专题12 导数及其应用-2023年高考数学真题题源解密（全国卷）（解析版）

2023年高考数学真题题源解密（全国卷）

专题12导数及其应用

目录一览

①2023真题展现

考向一导数与切线问题

考向二导数与函数单调性

考向三导数与函数的极值、最值

考向四利用导数证明不等式

②真题考查解读

③近年真题对比

考向一导数与函数的极值、最值

考向二导数与函数单调性与切线问题

考向三导数与函数的零点

考向四利用导数证明不等式

④命题规律解密

⑤名校模拟探源

⑥易错易混速记

1023年真题展观

考向一导数与切线问题

一、单选题

x/\

1.（2023•全国甲卷文数第8题）曲线-在点1,：处的切线方程为（）

x+1I2）

A.%B.y=yC.N弋喈D.-管+养

【答案】C

【详解】设曲线y=£•在点处的切线方程为=

x+1I“2

因为一

所以4=

所以％=/0=5所以歹一5="("一)

所以曲线歹二工在点1151处的切线方程为y=故选：C

x+1I2J44

考向二导数与函数单调性

一、解答题

1.(2023•全国乙卷文数第20题)已知函数/(x)=(/+a)ln(l+x).

⑴当。=—1时，求曲线y=/(x)在点(IJ(x))处的切线方程.

(2)若函数“X)在(0,+“)单调递增，求。的取值范围.

【答案】(l)(ln2)x+y-ln2=0；

(2)-«|a>|­

【详解】(1)当〃=7时，/3=住一1]岫+1)(0-1),

1X/

1A1

贝―卜1n(x+l)+一一1x

，\xJx+\

据此可得/(l)=0,/'(l)=-ln2,

所以函数在(1J⑴)处的切线方程为y-0=-ln2(Al),即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)由函数的解析式可得/'")=’丹心+1)+[*｝匕

满足题意时/'(X)20在区间(。,+8)上恒成立.

令(一一Vln(x+l)+^—4-tj—!-y>0,贝(j-(x+l)ln(x+l)+(x+QX，20,

4-g(x)=ax2+x-(x+l)ln(x+l),原问题等价于g(x)20在区间(0,+8)上恒成立,

则，(力=2奴-1"》+1),

当三0时，由于2G«0,ln(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在区间(0,+向上单调递减,

此时g(x)<g(O)=O,不合题意；

令人(工)=g'(H=2分-In(x+1),则(x)=2a——,

当“之工，时，由于」一<1,所以a'(x)>OJ?(x)在区间(0,+切上单调递增，

即g'(x)在区间(0,+为上单调递增，

所以g")>g'(O)=O,g(x)在区间(。,+8)上单调递增，g(x)>g(O)=O,满足题意.

当0<〃<,时，由l(x)=2a--L=o可得x=_L-i,

2x+1la

当时，〃(x)<O,g)在区间。.1)上单调递减，即g")单调递减，

注意到g'(0)=0,故当"时，g'(x)<g'(O)=O,g。)单调递减,

由于g(O)=O,故当时，g(x)<g(O)=O,不合题意.

综上可知：实数。得取值范围是卜

考向三导数与函数的极值、最值

一、解答题

1.(2023•全国乙卷理数第21题〕已知函数/(x)=(g+a)n(l+x).

⑴当。=-1时，求曲线y=/W在点(1J(1))处的切线方程；

(2)是否存在4,4使得曲线y=关于直线X=b对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明理由.

⑶若/(X)在(0,+8)存在极值，求a的取值范围.

【答案】(l)(ln2)x+y-ln2=0；

(2)存在。=g,b=-；满足题意，理由见解析.

⑶(*)♦

【详解】(1)当。=一1时，=+

IX

\(\\1

贝ljr(x)=_-yxln(x+l)+——1x―

X)X•1

据此可得/⑴=0J(l)=Tn2,

函数在(1J⑴)处的切线方程为尸0=-ln2(x-l),

gp(ln2)x+^-ln2=0.

