆件上的轴力为常数。5、内力图校核:通常截取结点或结构的一部分，验算其是否满足平衡条件。满足平衡方程！?C§3-3静定刚架30kN20kN·m2m2m4mABCDE【例2】试求刚架的内力图：解：1、求支座反力取整体：30kN20kN·m2m2m4mABCDECEB取右半刚架：30kN20kN·m2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE试求刚架的内力图：【例2】30kN20kN·m2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE10kN10kNADBE10kN20kN2、作M图刚架中一端为支座（或自由端）而另一端为刚结点的杆件：简称为外部杆件，其内力均等同于一个相应的悬臂杆，其中固定支座对应于原刚结点，支座反力和原直接荷载为作用在悬臂杆上的荷载。试求刚架的内力图：【例2】30kN20kN·m2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE10kN10kN40kN·mADBE10kN20kN40kN·m2、作M图D2040402040M图(kN.m)试求刚架的内力图：【例2】30kN20kN·m2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE3、作FS图20FS图(kN)101010试求刚架的内力图：【例2】30kN20kN·m2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE4、作FN图FN图(kN)101020试求刚架的内力图：【例2】对于悬臂刚架：可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。0.5

ql²M图ql²0.5

ql²0.125

ql²【例3】试求刚架的内力图：当杆件某一侧的外力均与杆件轴线相平行（即杆件的剪力为零）时，杆件的弯矩为常数，弯矩图形为平行于杆轴的直线。对于悬臂刚架：可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。qlFS图试求刚架的内力图：【例3】对于悬臂刚架：可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。qlFN图试求刚架的内力图：【例3】2kN/m2kN2m2m3m3kN.m1mABCD试求作刚架的弯矩图:3kN.m429结点B：24915M图(kN.m)MCBqlqlqll/2l/2作简支刚架的弯矩图：ABCDql2/2ql2/2ql2/8EM图ql2/2qlqlqll/2l/2ABCD

简支刚架绘制弯矩图时，往往只须求出一个与杆件垂直的支座反力，然后由支座作起。ql2/2ql2/2ql2/8EM图作简支刚架的弯矩图：当外力与杆件轴线重合时，不会在该杆件产生弯矩。但应注意：该外力一般会对其它杆件的弯矩产生影响！M图（kN.m)12016020kN/m4m4m200kN.m20080kN试求刚架的弯矩图：410332kN/m2kN5kN2m2m3m3kN.m试求刚架的弯矩图：3M图（kN.m)4426M图（kN.m)2kN/m2kN.m2m2m2m2m0试求刚架的弯矩图：qa2/2DqABCaaaqa2/8qa2/2qa2/2qa2/2M图qa作图示刚架的弯矩图：快速作弯矩图的技巧：1、熟练掌握弯矩图与荷载的关系2、对于悬臂刚架，可不求反力，从自由端开始作M图自由端快速作弯矩图的技巧：3、当杆件某一侧的外力均与杆件轴线相平行（即杆件的剪力为零）时，杆件的弯矩为常数，弯矩图形为平行于杆轴的直线。快速作弯矩图的技巧：4、静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力，只需求出与杆轴线垂直的反力。快速作弯矩图的技巧：5、当外力与杆件轴线重合时，该杆件内不产生弯矩。快速作弯矩图的技巧：6、对于一端为支座（或自由端）、另一端为刚结点的外部杆件，均可按照在刚结点处为固定支座的悬臂梁先作其M图，再作其余内部杆件的M图。试求刚架的弯矩图：FlFlFl2FlM图M图ql2ql2ql22.5ql20.125ql2试求刚架的弯矩图：M图MM0.5ql2M图试求刚架的弯矩图：FF0.5F0.5F0.5Fl0.5Fl0.5Fl0M/l0M/lMMMMM图M图§3-5静定桁架一.桁架的特点和组成抽象简化成杆轴交于一点、且只受结点荷载作用的直杆铰结体系特点：内力只有轴力，没有弯矩和剪力。§3-5静定桁架上弦杆下弦杆竖杆斜杆跨度桁高

