专题33 实际问题与一元一次方程【十五大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列（人教版）

专题3.3实际问题与一元一次方程【十五大题型】

【人教版】

♦题型梳理

【题型1行程问题】.............................................................................1

【题型2工程问题】.............................................................................5

【题型3配套问题】.............................................................................7

【题型4销售盈亏问题】........................................................................11

【题型5比赛积分问题】........................................................................15

【题型6方案选择问题】........................................................................20

【题型7数字问题】............................................................................24

【题型8几何问题】............................................................................28

【题型9和差倍分问题】........................................................................33

【题型10比例分配问题】........................................................................36

【题型11古代问题】............................................................................38

【题型12日历问题】............................................................................40

【题型13年龄问题】............................................................................45

【题型14电费和水费问题】......................................................................47

【题型15其他问题】............................................................................51

,

【题型1行程问题】

【例1】（2023秋•陕西渭南•七年级校考期中）一辆出租车从4地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次

行驶的路程（向东记为正）记录如下：（6<x<16,单位：km）

第一次第二次第三次第四次

1

Xx-42(6-x)

-2X

（1）写出这辆出租车每次行驶的方向：第一次向；第二次向；第三次向；第四次向

（2）若％=10,求经过连续4次行驶后，这辆出租车在A地的什么方向，距离4地有多远？

（3）求这辆出租车4次行驶的总路程（结果用含力的式子表示）：若这辆出租车4次行驶的总路程是47km,

求这辆出租车第四次行驶/多少千米？

【答案】（1）东；西；东；西

（2）出租车在4地的东边3km处

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⑶傲-16)km,出租车第四次行驶的路程是16km

【分析】(1)根据x的取值范围判断四个代数式的正负，根据向东为正，向西为负，即可求解；

(2)将四个代数式相加，将％=10代入求值，根据向东为正，向西为负，即可求解；

(3)将四个代数的绝对值相加即可表示出总路程，根据总路程为47km列方程求出x,即可求解.

【详解】(1)解：因为6cx<16,

所以x>0,<0,x-4>0,2(6-x)<0,

所以第一次向东；第二次向西；第三次向东；第四次向西；

故答案为：东；西；东；西.

(2)解：x—^x+x—4+2(6—r)=—+8(km).

因为k=10»

所以一+8=—1x10+8=3(km)»

所以若x=10,则经过连续4次行驶后，这辆出租车在A地的东边3km处.

(3)解：根据题意可得这辆出租车行驶的路程为：

x+|—^x|+x—4+|2(6—x)|=x+1x+x—4-2(6-x)=-16(km),

因为这辆出租车行驶的总路程是47km.

所呜3-16=47,

解得％=14»

所以|2(6-x)|=|2x(6-14)|=|-16|=16,

所以这辆出租车4次行驶的总路程是(如-16)km,若这辆出租车4次行驶的总路程是47km,则出租车第

四次行驶的路程是16km.

【点睛】本题考查正负数的应用，整式的加减运算，化简绝对■值，一元一次方程的应用等，解胭的关键是理

解正负号的意义，正确化简绝对值.

【变式1-1](2023春・上海长宁•六年级上海市延安初级中学校考期中)列方程解应用题.

甲、乙分别从A、B两地同时出发相向而行，在。处相遇后，甲没有休息，到B地后立刻折返；乙则在C

处休息了15分钟才继续走，到A地后立刻折返：两人折返后仍在。处相遇，如果甲每分钟走60米，乙每

分钟走80米.那么A、B两地相距多少米？

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【答案】4、3两地相距180()米：

【分析】由甲、乙的速度比60:80=3:4可设全程为7%米，则。处到A地的距离为3%米，则。处到8地的距

离为4%米，根据题意列方程即可.

【详解】解：60：80=3:4,

设全程为勿米，则。处到A地的距离为3%米，则C处到8地的走离为以米，

由题意得：上于+15=上乎，解得：x=—,7x=1800,

答:4、8两地相距1800米;

【点睛】本题考查相遇问题，根据速度比60:80=3:4设出全程为7、米是关键.

【变式1-2](2023秋•黑龙江绥化七年级统考期末)一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米〃卜时，顺风

飞行需2小时50分，逆风飞行需3小时：

(1)求无风时飞机的飞行速度；

⑵求两城之间的距离.

【答案】(1)840千米每小时

(2)2448千米

【分析】(1)先设出匕机在无风时的速度为工，则顺风飞行时的速度%=x+24,逆风飞行的速度%=无-24,

再根据路程相等，列出等式，求解即可.：

(2)利用(1)的结论求解即可.