(2)由函数的解析式可得/6)=(》+。)始6+1),

111

函数的定义域满足上+1=r>0,即函数的定义域为(F,-l)u(0,+oo),

XX

定义域关于直线丫=-?对称，由题意可得力=-?，

22

1

由对称性可知./--+W

取〃可得/{)=/(—2),

即(a+l)ln2=(a-2)ln，,则a+l=2-a,解得〃=

22

经检验4=^力=一；满足题意，故

即存在。=《,6=满足题意■

(3)由函数的解析式可得=n(x+l)+(*］鼻，

由“力在区间(0,+8)存在极值点，则/'(%)在区间(0,+4上存在变号零点;

贝!]-(x+1)In(x+1)+(x+尔)=0,

令g(x)=&/+x-(x+1)1n(r+1),

/⑴在区间(0,+功存在极值点，等价于g(x)在区间(0,+纥)上存在变号零点，

g'(x)=2ax-ln(x+l),g*(r)=2a--

当。40时,g'(x)<0,g(x)在区间(。,+8)上单调递减,

此时g(x)vg(0)=0,g(x)在区间(0,+8)上无零点,不合题意；

当时，由于一二<1,所以g"(x)>0,g'(x)在区间(0,+。)上单调递增,

2x+1

所以g'(x)>g'(O)=O,g(')在区间(。，+8)上单调递增，g(x)>g(0)=0,

所以g")在区间(。,+8)上无零点，不符合题意；

当0<a<g时，由g"(x)=2"1=0可得x=导1,

x-t-l

当日。，彳।时，小)＜。，g'(x)单调递减,

I.

当五5时，g"(x)＞0,g'(x)单调递增,

故g'(x)的最小值为gj7--1|=l-2tz+ln2f/,

12a)

令阳(x)=l-x+lnx(O<x〈l),则〃«x)=-'+1>0,

函数〃?(x)在定义域内单调递增，，〃(力<巩1)=0,

据此可得1-x+Inx<0恒成立，

贝!)-1)=l-2a+ln2a<0f

2

令A(x)=Inx-x+x(x>0),贝！]/j(A)-:2x+x+l

当ze(O,l)时,〃(x)>(M?(x)单调递增，

当1£(1,+8)时，〃(X)<O,//(X)单调递减，

故也)"⑴=0，BPlnx<x2-x(取等条件为x=l),

所以g'(x)=2tzx_ln(x+l)>2ax-+-(x+l)J=2ar-(x2+x),

/(2。-1)>2。(2。-1)—[(2。-1『+(2。-1)]=0,且注意到*'(0)=0,

根据零点存在性定理可知:g'(x)在区间(0,+8)上存在唯一零点.%.

当1£(0,/)时，g'(x)<0,g(x)单调减，

当1«%,长0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(Xo)<g(O)=。.

令Mx)=lnx一五，则=2；五,

则函数〃(x)=lnx-&在(0.4)上单调递增，在(4,a)上单调递减,

所以〃(x)《〃(4)=ln4-2v0,所以lnx＜石,

所以匚4兽-2a+I

—+1-In

a-J14-1

所以函数g(x)在区间(o,+8)上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数。得取值范围是卜,；'

考向四利用导数证明不等式

一、解答题

1.(2023•全国甲卷文数笫20题)已知函数/(')=&"当0,三

COSX\

(1)当。=1时，讨论/(X)的单调性;

(2)若/(x)+sinx<0,求〃的取值范围.

【答案】(l)/(x)在(。仁)上单调递减

(2)tf<0

【详解】⑴因为。=1,所以〃x)=x-'用0,三

cosX\乙/

cosxcos2x-2cosx(-sinx)>inxcos2x+2sin2x

则:

cos'x

8s3x-cos」x-20-cos[x)版x+cos』x-2

cos3xcos3X

/\

令r=cosx,由于xe0,—,所以/=cosxe(0』)，

k2)

3232222

所以coTT+COYr-2=/+/_2=/_/+2/-2=/(/-1)+2(/+1)(/-1)=(/+2/+2)(/-1),

因为J+2z+2=〃+iy+l>0,r-l<0,cos3x=r3>0,

2

所以r^)=cos\v+cos.Y-2<0在jo,外上恒成立，

COSXl乙)

所以〃X)在(o,9上单调递减.