腹杆节间长度d二.桁架的简化和假定<2>各杆的轴线均为直线且通过铰心。<3>荷载和支座反力都作用在结点上。理想桁架各杆只受轴力

——主内力截面上应力分布均匀

——主应力<1>桁架的结点为光滑的铰结点。

理想桁架§3-5静定桁架二.桁架的简化和假定<2>各杆的轴线均为直线且通过铰心。<3>荷载和支座反力都作用在结点上。<1>桁架的结点为光滑的铰结点。

理想桁架次内力——实际内力与主内力的差值§3-5静定桁架理想桁架各杆只受轴力

——主内力截面上应力分布均匀

——主应力§3-5静定桁架三.桁架结构的分类

简单桁架—

由基础或一个基本铰接三角形开始，依次增加二元体所组成的桁架。§3-5静定桁架

联合桁架—

由几个简单桁架按照两刚片或三刚片规则组成的桁架求桁架的轴力：截取桁架的一部分为隔离体，考虑隔离体的平衡，建立平衡方程，由平衡方程解出杆的轴力。四、计算桁架内力的方法§3-5静定桁架要求：截取的结点上不超过二个未知内力——截取的隔离体为一个结点1、结点法F平衡方程：——可求两个未知力xy结点法：为分析桁架的基本方法之一，适合简单桁架§3-5静定桁架ABCDE对于简单桁架，若与组成顺序相反依次截取结点，可顺利地求出全部杆件的轴力。结点形成次序：A→B→C→D→E计算时截取结点次序：E→D→C→B→A§3-5静定桁架【例】试求桁架的内力图解：1、求支座反力2、求各杆内力ACEGBDF1.5m0.75m1.5m0.75m0.5m8kN8kN6kN8kN8kN

图示桁架为对称桁架作用有对称荷载：对称轴即将对称轴一侧的桁架及荷载绕对称轴旋转至另一侧时，对称轴两侧对应的杆件、结点、支座及荷载都对应重合或相同。则位于对称轴两侧对称位置上的杆件轴力相同，只需计算某一侧杆件的内力即可。取对称轴左侧：依次取结点A、C、D§3-5静定桁架【例】试求桁架的内力图解：1、求支座反力2、求各杆内力ACEGBDF1.5m0.75m1.5m0.75m0.5m8kN8kN6kN8kN8kN

A8kN结点A：对称轴【例】试求桁架的内力图C8kN33kND

ACEGBDF1.5m0.75m1.5m0.75m0.5m8kN8kN6kN8kN8kN

结点C：结点D：§3-5静定桁架对称轴【例】试求桁架的内力图C8kN33kND

ACEGBDF1.5m0.75m1.5m0.75m0.5m8kN8kN6kN8kN8kN

结点C：结点D：§3-5静定桁架对称轴利用结构的对称性得所有杆的内力!3、绘制内力图34.8-5.4ACEGBDF37.534.8-5.4-33-33-33-33-8-8【例】试求桁架的内力图ACEGBDF1.5m0.75m1.5m0.75m0.5m8kN8kN6kN8kN8kN

§3-5静定桁架位于对称轴两侧对称位置上的杆件轴力相同!对称轴1、两不共线杆结点上无荷载作用，则两杆内力＝02、三杆结点上无荷载作用，若其中两杆在一条直线上，则另一杆必为零杆。零杆的判别：L形结点T形结点轴力为零X形结点§3-5静定桁架FP有9根零杆桁架内力计算时首先找零杆，可使桁架计算简化。1234567891011ABCDABC§3-5静定桁架荷载经非零杆传递至地基！荷载传递路径：找出桁架中的零杆：000000000有9根零杆解：试求桁架各杆的内力：1、找零杆2、求各杆内力123456789P4m4m3m2m123456789POOOOOOOO3P00找出桁架中的零杆：000000000有11根零杆00有些情况下，用结点法求解不方便：§3-5静定桁架每个结点上都有三个未知力用结点法计算时需要截取多个结点后才能算出指定杆轴力——截取的隔离体包含两个以上的结点要求：截面上的未知内力不超过三个，且不全平行也不交于一点。否则，只能求出个别内力。2、截面法平衡方程：——可求三个未知力截面法：适合所有桁架§3-5静定桁架AB123451’2’3’4’6ddPPPabc(1)2’1’12PII例、求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。取I-I截面左侧：abcII(2)IIAB123451’2’3’4’6ddPPPB454’P取II-II截面右侧：