【详解】(1)解：设无风时飞机的速度为%km/h,

则顺风飞行时的速度匕=x+24,逆风飞行的速度%=%-24,

依题意得：(%+24)x2^=(%-24)x3,

解得％=840,

答:无风时匕机的匕行速度为840km/h；

(2)解：两城之间的距离(840-24)x3=2448(km).

答：两城之间的距离为2448km.

【点睛】此题考杳•元•次方程的实际运用，掌握无风速度，顺风速度，逆风速度，风速之间的关系是解决

问题的关键.

【变式1・3】(2023秋・广东佛山•七年级统考开学考试)A、B两地相距25千米，甲、乙两人分别从4、B两

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【题型2工程问题】

【例2】(2023春.广东深圳.七年级统考开学考试)红星纺织厂为了应对疫情需求，安排甲、乙两个车间生

产防疫口罩.第一周甲、乙两个车间各生产5天后，乙车间周六加班多生产1天，结果两个车间生产的口

罩数量一样多：第二周甲、乙两个车间各生产4天后乙车间又多生产口罩3000个，结果甲车间比乙车间仍

多生产口罩1000个.

(I)甲、乙两车间每天生产口罩各多少个？

(2)第三周，纺织厂又接到生产40000个口罩的订单，且要求必须4天完成任务，同时甲车间要抽调一半的

工人去生产防护服，因此，甲车间生产口罩的效率只有原来的一半，厂部要求乙车间必须提高口罩生产效

率，保证按时完成任务，乙车间生产效率提高的百分比是多少？

【答案】(1)甲车间每天生产口罩6000个，乙车间每天生产口罩5000个

(2)40%

【分析】(1)设甲车间每天生产口罩％个，可得4%=三%x4+3000+1000,即可解得甲车间每天生产口罩

6

6000个，乙车间每天生产口罩5030个；

(2)设乙车间生产效率提高的百分比是m%,可得4x等+4x5000(1+m%)=40000,可解得乙车间生

产效率提高的百分比是40%.

【详解】(1)解：设甲车间每天生产口罩x个，

•.•第一周甲、乙两个车间各生产5天后，乙车间周六加班多生产1天，结果两个车间生产的口罩数量一样多；

•••乙车间每天生产口罩三二)”(个)，

5+16

•.•第二周甲、乙两个车间各生产4天后乙车间又多生产口罩3000个，结果甲车间比乙车间仍多生产口.罩1000

个，

4x=76^x4+3000+1000,

解得x=6000,

^=7X6000=5000,

66

甲车间每天生产口罩6000个，乙车间每天生产口罩500()个；

(2)设乙车间生产效率提高的百分比是加％,

根据题意得：4x等+4x5000(1+m％)=40000,

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解得m%=40%,

答：乙车间生产效率提高的百分比是40%.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意：找到等量关系列出方程.

【变式2-1】(2023春・河南新乡•七年级统考期中)我市在创建省级卫牛.文明城市建设中，对城内的部分河道

进行整治.现有一段360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治16米，

乙工程队每天整治24米，共用时20天.求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？

【答案】甲工程队整治15天，则乙工程队整治5天

【分析】设甲工程队整治工天，则乙工程队整治(20-%)天，根据河道总长二甲工程队整治的长度+乙工程队

整治的长度，列出方程求解即可.

【详解】解：设甲工程队整治工天，则乙工程队整治(20-%)天，

16x+24(20-x)=360,

解得：x=15,

/.20-x=20-15=5,

答：甲工程队整治15天，则乙工程队整治5天.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程

求解.

【变式2-2](2023春・重庆北倍・七年级西南大学附中校考开学考试)为提升乡村休闲旅游产业，推动乡村全

面振兴.某地政府计划对辖区内一条长15千米的公路进行维护升级，计划由甲、乙两个工程队我合完成.若

甲工程队先单独施工6天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程.已知甲工程队每天比乙工程队每

天少施工0.3千米.

(1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？

(2)已知甲工程队每天的施工费用为8000元，乙工程队每天的施工费用为10000元，若先由甲工程队单独施

工若干天，再由甲、乙两个工程队联合施工，则恰好14天完成施工任务，则共需施工费用多少元？

【答案】(I)甲工程队每天施工0.5千米，乙工程队每天施工0.8千米；

(2)212000元.

