专题25 整式求值的九大经典题型（人教版）（解析版）2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列（人教版）

专题2.5整式求值的九大经典题型

【人教版】

♦题型梳理

【题型1直接代入】.............................................................................1

【题型2整体代入-配系数】......................................................................2

【题型3整体代入-奇次项为相反数】..............................................................4

【题型4整体构造代入〕.........................................................................6

【题型5不含无关】.............................................................................9

【题型6化简求值】............................................................................13

【题型7绝对值化简求值】......................................................................15

【题型8非负性求值1....................................................................19

【题型9新定义求值】..........................................................................21

，举一反三

【题型1直接代入】

【例1】（2023春•内蒙古呼伦贝尔•七年级校考期中）已知a=>+20,b=%+19,c=x+21,那么式子

Q+b-2c的值是（）

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】B

【分析】直接将a、b、c的值代入式子中即可求解.

【详解】a=x+20,b=x+19,c=x+21,

:.a+b—2c,

=^+20+x+19-2（x+21）

=jr+20+x4-19—2x—42

=-3.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了代入法的计算，主要掌握计算方法是解题的关键.

【变式1-1]（2023春・浙江.七年级期中）若％=-6,则代数式炉+6%-3的值是（）

A.-51B.-75C.-27D.-3

【答案】D

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【分析】将X=-6代入/+6%-3中，求值即可.

【详解】解:将％=—6代入M+6x-3,

得(-6)24-6x(—6)—3=36—36—3=-3.

故选：D.

【点睛】本题考查代数式求值.熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键.

【变式1-2](2023春•内蒙古巴彦淖尔•七年级校考期末)己知多项式-/-3%了2-4的次数是〃，二次项系

数是〃，那么a+b的值为()

A.4B.3C.2D.I

【答案】C

【分析】根据多项式次数：最高项的次数，系数：相应的单项式的系数，求出的值，再进行计算即可.

【详解】解：•・•多项式一%2一3%*-4的次数是小二次项系数是4

a=3,b=­1>

/.a+b=3-l=2,

故选：C.

【点睛】本题考查多项式的次数和系数.解题的关键是掌握多项式次数为最高项的次数，系数为相应的单项

式的系数.

【变式1-3](2023春•内蒙古锡林郭勒盟•七年级校考期末)〃是最大的负整数，力是绝对值最小的有理数，

A.-1B.0C.—D.2020

2019

【答案】A

【分析】根据有理数的意义求出4,b,再代入求值.

【详解】解：•・•a是最大的负整数，8是绝对值最小的有理数，

.".a=-1>b=0,

.・.a2019+吧=(-1)2019+吧=_1,

2019'/2019

故选:A.

【点睛】本题主要考查了代数式求值，乘方运算，求出。，力的值是解题的关键.

【题型2整体代入-配系数】

【例2】(2023春•四川成都•七年级成都实外校考期末)已知3a-4b=—2,则代数式矶9-b)+b(a-

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12)=.

【答案】-6

【分析】先把代数式以9-匕)+b(a-12)进行化简得到3(3a-4b),再把3a-4b=-2整体代入即可.

【详解】解：a(9-b)+b(a-12)=9a-ab-bab-12b=9a-12b=3(3a-4b),

将3。-4b=-2代入得到，原式=3x(-2)=-6.

【点睛】本题考查整体代入法和合并同类项法则，解题的关键是掌握合并同类项法则和整体代入法.

【变式2-1](2023春・北京朝阳•七年级校考期中)已知3a-7b=一3,则代数式2(2Q+b-1)+5(a-4b)-3b

的值是.

【答案】-11

【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将3a-7b=-3代入计算即可得.

【详解】解：2(2a+b—1)+5(a—4b)—3b

=4a+2b—2+5a—20b—3b

=9a-21b-2,

将3Q-7b=-3代入得：原式=3(3a-7b)-2=3x(-3)-2=-11,

故答案为：一11.

【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值、代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键.