截面法中灵活截取隔离体：

由两个简单桁架组成的联合桁架，两个简单桁架结合部位是三根链杆。所以，用截面切开简单桁架之间的联系是计算联合桁架的要点。P所截三链杆的内力求出后，可再用结点法求出其余杆件内力。PADE求图示桁架中a、b、c杆的轴力。ABCDEFPaaaacbaaa6kN1m×4＝4m1m3mabc求杆a、b、c的内力：6kN1m×4＝4m1m3mabc11FNC取1-1以右为分离体FNC=－10kNFNBFNCFNA取2-2以右为分离体FNB=0FNA=0O22解法1：直接用截面法求解6kN1m×4＝4m1m3mabc6kN－10kN8kN解法2：先找零杆FNB=0FNA=0FNC=－10kN解法2更简便！§3-5静定桁架在桁架的计算中，结点法和截面法一般结合起来使用。尤其当（１）只求某几个杆力时;

（２）联合桁架的计算。ABCDEFPab6m4m4mPBCFPC⑴

截取BCF部分⑵取结点C用较简便方法计算图示桁架中指定杆件的轴力:20kN20kN2m2m2m2m2m2m12345678ba【解】：1、求支座反力2、求指定杆轴力ⅠⅠI-I截面以左：20kN1257a820kN20kN2m2m2m2m2m2m12345678ba2、求指定杆轴力II-II截面以左：20kN20kN2m2m2m2m2m2m12345678baⅡⅡ172、求指定杆轴力或者取结点1：20kN20kN2m2m2m2m2m2m12345678ba12、求指定杆轴力III-III截面以右：20kN20kN2m2m2m2m2m2m12345678baIIIIII482、求指定杆轴力或者取结点4：20kN20kN2m2m2m2m2m2m12345678ba4指出求图示桁架指定杆件内力的过程：IIAII1）I-I截面以上：B2）结点A：1）I-I截面以上：bAB2）结点A：§3-6静定结构的特性静定结构的几何特性:

无多余约束的几何不变体系

静定结构的静力特性:

全部反力和内力均可由静力平衡条件求得，解答是唯一的。

静定结构的内力、反力只与结构的几何形状和尺寸有关，而与构件所用材料及截面的几何形状和尺寸无关。§3-6静定结构的特性非荷载因素不产生反力和内力：

温度作用下：支座位移作用下：§3-6静定结构的特性静定结构的局部平衡特性：ABCPPP00

静定结构在平衡荷载力系作用下，只在其作用的最小几何不变体系上产生内力，其它结构构件上不产生内力。仅ACB部分产生内力仅粉红色杆件产生内力第3章静定结构的内力分析结构力学静定结构的几何特性:

静定结构的静力特性:无多余约束的几何不变体系全部反力和内力均可由静力平衡条件求得，且解答是唯一的。§3-1单跨静定梁一、单跨静定梁的类型：伸臂梁（外伸梁）简支梁悬臂梁二、内力分析——截面法

截面法是计算指定截面内力的基本方法，即将杆件在指定截面切开，取左边(或右边)部分为隔离体，利用隔离体的静力平衡条件，确定该截面上的内力。§3-1单跨静定梁MA正MB正A端B端杆端内力1、内力符号规定弯矩：当弯矩使梁下侧受拉、上侧受压时，弯矩为正；左顺右逆为正弯矩转向箭头的箭尾侧为受拉侧左侧截面右侧截面FNBFNAFSBFSAMA正MB正A端B端杆端内力1、内力符号规定剪力：当剪力对截面内任一点的力矩为顺时针时，剪力为正；左上右下为正轴力：拉正压负左侧截面右侧截面剪力图和轴力图--可绘在杆件的任一侧，

但需标明正负号。FNBFNAFSBFSAMA正MB正A端B端杆端内力2、内力图作法弯矩图--绘在杆件受拉的一侧，

不需标正负号；3、内力计算法则（用截面一侧外力表达的方式）FN＝截面一侧所有外力沿截面法线方向投影的代数和FS＝截面一侧所有外力沿截面方向投影的代数和

荷载和支座反力

截面左边向上（右边向下）的外力使截面产生正号的剪力，其相应的投影为正，反之为负。左上右下为正外力竖向投影的正负号判断：截面左侧的外力截面右侧的外力3、内力计算法则（用截面一侧外力表达的方式）M＝截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和