【分析】(1)设乙工程队每天施工工千米，根据甲工程队先单独施工6天，则乙工程队还需单独施工15天

可完成该工程，列一元一次方程，求解即可；

(2)设甲工程队单独施工m天，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由甲、乙两个工程队联合施工，则恰

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好14天完成施工任务列一元一次方程，求出m的值，进一步求施工费用即可.

【详解】(1)解：设乙工程队每天施工"千米，

根据题意，得6(%-0.3)+15%=15,

解得x=0.8,

0.8-0.3=0.5(千米)，

答：甲工程队每天施工0.5千米，乙工程队每天施工0.8千米；

(2)解：设甲工程队单独施工m天，

根据题意，得0.5x14+0.8(14-m)=15,

解得m=4,

•••14x8000+10000x(14-4)=212000(元)，

答：共需施工费用212000元.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意建立等量关系.

【变式2-3】(2023秋・云南临沧・七年级统考期末)某中学在寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲、乙两个

工程队都想承包这项工程，已知甲队每天能粉刷2间教室，乙队每天能粉刷3间教室，若单独粉刷所有教

室，甲队比乙队要多用10天，在粉刷过程中，该校每天需要支/寸甲队1600元，每天支付乙队2500元.

(I)该校一共有多少间教室需要粉刷？

(2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲队停工了，乙队单独完成剩余部分，且乙队的全部工作时

间是甲队的工作时间的2倍还多4天，求乙队共粉刷了多少天？

(3)经学校研究，制定了如下三种方案：

方案一：由甲队单独完成；

方案二：由乙队单独完成；

方案三：按(2)的方式完成.

请你通过计算帮学校选择一种最省钱的粉刷方案.

【答案】(I)该校共有60间教室需要粉刷

(2)乙队共粉刷了了16天

(3)选择方案一最省钱，见解析

【分析】(1)设乙工程队要刷x天，根据题意房间数量列出方程求解即可；

(2)设甲工程队的工作时间为)，天，则乙工程队的工作时间(2y+4)天，根据两队共粉刷60间教室列出方

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程求解即可：

（3）分别计算出三种方案的费用，然后进行比较即可.

【详解】（1）解：设该校共有无间教室需要粉刷，贝6=：+10,解得：%=60.

答：该校共有60间教室需要粉刷.

（2）解：设甲队的工作时间是y天，则乙队的工作时间为（2y+4）天，由题意可得：

.•・2y+3（2y+4）=6U,解得：y=6,

A2y+4=16.

答：乙队共粉刷了16天.

（3）解：方案一：甲单独完成花费为：yX1600=48000（元）；

方案二：乙单独完成花费为：2500=50000（元）；

«5

方案二：总花费为：6x1600+16x2500=49600（元）.

工选择方案一最省钱.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确埋解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出

方程是解答本题的关键.

【题型3配套问题】

【例3】（2（）23秋・黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）某车间有22名工人生产螺钉

和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，要求使每天生产的产品刚好

配套.

（1）如果车间主任安排8人生产螺钉，其它人生产螺母，请你计算这样的安排是否符合要求？

（2）如果你是车间主任，请你用列方程的办法计算出分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母才能符

合要求？

【答案】（1）不符合要求

（2）分配10名工人生产螺钉，12人生产螺母

【分析】（1）计算出每天生产的螺钉数、螺母数，判断是否配套即可；

（2）设分配x名工人生产螺钉，根据一个螺钉要配两个螺母建立方程，求出方程的解即可.

【详解】（1）解：每天生产的螺钉数为8x12=96（个），

每天生产的螺母数为（22-8）x20=280（个），

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,:96x2H280»

•••这样的安排不符合要求；

（2）解：设分配1名工人生产螺钉，则（22-幻名工人生产螺母，

根据题意得：2xl2x=（22-x）x20,

解得％=10,

故22-10=12（人）.

答：分配10名工人生产螺钉，12人生产螺母才能符合要求.

【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程.

【变式3-1】（2023春•上海普陀•六年级校考期中）一个方桌由一张桌面与四根桌腿做成，已知一立方米木料

可以做桌面50张或桌腿300根，现有5立方米木料，可恰好做成方桌多少个？

【答案】150个

【分析】利用一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，利用桌面*4=桌腿数量，进而得出等式即可.

【详解】解：设用x立方米木料做桌面，则可做50%个桌面，

剩下的（5-无）立方米木料做桌腿，可做300（5-x）条桌腿.

因为桌腿的数量是桌面数量的4倍，

所以可列方程4x50x=300（5-T）.

解得》=3.

工可恰好做成方桌50x3=1501.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出•元一次方程，正确找出等量关系是解题关键.