【变式2-2](2023春•山西太原••七年级山西实验中学校考期中)若Hi?+37ml=一5,则9nm-3m2一

(37nn-57n2)=.

【答案】-10

【分析】将所求式子去括号合并同类项，整理成2(3nm+m2),再整体代入求解即可.

【详解】Vm2+3mn=—5,

,977171—37n2-(3mn—5m2)

=9mn—3m2-3mn+57n2

=6mn+2m2

=2(3mn+m2)

=2x(-5)

=-10.

故答案为：一10.

【点睛】本题考查/整式的加减一化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则，利用整体代入是解题的关键.

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【分析】由当％=-2时，代数式"二一4加:+8的值为16,可得-14a+8b=8,再把％=2代入代数式即可

4

得到答案.

【详解】解：当％=—2时，代数式彳。/一4■+8的值为16,

：\ax（一2下一4匕x（-2）+8=16,

•••-14Q+助+8=16,

**•-14ct+8b=8,

当％=2时，

7

-ax3-4bx+8

4

=14a—8b+8

=-（-14a+8b）+8

=-8+8

=0.

故选A.

【点睛】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，掌握“利用整体代入法求解代数式的值”是解本题的

关键.

【变式3-2］（2023春・浙江杭州•七年级杭州育才中学校联考阶段练习）已知代数式加+原+3肝c,当x=O

时，该代数式的值为-1.

（1）求c的值；

（2）已知当％=1时，该代数式的值为-1,试求a+Hc的值：

<3）已知当％=2时，该代数式的值为-10,试求当x=-2时该代数式的值；

（4）在第（3）小题的已知条件下，若有。=〃成立，试比较。+力与c的大小.

【答案】（1）-1；（2）-4；（3）8；（4）a+b>c.

【分析】（1）将x=0代入代数式求出。的值即可；

（2）将x=l代入代数式即可求出。+加■。的值;

（3）将x=2代入代数式求出25"23A的值，再将工=-2代入代数式，变形后将2%+23〃的值代入计算即可

求出值;

（4）由25。+23〃的值，变形得到32a+8b=-15,将。=〃代入求出〃的值，进而求出力的值，确定出的

值，与c的值比较大小即可.

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【详解】解答：解：(1)把x=0代入代数式，得到c=-l：

(2)把x=l代入代数式，得到a+b+3+c=-1,

：.a+b+c=-4：

(3)把x=2代入代数式，得至U2sa+23b+6+c=-10,即25a+2^b=-10+1-6=-15,

当工=-2时，原式=-25〃-2%-6-1=-C25a+23b)-6-1=15-6-1=8；

(4)由(3)题得2%+238=-15,即32a+8b=-8,

又Ta=b,

.*.40〃=-8,

・i

..a=--)

5

则b=a=-

.•・o+b=7,

/.a+b>c.

【点睛】本题主要考杳了代数式求值，准确计算是解题的关键.

【变式3-3](2023春•七年级课时练习)当尸-2021H寸，代数式"7+川+6。3的值为7,其中a、b、c为

常数，当x=2021时，这个代数式的值是—.

【答案】-I

【分析】由当x=-2021时，代数式加+历&次旺？的值为7,可求出关于〃、。的多项式的值，将x=2021

代人代数式，再整体代入即可求解.

【详解】解：:当x=・2021时，代数式内4加+次3的值为7,

:.(-2021)7〃+(・2021)5b+(-2021)3c+3=7,

:,-202"，-20215Z7-20213C=4,

:.202l7a+2021%+20213c=-4,

,当x=2021时，«.¥7+/^+^+3=20217d+20215/?+2021\'+3=-4+3=-I.

故答案为：-I.

【点睛】本题考杳了整式的加减，熟练正式加减的运算法则及运用整体的思想是解题的关犍.

【题型4整体构造代入】

【例4】(2023春・全国•七年级专题练习)阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的想方法，它在多

项式的化简与求值中应用极为广泛.