(2)法一:

构建g(x)=f(x)+sinx=ar-二?―sinx

COSX2J

1+sin2x

贝！lg，(x)=a------r——+COST0<A<

cosx

若g(x)=/(x)+sinxvO,且g(0)=/(0)+sin0=0,

贝心'(0)=。-1+1=心0,解得a«0,

当a=0时，因为sinx-sinx-sinx1-----L-,

cosxIcos-xJ

又工€。，三],所以0<sinx<l,0<cosx<1,则一^―>1,

k2Jcos'x

所以/(x)+sinx=sinx-墨＜。，满足题意;

当”0时，由于()<x<3显然GX<0,

所以/(x)+sinx=av--S'n?-+sinx<sinx--S'n?-<0,满足题意;

cos-xcos*x

综上所述：若/(x)+sinx<0,等价于。《0,

所以〃的取值范围为(-8,0].

法二：

出电.sinxsinxcos2x-sinxsinx(cos~x-1)sin'x

囚为sinx--------=-------------；-----------=----------；-------L=---------，

cos’xcos-xcos-xcos'x

因为所以0<sinx<l,0<cosx<1,

故而x-2竽<0在j0,f上恒成立，

cos*x\

所以当4=0时，/'(x)+sinx=sinx—^<0,满足题意；

COS'X

当a<0时，由于()<x<B，显然GX<0，

所以/(x)+sinx=at--吧?-+sinx<sinx-3？-<。，满足题意;

cosxcos'x

当a>0时，因为/"(xl+sinx=ax--‘由,七+sinx=ax.X,

cos~xcos'x

人/、sin3x(兀m.i、3sin2xcos2x+2sin

令g(x)=ar--------.0<x<—，贝

八)cos2xt2,Jg(x)=a------------------------------

口二m，/八'3sin20cos20+2sin40

注意到g(0)=〃-------------------；--------------=tz>A0,

cos0

若V0<x<5,g'(x)>0,贝IJg(x)在(0，｛|上单调递增，

注意到g(O)=O,所以g(x)>g(O)=。，即/(x)+sinx>0,不满足题意；

若四</<5，((/)<0,贝！Jg'(0)g'(x())<0,

所以在(。马上最靠近x=0处必存在零点用《呜)，使得g'G)=0，

此时g'(x)在(0,司)上有g'(x)>0,所以g(M在(0,再)上单调递增，

则在(0,内)上有g(x)>g⑼=0,即/(x)+sinx>0,不满足题意；综上：«<0.

2.(2。23・全国甲卷理数第21题)已知函数小)=『黑，7。制

(1)当a=8时，讨论/*)的单调性；

⑵若/(x)<sin2x恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析.

(2)(-00,3]

■*皿▼J、X,、cosxcos3.r+3sinxcos2xsinx

［详解］⑴f(x)=a----------------------------

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a--------4-----=a-------4---

COSXCOSX

令cos2x=t，则1€(。」)

Ki.1、3—2t+2i—3

贝UfMx=g(。=Q_-p—=——p----

当父匕、“八8J+2/-3(2/-1)(4/+3)

当a=8,/(x)=g(t)=----；----=------、--

「r

当，即(%)＜。.

当d别，即川。制/。)>。.

所以/(X)在上单调递增，在3上单调递减

(2)设g(x)=/(x)—sin2x

g(x)=f(x)-2cos2x=g(r)-2(2cosx-j)+,--一2(2，-1)=a+2—4/」—1设

(p(t)=a+2-4i+-----

，八426-4/*123-2/+62。-1)(2尸+2什3)

9。)=-4-产+7=——-----=---------0n

所以*)<。⑴=4-3.

f€(-00,3],g\x)=(p(t)<a-3<0

即g(x)在(0,上单调递减，所以g(x)<g(0)=0.

所以当ae(-oo,3],/(x)<sin2x，符合题意.

2若aw(3,+oo)

当/->0,[一椅=-3(:一+，-8，所以即)—

9⑴=-3>0.

所以天€。1),使得。亿)=0,即*40卷),使得以*=0.

当年&,1)，8。)>0,即当xe(0,%),g(x)>0,g(x)单调递增.

所以当xG(O,xo),g(x)>g(0)=0,不合题意.综上的取值范围为(f,3].

真题考查解读

5=========^=^=====£

【命题意图】

1.导数概念及其几何意义

（1）了解导数概念的实际背景.