【变式3-2】（2023秋•陕西榆林•七年级校考阶段练习）川硬纸板做长方体盒子（如图1）.如图2,在长方

体盒子表面展开图中，4个侧面组成的长方形叫做盒身，用灰色部分表示，2个底面分别用斜线部分表示，

硬纸板有如图3所示的A,B两种剪裁方法（空白部分的边角料不再利用）.A方法：剪2个盒身.B方法：

剪I个盒身和5个底面.现有28张硬纸板.若其中的X张用力方法裁剪，其余的用8方法裁剪.

iQ^rT^i

图1图2

（.4方法）（8方法）

图3

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（1）填空：裁剪出的盒身的个数是,裁剪出的盒底的个数是.（用含工的代数式表示，代数式不

是最简要化为最简形式）

（2）若裁剪出来的盒身和盒底正好配套，求x的值.

【答案】（l）x+28,-5%+140

⑵12

【分析】（1）根据题意，列出代数式，即可求解；

（2）由侧面个数和底面个数比为2：1建立方程求出x的值.

【详解】（1）YA方法：剪2个盒身.B方法：剪1个盒身和5个底面，

・••裁剪出的盒身的个数是2%+28-％=%+28,

裁剪出的盒底的个数是5（28-;v）=-5A:+140；

（2）由题意得，2（x+28）=-5x4-140

・,・解得％=12.

【点睛】本题考查了一元一次方程的实际运用，根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是解题的关键.

【变式3-3】（2023秋・广东中山•七年级统考期末）美术老师组织初一（5）班的学生用硬纸板制作下图所示

的正三棱柱盒子.初一（5）班共有学生45人，每名学生每小时可以裁剪侧面60个或底面5（）个.已知一

个三棱柱盒子由3个侧面和2个底面组成，为了使每小时裁剪出的侧面与底面刚好配套，应如何分配全班

【答案】应该分配裁剪侧面的学生为25人，裁剪底面的学生为20人

【分析】设分配裁剪侧面的学生为x人，则裁剪底面的学生为（45-幻人，再根据“一个三棱柱盒子由3个侧

面和2个底面组成”列方程即可求解.

【详解】解：设分配裁剪侧面的学生为x人，则裁剪底面的学生为（45-x）人，

根据题意得，60xx2=50（45—x）x3,

A270x=6750,

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解得％=25,

・•・裁剪底面的学生为：45-25=20（人），

答：应该分配裁剪侧面的学生为25人，裁剪底面的学生为20人.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键.

【题型4销售盈亏问题】

【例4】（2023秋•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）东辉超市两次购进甲、乙

两种商品进行销售，其中第一次购进乙种商品的件数比甲种商品件数的2倍多15件.

（I）若第一次购进甲种商品的件数为。件，则购进乙种商品的件数为件.

⑵已知甲种商品的进价49元，标价69元，乙种商品的进价35元，标价45元.该超市第一次用7665元购

进甲、乙两种商品，且均按标价出售，问本次全部售出后共获利多少元？

（3）在（2）间的条件下，该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数是第一

次的2倍，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品售价不变，乙商品打折销售，笫二次全部售出后获得

的总利润比第一次获得的总利润多10%,求第二次乙种商品按原价打几折出售？

【答案】（1）（2。+15）

（2）2550元

⑶八折

【分析】（1）根据题意，用运算表示数量间关系，列代数式；

（2）明确等量关系：甲商品总进价+乙商品总进价=7665元，列一元•次方程求解，进而求出利润;

（3）明确等量关系：第二次总利润一第一次总利润=2550x（1+10%）,列一元一次方程求解；

【详解】（1）（2a+15）

（2）解：根据题意得49Q+35（2。+15）=7665,解得Q=60,

2a4-15=135（件），

60x（69-49）+135x（45-35j=2550（元）,

答：本次售出后获利2550元.

（3）解：甲：60x2=120（件）乙：135x3=405（件）

设第二次乙种商品打x折出售.

根据题意得405（45x巳-35）+120x（69-49）=2550x（1+10%）,解得x=8.

答：第二次乙种商品打八折出售.

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【点睛】本题考杳一元一次方程的应用：审题明确题意中的等量关系是解题的关键.

【变式4-1](2023春・贵州毕节.七年级统考期末)2023年4月16日至18日“金沙贡茶文化节”在岩孔贡茶

古镇举行，开幕式上12家茶企茶商代表进行了集中签约.其中某采购商计划购进甲、乙两种茶叶商品.已

知甲种茶叶商品的每件进价比乙种茶叶商品的每件进价少20元.若购进甲种茶叶商品5件，乙种茶叶商品

3件，共需要700元.