截面左边顺时针（右边逆时针）的外力矩使截面产生正号的弯矩，其相应的力矩为正，反之为负。注意：对于水平梁，不论截面左边或右边的外力，均是向上的外力使截面产生正号的弯矩，其相应的力矩为正，反之为负。上正下负左顺右逆为正外力力矩的正负号判断：截面左侧的外力截面右侧的外力

例

求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。解：(1)求支座反力12kN/m8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m12FRAFRB12(2)求1-1截面的剪力FS1、弯矩M1根据1-1截面左侧的外力计算可得：根据1-1截面右侧的外力计算可得：可见计算结果完全相同。

例

求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。

(3)求2-2截面的剪力FS2、弯矩M2

根据2-2截面右侧的外力计算可得：

例

求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。FaFlabABABlqql2

2应熟记常用单跨梁的弯矩图：BAqlql2

8BAFll/2Fl

4l/2应熟记常用单跨梁的弯矩图：ll/2l/2应熟记常用单跨梁的弯矩图：由平衡条件可导出微分关系如下：三、荷载与内力的关系及内力图的形状特征1、荷载与内力之间的微分关系§3-1单跨静定梁斜直线水平线抛物线有极值为零处有尖角有突变无变化

有突变（突变值

=M）剪力图弯矩图无外力均布力作用

(q向下)集中力作用处(F向下)集中力偶M作用处铰处为零斜直线内力图形状特征

荷载FCCM（突变值=F）

在铰结处一侧杆件截面上如无集中力偶作用：

M＝0

在铰结处一侧杆件截面上如有集中力偶作用：

该截面弯矩＝集中力偶值§3-1单跨静定梁铰处：AAA

在杆件自由端截面上如无集中力偶作用：

M＝0

在杆件自由端截面上如有集中力偶作用：

该截面弯矩＝集中力偶值§3-1单跨静定梁FABFAB四、分段叠加法作弯矩图

对结构中的直杆作弯矩图时，可采用分段叠加法，使绘制工作得到简化。先讨论简支梁：ABABAB§3-1单跨静定梁作结构中任意直杆段的弯矩图：BA根据计算法则求出BA取与AB杆段相同跨间荷载的简支梁，并将AB杆段两端的弯矩作为外力偶加在简支梁的两端：§3-1单跨静定梁BA由平衡条件：由计算法则：AB杆段内任一截面的内力与相应简支梁完全相同！作结构中任意直杆段的弯矩图：BABA1.竖：绘出杆件两端的弯矩纵标2.连：在两弯矩纵标间连一虚线3.叠加：在虚线上叠加杆段在跨间荷载下的简支梁弯矩图§3-1单跨静定梁BA任意杆段均可按照简支梁进行弯矩图的叠加，作出弯矩图：作结构中任意直杆段的弯矩图：BABA1.竖：2.连：3.叠加：§3-1单跨静定梁1）叠加是弯矩值相加，

即图形纵坐标相加。2）第三步叠加的是杆段在跨间荷载作用下的简支梁弯矩图。注意:BA任意杆段均可按照简支梁进行弯矩图的叠加，作出弯矩图：直杆区段的弯矩图叠加步骤：（１）计算直杆区段两端的最后弯矩值（即两个截面的总弯矩值），以杆轴为基线画出这两个值的纵标，并将两纵标连一直线（虚线）；（２）当杆段上有跨间荷载作用时，将所连直线作为新的基线，叠加杆段在跨间荷载作用下的简支梁弯矩图。竖、连、叠加§3-1单跨静定梁分段叠加法作弯矩图的方法：（1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点）为控制截面，计算控制截面的弯矩值；（2）用叠加法分段作弯矩图。§3-1单跨静定梁有荷载作用的杆段：竖、连、叠加无荷载作用的杆段：竖、连643m3m4kN4kN·mM图（kN·m）4M图（kN·m）例：利用叠加法求作图示梁的弯矩图。3m3m2kN/m2m4kN6外伸梁的伸臂杆段：其弯矩图和剪力图与悬臂梁相同！该截面的弯矩值不一定标出，但叠加的弯矩值（即6）需要通过双箭头直线标出！该梁弯矩控制截面为：A、D、F、B解：（1）先计算支座反力（2）求控制截面弯矩值1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFG例：利用叠加法求作图示梁的弯矩图。MA