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我们知道，4x-2x+x=(4-2+l)x=3x.类似的我们可以把(a+b)看成一个整体，则4(a+匕)一

2(a+b)+(a+b)=(4-2+l)(a+b)=3(a+b).请尝试解诀：

(1)把(a-b)2看成一个整体，合并3(a-b)2-6(a-b)2+2(a-b)2=；

(2)已知％2-2y=4,求3/-6y—21的值；

(3)已知a-5b=3,5b-3c=-5,3c-d=10,求(a-3c)+(5b-d)-(5b-3c)的值.

【答案】(V)-(a-bY

(2)-9

(3)8

【分析】(1)把(a-b)2看成一个整体，提取公因式(a-b)2,即可求解：

(2)把3/-6丫-21整理为3(/-2y)-21,再把/-2y=4弋入计算即可；

(3)把3(a—b)2—6(a—6)2+2(a—化为(a—5b)十(5b—3c)十(3c—d),再把a—5Z?=3»5b—3c

-5,3c—d=10代入计算即可.

【详解】(1)解：原式=(a—8)2(3—6+2)

=一(。—匕)2,

故答案为:一(a-A.

(2)解：V3x2-6y-21=3(x2-2y)-21,

又M-Zy=4,

，原式=3x4-21

=12-21

=一9；

(3)解：V(a-3c)+(5/)-d)-(5b-3c)

=a-3c+Sb-d-5b+3c

二(a-Sb')+(5b—3c)+(3c—d)

・••当Q—5匕=3,5b—3c=—5>3c—d=10时，

原式=3+(-5)+10

=8.

【点睛】本题考查了整式加减以及代数式求值，合并同类项，添布号与去括号是解题的关键.

【变式4-1](2023春・广东河源•七年级校考期末)若产+2到=-2,xy-y2=4,则/+秒+好的值

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是.

【答案】-6

【分析】将已知等式相减计算即可求出值.

【详解】解：•・・/+2%y=-2①，％y—y2=4②，

・••①-②得:x2+2xy-(xy-y2)=24,解得：x2+xy+y2=-6.

故答案为:-6.

【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【变式4-2](2023春•重庆•七年级重庆十八中校考期中)已知/+=13,3mn+2n2=21,则3m?+

12mn+4n2-44=

【答案】37

【分析】把37n2+12mzi+4n2—44化简为3(血2+2mn)4-2(3mn+2n2)—44,然后利用整体代入法，即可

得到答案.

【详解】3m2+12mn+4n2-44

=3rn2+6mn+6mn+4n2-44

=3(m2+2mn)+2(3mn+2n2)-44,

Vm2+2mn=13,3mn4-2n2=21,

:.原式=3x13+2x21-44=39+42-44=37；

故答案为37.

【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是正确进行化简，然后利用整体代入法求解.

【变式4-3](2023春•广东惠州•七年级统考期中)我们知道,4a-3a+a=(4-3+1)a=2a,类似地,我们

把(x+y)看成一个整体，则4(x+y)-3(x+y)+(x+j)=(4-3+1)(x+y)=2(x+y).“整体思想”

是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.请尝试：

(I)把(〃?-〃)2看成一个整体，合并2(,〃-〃)2-4(m-n)2+(〃?-〃)？的结果是；

(2)已知f-4x=2,求3/-⑵一当的值；

(3)已知〃-2方=3,c-d=3,2力-。=-1(),求(2〃-d)-(2〃-c)+(a-c)的值.

【答案】(1)-(m-n)2；(2)(3)-4

【分析】(1)把(…八)2看成一个整体，合并同类项即可；

(2)将的前两项运用乘法分配律可化为/-叙的3倍，再将f-4x=2整体代入计算即可；

4

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(3)对(2b-d)-(2b-c)+(a-c)去括号，再合并同类项，将a-25=3,c-d=3,2h-c=-10三个

式子相加，即可得到a-d的值，则问题得解.