(I)求甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是多少元？

(2)该采购商购进了甲种茶叶商品30()件，乙种茶叶商品20()件.在销售时，甲种茶叶商品的每件售价为110

元，要使得这500件茶叶商品所获利润率为30%,求每件乙种茶叶商品的售价是多少元？

【答案】(1)甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是80,10()元

(2)每件乙种茶叶商品的售价是121元

【分析】(1)设甲种茶叶商品每件的进价为X元，则乙种茶叶商品每件的进价为(尤十20)元，由题意如，5%十

3(x+20)=700,计算求解，然后作答即可;

(2)设每件乙种茶叶商品的售价是a元，由题意知，("；吃：：：:比瑞、2。。XI。。％=30%,计算求解即可.

【详解】(1)解：设甲种茶叶商品每件的进价为x元，则乙种茶叶商品每件的进价为(％+20)元，

由题意知，5%+3(%+20)=700,

解得％=80,

.r+20=100(元)，

・•・甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是80,100元；

(2)解：设每件乙种茶叶商品的售价是a元，

⑴

由胭意知,0-80)x300+9-100)x200x100%=30%,

80x300+100x200

解得，a=121,

・•・每件乙种茶叶商品的售价是121元.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用.解题的关键在于对知设的熟练掌握.

【变式4-2](2023春・山东泰安•六年级校考开学考试)玉玲超市经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价

80元，利润率60%；乙种商品每件进价40元，售价60元.

(1)每件甲种商品的进价为瓦；每件乙商品的利润率为.

(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共500件，总进价为21000元，求购进甲种商品多少件？

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(3)“元旦”期间，该超市对乙商品进行如下优惠促销活动:

打折前一次性购物总金额优惠措施

少于或等于450元不优惠

超过450元，但不超过600元按购物总金额打九折

超过600元其中600元部分八五折优惠，超过600元的部分打三折优惠

按上述优惠条件，若小华购买乙种商品实际付款564元，求小华在商场购买乙商品多少件？

【答案】(1)50；50%

(2)购进甲种商品100件

⑶购进乙种商品13件

【分析】(1)设每件甲种商品的进价为x元，根据利润=售价-进价列出方程解方程即可，杈据利润率二

翌x100%求出乙商品的利润率即可；

(2)设购进甲种商品)，件，则购进乙种商品(500-y)件，根据卬、乙两种商品的总进价为21000元，列出

方程，解方程即可；

(3)设小华购买乙种商品总价为加元，根据小华购买乙种商品实际付款564元列出方程，解方程得出实际

付款数，然后再求出件数即可.

【详解】(1)解：设每件甲种商品的进价为x元，根据题意得：

80-x=60%x,

解得：x=50,

每件乙商品的利润率为：吟产x100%=50%：

40

故答案为:50；50%.

(2)解：设购进甲种商品y件，则购进乙种商品(500-y)件，根据题意得：

50y+40(500-y)=21000,

解得：y=100,

500-100=400(件)，

答：购进甲种商品100件.

(3)解：600x0.9=540(元)，

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600x0.85=510（元），

•••564>540>510,

・••小华购买乙种商品总价超过600元，

设小华购买乙种商品总价为〃，元，根据题意得：

600x0.85+（m-600）x0.3=564,

解得：m=780,

780+60=13（件），

答：购进乙种商品13件.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程，熟练掌握利润

二售价一进价，利润率=罟乂100%.

【变式4-3］（2023秋•陕西延安•七年级校考阶段练习）晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共

花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进吩为每盒12元.（利润=销售额-成本）

（1）求两次分别购进礼品盲盒多少盒？

（2）文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此计

划该老板总共可以获得多少元利润？

（3）在实际销售中，该文具店老板在以（2）中的标价2（）元售出一些第一批盲盒后，决定搞一场促销活动，

尽快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完.老板现将标价提高到40元/盒，再推出活动：购买两盒，第一

盒七五折，第二盒半价，不单盒销售.售完所有盲盒后该老板共获利润710元，按（2）中标价售出的礼品

盲盒有多少盒？

【答案】（1）第一次购买了40盒，第二次购买了30盒

（2）按此计划该老板总共可以获得320元的利润

⑶按（2）中标价售出的礼品盲盒有16盒

【分析】（1）设第一次购买了无盒，则第二次购买了（70-切盒，根据总共花费960元，列出方程进行求解

即可；

（2）分别求出两批的利润，相加即可；

（3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有771盒，分别求出按不同方案销售的销售额，再根据该老板共获利润

710元,列出方程进行求解即可.