=0MB

=0（3）作弯矩图P=8kNADm=16kN.mFB481m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFG263084237M图（kN·m）MA

=0MD=26kN.mMF

=30kN.mMB

=01m2m1mABDCq=20kN/mP=20kNFA=70kNFB=10kNm=40kN.m10M图(kN.m)504010205010

＋

－FS图(kN)10求作图示梁的内力图。

－剪力图简便作法：作剪力图，从左往右，看到上就上，看到下就下。作剪力图时，从零点出发，最后必须仍回到零点。（碰到集中力就突变；碰到均布荷载线性渐变；碰到集中力偶不变。）FS图

(kN)§3-2多跨静定梁

由若干根短梁铰结而成，用来跨越几个相联跨度的静定梁。多跨静定梁：ABCD该体系为无多余约束的几何不变体系，是静定梁。一、几何组成基本部分——不依赖其它部分而能独立地维持其几何不变性的部分附属部分——依赖与其它部分的联结才维持几何不变的部分ABCD基本部分基本部分附属部分§3-2多跨静定梁（杆件与地基一般至少有2根竖向链杆相联）（杆件与地基间的竖向链杆一般少于2根）一、几何组成基本部分——不依赖其它部分而能独立地维持其几何不变性的部分附属部分——依赖与其它部分的联结才维持几何不变的部分ABC§3-2多跨静定梁（杆件与地基一般至少有2根竖向链杆相联）（杆件与地基间的竖向链杆一般少于2根）ABC基本部分附属部分一、几何组成基本部分——不依赖其它部分而能独立地维持其几何不变性的部分附属部分——依赖与其它部分的联结才维持几何不变的部分§3-2多跨静定梁基本部分附属部分二、层次图层次图：ABCDABDC§3-2多跨静定梁在层次图上，可独立保持稳定的基本部分画在最下方，其附属部分画在其上方。qaaaa2aaaaqaqABCDqaqa层次图：§3-2多跨静定梁a2aaABq层次图：§3-2多跨静定梁ABCDEABCDE各附属部分不一定在同一层次上：BD杆为较内层次（或较下层次）的附属部分；DE杆为较外层次（或较上层次）的附属部分。

荷载作用在某基本部分上，只有该基本部分受力，附属部分不受力。（与该基本部分相互独立的其它基本部分也不受力）由层次图：ABDCABDC

荷载作用在附属部分上，除附属部分受力外，基本部分也受力。

荷载作用在基本部分上，只有基本部分受力，附属部分不受力；由层次图：

荷载作用在附属部分上，除附属部分受力外，基本部分也受力。分析顺序：先附属部分，后基本部分。ABDC§3-2多跨静定梁由层次图可见：多跨静定梁可分解为多个单跨静定梁。三、内力计算方法计算多跨静定梁内力的方法：先判别基本部分和附属部分，作层次图；计算附属部分的支座反力，将附属部分的支座反力反方向加于基本部分作为荷载；然后分别针对各短梁作内力图。§3-2多跨静定梁【例】试求图示梁的内力图qaaaa2aaaaqaABCD解：1、作层次图qaqa§3-2多跨静定梁qa2aaABq【例】试求图示梁的内力图qaaaa2aaaaqaABCD2、求支座反力qaqaqa2qaqa/2qa/2qaqa/23qa/49qa/4qq【例】试求图示梁的内力图3、作弯矩图qaqaqa2qaqa/2qa/2qaqa/23qa/49qa/4qa2qa2qa2/2qa2/2M图qa2/23、作弯矩图无荷载作用的杆段（包括含有铰结点的杆段），其弯矩图为一直线。3、作弯矩图无荷载作用的杆段（包括含有铰结点的杆段），其弯矩图为一直线。作弯矩图时，先作附属部分，然后作基本部分。利用作弯矩图的叠加法和弯矩图与荷载的特征关系，有时不求反力也能作出弯矩图！qaaaa2aaaaqqa3qa/49qa/4qa/22qaqaqaqaqa/47qa/4qa/2qa/2qa/2＋＋－－－FS图4、作剪力图2m2m2m1m2m2m80k

N·mAB40k

NCDE40k

NCAB80k

N·m