【详解】(I)2(m-n)2-4(in-n)2+(〃？・〃)2=-(m-n)2,

2

故答案为：-(HL〃)；

(2)3.?-12v-y

=3(x2-4x)-

•・•/-4x=2,

*,•原式=3x2—^=—^；

(3)(2b-d)-(2b-c)+(a-c)

=2b-d-2b+c+a-c

=a-d,

•・7-2匕=3,c-d=3,2b-c=-10,

Ad-2b+c-d+2b-c=3+3-10,

Ad-d=-4,

A(2b-d)-(20-c)+(4-c)=-4.

【点睛】本题考查了合并同类项，整式的化简求值，关键是运用整体思想来解决.

【题型5不含无关】

【例5】(2023春•江西新余•七年级统考期末)已知多项式(4产+ax-y+6)-(4b——%+5y-1).

(1)若多项式的值与字母x的取值无关，求。、〃的值；

(2)在(1)的条件下,先化简多项式3(小一。6+62)-(2。2+3必+》2),再求它的值;

(3)在(1)的条件下，求(5+。2)+卜b+浸Q2)+(3b+点。2)+...+(10b+的值

【答案】(l)b=l,a=-l

(2)a2-6ab+2b2；9

9

⑶56G

【分析】(1)根据去括号，合并同类项，进行计算，根据题意，令含”的项系数为0,得出a,b的值；

(2)根据去括号，合并同类项，进行化简，然后将a,b的值代入进行计算；

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(3)先去括号，裂项相减，合并同类项，然后将a,b的值代入进行计算即可求解.

【详解】(1)解：(4x2+ax-y+6)—(4bx2—x+5y-1)

=4x2+ax—y+6—4bx2+x—5y+1

=(4-4b)x2+(a+l)x-6y+7,

•・•多项式的值与字母》的取值无关，

4-4b=0,a+1=0,

解得：b=1,a=-1；

(2)解：3(a2-ab+b2)—(2a2+3ab+b2)

=3a2—3ab+3b2-2a2—3ab-b2

=a2—Gab+2b2,

当七=l,a=-1时，原式=(-l)?-6x(—1)x1+2x1?=1+6+2=9,

(3)解：(b+a2)+Qb+嗯a)+(3b+去Q2)+…+(iob+烹a?)

11111

=(b+26+3bH---FlOd)+a2+a2--a2+-a2--a2H---F-a2--a2

乙乙Oyxw

=55"(2-如z

=55b+—a2；

io

当匕=1,Q=—1时，原式=55+总=56专

【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，正确的去括号与合并同类项是解题的关键.

【变式5-1](2023春•四川眉山•七年级统考期末)已知：A=a2-ab—3b2,B=2a2+ab—6b2.

(1)计算24-8的表达式;

(2)若代数式(2/+ax-y+6)-(2以2一3%+5y-1)的值与字母x的取值无关，求代数式24-B的值.

【答案】⑴-3ab

(2)9

【分析】（1）根据题意列出式子，再去括号合并同类项即可得到答案；

（2）先去括号，再合并同类项进行化简，再根据“代数式（2/+"一丫+6）-（2法2一3%+5），-1）的值与

字母工的取值无关”可求出a、b的值，从而得到答案.

［详解】（1）解:2A-B=2（a2-ab-3b2）—（2a2+ab-6Z>2）

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=2Q2-2ab-6b2-2a2-ab+6b2

=-3ab；

(2)解：(2x2+ax-y+6)—(2bx2—3x+5y-1)

=2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1

=(2-2b)x2+(a+3)x-6y+7,

,•,代数式(2/+Q%-y+6)-(2次2-3x+5y-1)的值与字母k的取值无关，

，2—2匕=0,Q+3=0,

二Q二-3,b=1,

二2A—B=-3ab=-3x(—3)x1=9.

【点睛】本题主要考查了整式的加减一去括号、合并同类项，整式的加减中的无关型问题，熟练掌握去括号、

合并同类项的法则是解题的关键.

【变式5-2](2023春•湖南永州•七年级统考期中)已知代数式A=3/-4%十2

⑴若8=x2-2x-1,

①求”28；

②当》二—2时，求4-2B的值；

(2)若8=Q/T—1(a为常数)，且人与8的和不含％2项，求整式4Q?+5a-2的值.