【详解】（1）解；设第一次购买了工盒，则第二次购买了（70—x）盒，

第14页共54页

由题意,得15%+12（70-%）=960,

解得％=40,

所以70-％=30.

答：第一次购买了40盒，第二次购买了30盒.

（2）第一批的利润为（20—15）x40=200（元），

第二批的利润为（20x0.8-12）x30=120（元），

200+120=320（元）.

（3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有m盒，则按标价售出m盒的销售额为20m,

按二五折售出部分的销售额为40x0.75x4三=1050-15m,

按五折售出部分的销售额为40x0.5x"二700-lOzn,

根据题意可得207n+1050-157n+700-10m-960=710,

解得m=16.

答：按（2）中标价售出的礼品盲盒有16盒.

【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用.读懂题意，找准等量关系，正确的列出一元一次方程，是解题

的关键.

【题型5比赛积分问题】

【例5】（2023秋.江西赣州.七年级校联考阶段练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，

如表记录了3个参赛者的得分情况.

参赛者答对题数答错题数总得分

甲200100

乙19194

丙14664

⑴由表中的数据可知：答对I题得分，答错I题得分;

⑵参赛者小婷得76分，她答对了几道题？

（3）参赛者小明说他得了80分.你认为可能吗？为什么？

【答案】（1）5,-1

⑵参赛者小婷得76分，她答对了16道题

第15页共54页

（3）不可能，理由见解析

【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分=总分♦全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以

得出答错1题的得分；

（2）设参赛者小婷答对了x道题，答错了（20-公道题，根据答对的得分+加上答错的得分=76分建立方程

求出其解即可；

（3）假设他得80分可能，设答对了），道题，答错了（20-y）道题，根据答对的得分+加上答错的得分=80

分建立方程求出其解即可判断.

【详解】（1）由题意，得，答对1题的得分是：100-20=5分，

答错1题的得分为：94-19x5=-1分，

故答案为：5,-1；

<2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错/（20-x）道题，由题意，得，

5%-（20—。）=76,

解得：x=16.

答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题；

（3）不可能.理由如下：

假设他得80分可能，设答对了1y道题，答错了（20-y）道题，由题意，得，

5y-（20-y）=80,

解得：y=?，

为整数,

・•・参赛者小明说他得80分，是不可能的.

【点睛】本题考查了一元一次方程的实际运用，正确理解题意、找准相等关系列出方程是关键.

【变式5-1]（2023秋•四川成都・七年级统考期末）2022年卡塔尔世界杯已于12月19日完美落下帷幕，在

欧洲区预选赛中某小组某队以不败的战绩踢完12场积了18分.

⑴已知足球积分为胜一场积3分，平一场积1分，则该队现在胜、平各几场？

⑵为了鼓励该队获得好成绩，该队的赞助商制定了一个奖励机制，每位球员胜一场获得15000欧元奖励，平

一场获得7000欧元奖励，则该队•位球员能获得多少报酬？

【答案】⑴胜3场，平9场;

⑵108000欧元

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【分析】（1）设该队胜x场，则平（12-幻场，根据题意列方程，求解即可得到答案；

（2）根据题意列式计算即可得到答案.

【详解】（1）解：设该队胜x场，则平（12-幻场，

根据题意得：3x+（12-x）=18.

解得：x=3,

答：该队胜3场，平9场；

（2）解：根据题意得：15000X3+7000X9=108000（欧元），

答：该队一位球员能获得108000欧元.

【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的四则混合运算的应用，找出题目中的数量关系正确

列方程是解题关键.

【变式5-2］（2023秋•河北保定•七年级统考期末）2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排

世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠王”2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五

局三胜，积分规则如下：比赛中以3—0或者3-1取胜的球队积3分，负队积。分；而在比赛中以3—2取胜

的球队积2分，负队积1分.前四名队伍积分榜部分信息如下表所示：

名次球队场次胜场负场总积分

1中国11110—

2美国II1()128

3俄罗斯II8323

4巴西1121

（I）中国队11场胜场中只有一场以3-2取胜，请将中国队的总积分填在表格中.

⑵巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场枳分为1分，总积分见表，求巴西队胜场

的场数.

【答案】⑴32

⑵？场

【分析】（1）依据中国队II场胜场中只有一场以3-2取胜，即可得到中国队的总积分.

第17页共54页

(2)设巴西队枳3分取胜的场数为%场，依据巴西队总积分为21分，即可得到方程，进而得出工的值.

【详解】(1)中国队的总积分=3x10+2=32：

故答案为：32：

(2)设巴西队积3分取胜的场数为工场，则积2分取胜的场数为5)场，

依题意可列方程3x+2(x-5)+l=21,

3x4-2x—10+1=21,

Sx=30>

x=6,

则积2分取胜的场数为5=1,

所以取胜的场数为6+1=7,

答：巴西队取胜的场数为7场.

【点睛】本题考杳一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键.

【变式5-3](2023秋・湖北武汉•七年级统考期末)下表是某市大学牛.中国象棋锦标赛第一阶段比赛的部分参

赛队的不完整积分表.

参赛队局次胜和负积分

A963021

B953118

C9114

D924310

E90090

观察表格，请解决下列问题：

(1)本次比赛胜一局得分，和一局得分，负一局得分.

(2)根据积分规则，请求出C队在已经进行的9局比赛中胜、和各多少局？

(3)此次比赛每个队共对弈21局，若。队最终胜的局数是负的局数的2倍，你认为。队的最终得分可以等

于39分吗?

【答案】(1)3；1；0

(2)C队在已经进行的9局比赛中胜3局、和5局

第18页共54页

(3)D队的最终得分不可能等于39分

【分析】(1)根据E队负了9局，得了。分可知，负一场得0分，设本次比赛胜一局得x分，根据A参赛

队可知，和一场得手分，根据B参赛队，胜5场，和3场，负1场得18分，列出方程，解方程即可；

(2)设。队在已经进行的9局比赛中胜y局、和(9—1-y)局，艰据得分为14分，列出方程，解方程即可;

(3)设。队最终胜的局数为小局，则负的局数为三局，根据得分为39分，列出方程，解方程，得出租=9,

根据/〃必须取整数，得出。队的最终得分不可能等于39分.

【详解】(1)解：•・任参赛队负了9局，得了0分，

，负一场得0分，

设本次比赛胜一局得x分，根据A参赛队可知，和一场得名竺分，根据4参赛队，胜5场，和3场，负1

场得18分，可列方程，

解得：x=3,

则卓2=1,

故答案为：3；1；0.

(2)解：设。队在己经进行的9局比赛中胜y局、和(9-1-y)局，根据题意得：

3y4-(9-1—y)=14,

解得：y=3,

9-1-3=5(局)，

答：。队在已经进行的9局比赛中胜3局、和5局.

(3)解：设。队最终胜的局数为冽局，则负的局数为三局，根据题意可得：

3m+介39,

解得：m=/，

•・"?必须取整数，

・・・0队的最终得分不可能等于39分.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据表格信息，找出等量关系，列出方程，准

第19页共54页

确解方程.

【题型6方案选择问题】

【例6】(2023秋・广东韶关•七年级校考期末)某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价

为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5m3的污水排出，所以为净化环境工厂计划了两种处

理污水的方案.

方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理Im?污水所用费用为2元，并且每月排污设备损耗为30000

元.

方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理lm3污水需付14元的排污费.

问：

(1)工厂每月生产多少件产品时，依方案1处理污水每月所获利润比方案2处理污水每月所获利润少6000元?

⑵设工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长，在不污染环境又节约资金的前提下，会选用哪种处

理污水的方案?请通过计算加以说明.

【答案】(1)每月生产4000件产品时，依方案1处理污水每月所获利润比方案2处理污水每月所获利润少6000

元

⑵采用第一种方案，理由见解析

【分析】(1)设每月生产工件产品，则方案一的利润为(50-25b一2xgx-30000=24%-30000,方案

二的利润为(50-25)%-14x[%=18,然后根据方案1处理污水每月所获利润比方案2处理污水每月所

获利润少6000元列出一元一次方程，求解即可；

(2)分别求出工厂每月生产量为6000件产品时，方案一和方案二的利润，进行判断即可.

【详解】⑴解：设每月生产x件产品，则方案一的利润为(50-25)%—2x1-30000=2轨一30000,

方案二的利润为(50-25)x-14x1x=18x,

根据题意可得：18%-(24%-30000)=6000,

解得：x=4000,

答：每月生产4000件产品时，依方案1处理污水每月所获利润比方案2处理污水每月所获利涧少6000元；

(2)当每月生产量为6000件产品时，

方案一的利润为：24%-30000=24x6000-30000=114000,

方案二的利润为；18k=108000,

第20页共54页

V114000>108000,

・•・工厂采用第一种方案时利润更多.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，理清数量关系，列出方程是解本题的关键.