【答案】(I)①/+4：②8

⑵19

【分析】(1)根据整式的加减运算化简求值即可；

(2)根据整式的加减运算顺序即可求解；

(3)根据和中不含/项即是此项的系数为。即可求解.

【详解】(1)①力-2B=(3/-4x+2)-2(/-2x-1)

=3x2-4x+2-2x2+4x4-2

=/+4,

②由①知人-28=7+%

当％=—2时，A-2B=(-2)2+4=4+4=8：

⑵A=3x2-4x+2,B=ax2-x-1

4+8=(3x2-4x+2)+(ax2-x-1)

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=3x2-4x+2+ax2-x-1

=(34-a)x2—5x+1,

•・Y与8的和不含/项，

二3+a=0,

即a=—3,

:.4a2+5Q-2=4x(-3)2+5x(-3)-2

=4x9-15-2

=36-15-2

=19.

【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握多项式加减的运算法则，合并同类项的法则.

【变式5-3](2023春・湖南永州•七年级校考期中)若多项式2产-ax+3y-b+bM+2%-6y+5的值与

字母x无关，试求多项式“a?—2ab—b2)—(2a2—3ab+4b2)的值.

【答案】12

【分析】先将多项式进行合并，根据值与字母x无关，得到含x的项的系数均为0,求出。,匕的值，再去括号,

合并同类项进行多项式的化简，然后代值计算即可.

【详解】解：2/—QX+3y-力+b/+2%一6y+5=(2+8)X2+(2-Q)X-3y+5,

■:多项式2/一+3y-b+bx2+2x—6y+5的值与字母x无关，

2+ZJ=0»2—a=0,

解得b=-2,a=2；

/.6(a2—2ab—Z?2)—(2a2—3ab+4b2)

=6a2—12ab—6b2—2a2+Sab—4b2

=4a2—9ab—10b2

=4X22-9X2X(-2)-lOx(-2)2

=16+36-40

=12.

【点睛】本题考查整式加减中的无关型问题以及化简求值.解题的关键是熟练掌握整式加减的运算法则，正

确的进行计算.

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【题型6化简求值】

【例6】(2023春・甘肃定西•七年级校考期中)先化简，再求值：

(1)-6%+3(3/-1)—(9x2—x+3)»其中％=—

3

(2)3x2-[5x+Qx-y)+2x2J+2y,其中x=-2,y=

【答案】(l)—5x—6,—y

(2)X2-yX+3y,y

【分析】(1)原式去括号合并得到最简结果，把X的值代入计算却可求出值.

(2)原式去括号合并得到最简结果，把t与y的值代入计算即可求出值.

【详解】(1)解:原式=一6工+9/一3-9/+%-3

=-5%—6,

当《=一:时，原式=_5x(一，)-6=:

(2)原式=3x2-(5x+^x-y+2M)+2y

1

=3x27-5x--x+y-2x29+2y

乙

=2——11x+,3oy,

当x=-2,y=[时，

原式=(-2)2-yX(-2)+3W吟

【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【变式6-1](2023春・江苏徐州•七年级校考期中)⑴先化简，再求值3a2+2Qb-5a2+力2-2砧+3/,

其中Q=-1,b=1；

(2)先化简，再求值：4xy-[(x2-y2)-2(x2+3xy-^y2)],其中％=-2,y=p

【答案】(1)-2a2+4/)2,2：(2)10xy+x2,-6

【分析】Q)合并同类项化简后，再代入a、b的值进行计算即可；

(2)先去括号，再合并同类项，然后代入％、y的值进行计算即可.

【详解】解：(1)3a2+2ab-5c2+b2-2ab+3b2=-2a24-4b2,

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当a=-1,b=1时，原式二-2x(-1)2+4xI2=-2+4=2：

(2)4xy-[(x2-y2)-2(x24-3xy-1y2)]

=4xy—(x2—y2-2x2-6xy+y2)

=4xy—x2+y2+2x2+6xy—y2

=Wxy+x2,

当x=-2,y==时，原式=10x(-2)x：+(-2)2=-104-4=-6.

【点睛】本题主要考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握运算法则，准确进行计算，是解题的关键.

【变式6-2](2023春,黑龙江哈尔滨•六年级校考期中)先化简，再求值：4xy-2(x2+\xy-y2)4-2(x2+

3xy+1)-3,其中％=-2,y=

【答案】2y2+5盯一1,-y

【分析】根据整式的加减混合运算，代入求值即可求解.

【详解】解：4xy—2(x24-—y2)4-2(x2+3xy+1)—3

=4xy-2x2-2x|xy+2y2+2x2+2x3xy+2-3

=2y2+Sxy-1,

2

当x=-2,v=，时，原式=2y2+5xy-i=2xG)+5x(-2)x1=-?.

【点睛】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握其运算法则是解题的关键.

【变式6-31(2023春.河南漂河.七年级校考期末)先化简，再求值:2盯-[3(-|x2y+|xy)-(xy-3x2y)]+

2xy,其中x是一2的倒数，)，是最大的负整数.

【答案】2x2y+3xy,1

【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用倒数的性质及最大负整数为-1确定出％与y的值，代入计算即

可求出值.

【详解】解：2xy-[3(-g/y+-(%y-3/y)]+2xy

=2xy-(~5x2y+2xy-xy+3x2y)+2xy

=2xy+5x2y—2xy+xy—3x2y+2xy

=2x2y+3xy,

•••x是-2的倒数，y是最大的负整数，

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•**x=—1,y=—141

2)

2

则原式=2x(_Jx(-l)+3x(-1)x(-l)

=1.

【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，以及倒数，最大的负整数是-1,熟练掌握运算法则是解本题的

关键.

【题型7绝对值化简求值】

【例7】(2023春・河南南阳•七年级校考期末)若一3<%<2,化简：|x-2|+|x4-3|-|3x+9|-|4-2x|.

【答案】一％-8

【分析】由一3<%V2,可得2<0,x+3>0,3x4-9>0,4-2x>0,再化简绝对值，合并同类项

即可.

【详解】解：・・・一3VXV2,

.'•x-2<0,x+3>0,3%+9>0,4-2x>0,

/.|x-2|+|x+3|—|3x+9]—|4-2x\

=2-x+x+3-3x-9-4+2r

=-x-8.

【点睛】本题考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，熟练的化简绝对值是解本题的关犍.

【变式7-1](2023春.江苏泰州.七年级统考期末)如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点八、从C

把数轴分成①②③④四部分，点A、B、。对应的数分别是〃、氏c,且QbVO.

(1)原点在第部分(填序号)；

(2)化简式子:\a-b\-\c-a\-|«|；

(3)若|c-5|+(a+l)2=0,且BC=248,求点B表示的数.

【答案】⑴②

(2)。+b—c

⑶点8表示的数为1

【分析】(1)根据题意，结合数轴，得出aVO,b>0,再根据数轴，即可得出答案;

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(2)根据(1),可知aVO,b>0,进而得出c>0,再根据有理数的加减法，得出Q-bVO,c-a>0,

再根据绝对值的意义，化简即可：

(3)根据绝对值和平方的非负性，得出c-5=0,a+1=0,解出a、b的值，再根据数轴，得出5>b>-1,

再根据数轴上两点之间的距离，得出8c=5-b,AB=b-(-l)=b+l,再根据题意，得出关于b的方程,

解出即可得出点8表示的数.

【详解】(I)解：I•点A、B、C对应的数分别是a、b、c,且Qb<0,

Aa<0,b>0,

••・原点在点A和点8之间，

又「从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③®四部分，

・•・原点在第②部分；

故答案为：②

(2)解：Va<0,b>0,

-b<0,c>0,

C-Q>0,

\ci-b\—\c-a\—|a|

=b-a-(c-a')-(-a)

=b—a—c+a+a

=a+b—c；

(3)解：V|c-5|+(a+l)2=0,

又・"c-5|N0,(a+1)2>0,

/.c-5=0,a+l=0,

；・c=5,a=—1>

•・・8对应的数是45>b>-1,

：.BC=5-b,AB=b-(-l)=b+l,

又,：BC=2ABf

・・・5-b=2x(b+l),即3b=3,

解得：b=l,

・••点8表示的数为1.