【变式6-1】(2023秋・湖北武汉•七年级校考阶段练习)下表中有两种移动电话计费方式：

月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/元/min被叫

方式一602000.25免费

方式二1004000.3免费

设一个月内用移动电话主叫为tmin(t为正整数)，由上表解决下列问题:

(1)当£=500时，方式一的费用为元，方式二的费用为元；

(2)当方式一、方式二计费结果相等时，求，的值；

(3)请直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式：—.

【答案】⑴135,130

(2)360或600

(3)当tV360或t>600时,选择方式一省钱;当t=360或600时，两种方式收费一样多;当360VtV600

时，选择方式二省钱

【分析】(1)根据两种方式的收费标准即可求解：

(2)先判断出两种方式相等时C的大致范围，继而建立方程即可得出答案.

(3)由(2)计算过程即可得出答案.

【详解】⑴解:当t=500时,

方式一收费：

60+0.25x(500-200)

=60+0.25X300

=60+75

=135(元)；

方式二收费：

100+0.3x(500-400)

=100+0.3x100

第21页共54页

=100+30

=130(元).

(2)解:当200<tv400时，依题意有

0.25(£-200)+60=100,

解得£=360；

当400时，依题意有

0.25(t-200)+60=0.3(t-400)+100,

解得£=600.

故t的值为360或600；

(3)解:当t<360或t>600时，选择方式一省钱；

当£=360或600时，两种方式收费一样多；

当360<t<600时，选择方式二省钱.

故答案为：当t<360或£>600时，选择方式一省钱；

当£=360或600时,两种方式收费一样多;

当360Vt<600时，选择方式二省钱.

【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，要将实际问题转

化为数学问题来求解.

【变式6-2](2023秋•河北七年级校联考阶段练习)新疆棉花品质优、产量大，甲、乙两个新疆棉花供货商

提供的棉花品质〜样，报价均为2万元/吨，某纺织厂计划购进工吨(%>10)新疆棉花，两个供货商分别给

出如下优惠方案.

甲供货商：一次性购进10吨以上时，每吨的售价优惠5%；

乙供货商：一次性购进10吨以上时，10吨及10吨以内的部分按报价付费，超过10吨的部分，每吨的售价优

惠10%.

(I)该纺织厂在甲供货商处购买新疆棉花时所花的费用为万元；该纺织厂在乙供货商处购买新疆棉花

时所花的费用为万元；(用含工的式子表示)

(2)若同样的供货量，在乙供货商处的花费比在甲供货商处的花费多5000元，求x的值；

(3)当x=30时，请直•接•写出该纺织厂选择在哪个供货商处购买新疆棉花更实惠？

【答案】(1)1.9%,(1.8%+2)；

(2)15：

第22页共54页

(3)乙供货商.

【分析】(1)根据题意分别求出用“表示两家供货商的费用；

(2)根据题意列出方程，解方程求解即可；

(3)代入求值，比较大小即可.

【详解】(I)纺织厂在甲供货商处购买新疆棉花时所花的费用：2x(1-5%)x=2x95%x=1.9x,

纺织厂在乙供货商处购买新疆棉花时所花的费用：2X10+2(%-10)(1-10%)=20+1.8%-18=1.8%+

2,

故答案为:1.9%,(1.8x4-2),

(2)根据题意可列方程为：

1.8r+2—0.5=1.9%,

解得：x=15,即尤的值为15；

(3)当x=30时，

在甲供货商处购买新疆棉花时所花的费用：1.9x30=57(元)，

在乙供货商处购买新疆棉花时所花的费用：1.8x30+2=56(元)，

V57>56,

・••该纺织厂选择在乙供货商处购买新疆棉花更实惠.

【点睛】此题主要考查了列代数式和一元一次方程的应用，明确题意，准确找到数量关系是解题的关键.

【变式6-3](2023春.河南.七年级统考阶段练习)《义务教育体育与健康课程标准(2023年版)》发布后

引起热议，新课标明确了体育依旧为第三主科.学校可根据实际情况设计课程内容.某中学依据本地特色

开设滑冰课程，需要购买12套队服和x套护具(%>12),现从甲、乙两商场了解到同一品牌的队服报价每套

均为200元，护具报价每套均为50元.甲、乙两商场的优惠方案如下表：

商场甲乙

优惠方案购买一套队服赠送一套护具队服和护具均按报价打八五折

(I)用含％的式子表示分别在甲、乙两商场购买队服和护具所需