【点睛】本题考查了数轴、绝对值的意义、绝对值和平方的非负性、整式的加减法、数轴上两点之间的距离,

第16页共24页

解本题的关键在充分利用数形结合思想解答.

【变式7-2](2023春,江西抚州•七年级统考期末)同学们都知道，|3-1|表示3与1的差的绝对值，可理解

为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|a+5卜也可理解为a与-5两数在数轴上所对应的两点

之间的距离.请完成：

(l)|x-6|可理解为与________在数轴上所对应的两点之间的距离；

(2)若反-21+1x4-41=8,则x=；

(3)已知a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示,化简：\a-h\+\c-b\+\a+c\+\b+c\.

III1r

c.h0a

【答案】(l)x,6

⑵-5或3

(3)-b-3c

【分析】(1)根据绝对值的性质求解即可；

(2)根据题意分工工-4,—4＜工〈2和》22三种情况，分别化简绝对值解方程求解即可；

(3)首先根据Q,b,c三个数在数轴上的位置判断绝对值内式子的正负，进而去掉绝对值，然后合并即可.

【详解】(1)忱-6|可理解为工与6在数轴上所对应的两点之间的距离，

故答案为：x,6.

(2)当xW—4时，

|x-2|+|x+4|=8

2-x-x-4=8,解得％=-5

当一4vxV2时，

|x-2|+|x+4|=8

2-x+x+4=8,即6H8,不符合题意，应舍去，

当2时，

|x-2|+|x+4|=8

x-2+x+4=8»解得x=3

综上所述，x的值为-5或3,

故答案为：-5或3.

(3)有a,b,c三个数在数轴上的位置可得,

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c<b<0<a,|c|>|a|,

/.a-b>0,c—b<0,Q+CVO,b+cVO

\a-b\+\c-b\\a+c\+\bc\

=a-b+b-c-a-c-b-c

=-b-3c.

【点睛】本题考查数轴、绝对值、解一元一次方程、合并同类项，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答

的关键.

【变式7-3]（2023春•湖北黄石•七年级统考期末）p、q、r、s是数轴上的四个数:若|p-r|=3,|p-s|=9,

则|r-s|的值为.

【答案】6或12/6或6

【分析】根据绝对值的性质，分别求出p-r和p-s的值，再进行运算即可.

【详解】解：V|p-r|=3,|p—5|=9»

p-r=3①或p-r=-3②，

p-s=9①或p-s=-9④，

①一③得：p-r-p+s=-r+s=-6，

即r—s=6,

，此时|r-s|=6：

①一④得：p-r-p+s=-r+s=12，

即r—s=-12,

・•・此时|r-s|=12：

②一③得：p—r—p+s=—r+s=-12,

即r—s=12,

・•・此时|r-s|=12；

②-④得：p-r-p+s=-r+s=6,

即r—s=-6>

，此时|r一s|=6：

综上分析可知，卜r-s|的值为6或12.

故答案为：6或12.

【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意进行分类讨论.

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【题型8非负性求值】

[例8](2023春•云南昆明•七年级昆明市第三中学校考期末)已知A=2a2+炉一5ab,B=a2-3ab+2,

⑴化简:A-28+4；

(2)若|a+2|+(b—I)2=0,求4-28+4的值.

【答案】(1)/+Qb；

(2)-1

【分析】(1)把人与8代入4—2B+4中，去括号合并即可得到结果；

(2)利用非负数的性质求出。与人的值，代入计算即可求出值.

【详解】(1);A=2次+-5口瓦8=a?—3ab+2,

：,A-2B+4

—(2a?+b?—5ab)—2(a7—3ab+2)+4

=2a2+b2-5ab-2a2+6ab-4+4

=b2+ab；

(2)V|a+2|>0,(b-l)2>0

又,；|a+2|+(b-l)2=O

/.a=-2,b=1

当a=-2,h=1,时，

原式=l2+(—2)x1=—1.

【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解本题的关键.

【变式8-1](2023春・辽宁阜新•七年级阜新实验中学校考期末)已知力=2x2+3xy-2x,B=x2-xy+y2.

(1)求24-4B,且当x,)，满足(工一1)2+"+2|=0时，求24-48的值；

(2)若24-4B的值与x的取值无关，求.y的值.

【答案】(l)10xy—4x-4y2,-40

2

(2)y=-

【分析】(1)先直接把A,8代入代入计算即可求出2A-48,再根据非负性求出4、y的值，再代入计算即

可；

(2)直接将10盯-4x-4y2转化为(ioy_4)x-4y2计算即可.

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［详解】(1)解：A=2x2+3xy-2x,B=x2-xy+y2,

，24-48

22

=2(2/+3Xy-2x)-4(x-xy+y)

=4x2+6xy—4x—4x2+4xy—4y2

=lOxy-4x-4y2,

V(x-l)2+|y+2|=0,

x-1=0且y+2=0,

:.x=1,且y=-2,

把x=l,且y=-2代入，

原式=10x1x(-2)-4xl-4x(-27

=-40：

(2)解：・・・2/4-40的值与,v的取值无关，

:.2A—4B=10xy—4x—4y2

=(10y-4)x-4y2,

AlOy-4=0,

【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【变式8-2](2023春•湖北咸宁•七年级统考期中)若反+y+3|+(秒-2)2=0,则(4x-2rj+3)-(2。

-4y+l)的值为.

【答案】78

【分析】根据非负数的性质求出x+y=-3,盯=2,然后去括号、合并同类项，将式子变形后整体代入计算

即可.

【详解】解：由|无+y+3|+(xy-2/=0得：x+y+3=0,入y-2=0,

.*.x+y=_3»xy=2,

:.(4%—2xy+3)—(2xy-4y+1)

=4x—2xy+3-2xy+4y—1

=4(%+y)—4xy+2

=4x(-3)-4x2+2

12-8+2

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=-18.

故答案为:-18.

【点睛】本题考查了非负数的性质，整式的化简求值，利用非负数的和为零得出x+y,肛的值是解题关键.

22

【变式8-3](2023春•甘肃天水•七年级校考期末)先化简再求值:5ab2一{2。2b_3[ab2_2^ab+ad)]},

其中Q,b满足|a+l|+(b-27=0.

【答案】一4ab2-8a20，o

【分析】先去括号，合并同类项，得到化简的结果，再利用非负数的性质求解小的值，再代入计算即可.

【详解】解:Sab2-{2a2b-3[ah2-2(2ab2+a2b)]}

=5ab2—[2a2b—3(ab2—4ab2—2a2d)]

=Sab2—[2a2b—3(—3ab2—2a2b)]

=Sab2—(2a2b+9ab2+6a2b)

-5ab2-(Qa?b+9ab2)

=5ab2_8a2b_9ab2

=-4a/?2—8a2bi

V|a+l|+(b-2)2=0,

G+1=0,b—2=0,

解得:a=-1,b=2,

，原式=-4x(-1)x22-8x(-1)2x2

=16—16

=0.

【点睛】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，熟练的掌握去括号，合并同类项是解本题的关键.

【题型9新定义求值】

【例9】(2023春・广东河源•七年级统考期末)定义一种新运算：对任意有理数a,b都有Q㊉b=a-2b,例

如：2㊉3=2-2x3=-4.

(1)求一3㊉2的值；

(2)先化简，再求值：(3-2y)㊉(x+2y),其中％=-1,y=2.

【答案】(1)一7

(2)-x—6y,—11

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【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；

(2)已知等式利用题中的新定义化简，再求出x,)，，然后代入计算即可.

【详解】(1)ab=a—2b,

，一3㊉2=-3-2x2=-3-4=-7；

(2