（2）理解导数的几何意义.

2.导数在研究函数中的应用

（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函

数一般不超过三次）.

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函

数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

3.生活中的优化问题

会利用导数解决某些实际问题.

【考查要点】

（1）利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度不定，题目

可能为简单题，也可能为难题，题型为选择题、填空题或解答题。

（2）导数综合应用的命题方面，理科仍将以选择、填空压轴题或解答题压轴题形式考查不等式恒（能）成

立问题与探索性问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解问题，重点考查分类整合思想、

分析解决问题的能力。文科仍将以解答题压轴题形式考查零点、极值、最值，简单不等式恒（能）成立问

题与探索性问题、利用导数解证与不等式有关的问题，一般难度不会太高。

【得分要点】

高频考点：含参函数的参数对函数性质的影响；用导数研究函数的单调性、极值或最值；导数的几何意义,

求曲线切线的方程；函数的零点讨论；函数的图像与函数的奇偶性。

中频考点：用函数的单调性比较大小；利用函数证明不等式或求不等式的解；求参数的取值范围；函数模

型的应用。

近年真题对比

考向一导数与函数的极值、最值

一、单选题

1.（2022•全国乙卷文数第11题）函数〃x）=cosx+（x+l）sinx+l在区间［0,2对的最小值、最大值分别为

)

n7C3兀n八兀兀C3兀兀c

A.—B.C.——+2D.——，一+2

22万'52222

【答案】D

【详解】=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以73在区间唱和住,2兀［上/小）》（）,即仆）单调递增;

在区间惇到上/㈤<0,即/（x）单调递减，

又“0)=/(2兀)=2,/0W+2

所以/（%）在区间［0,2可上的最小值为-g,最大值为5+2.故选：D

2.（2022•全国甲卷文数第8题/理数第6题）当x=l时，函数/（x）=alnx+2取得最大值一2,则八2）=（）

X

A.-1B.-!C.vD.1

22

【答案】B

【详解】因为函数/⑺定义域为（（）,+8）,所以依题可知，/（i）=-2,r（i）=（）,而广⑴竹一卷，所以

b=-2,a-b=0f即。=-21=-2,所以/（。=一2+彳，因此函数“X）在（0,1）上递增，在（1、位）上递减,

XX

x=l时取最大值.满足题意.即有r（2）=-l+；=-g.故选：B.

3.(2021•全国甲卷文数第12题/理数第10题)设。/0,若x=a为函数/(x)=4x-a)2(x-6)的极大值点,

贝IJ()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【详解】若。=b,则/(x)=a(x-。丫为单调函数，无极值点，不符合题意，故/h.

・・J(x)有x和x=/>两个不同零点，且在工=。左右附近是不变号，在工=/>左右附近是变号的.依题意，

X为函数/(X)=«(K力次力)的极大值点，.•.在x=a左右附近都是小于零的.

当*0时，由/(x)<0,画出/(x)的图象如下图所示：

由图可知力<。，a<0f故ab〉/.

由图可知〃>。，。>0,故ab>/.综上所述，而〉。。成立.故选：D

二、填空题

4.(2022•全国乙卷理数第16题)已知工二*和x=£分别是函数/(x)=21-e/(〃>0且"1)的极小值

点和极大值点.若王<々，则。的取值范围是.

【答案】

【详解】［方法一］:【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为/”(x)=2ln4"-2ex,所以方程-2ex=0的两个根为王，

即方程Ina”/=ex的两个根为为，跖，

即函数y=1na•优与函数V-ex的图象有两个不同的交点，

因为芭田分别是函数/(x)=2优-e/的极小值点和极大值点，

所以函数/(X)在(-00,西)和(々，包)上递减，在(西,工2)上递增，

所以当时(70,演)(孙+00),r(x)<0,即尸ex图象在y=lna优上方

当1«不多)时，/小)〉0,即7="图象在歹=足外/下方

图象显然不符合题意，所以0<。<1.

2

令g(x)=In”a',则g<x)=In«-«',()<a<\t

设过原点且与函数V=g(x)的图象相切的直线的切点为(%,Ine*),

则切线的斜率为g'(.%)=In'a.*,故切线方程为y-lna-a'。=In%.a”(x-x0),

则有-Ino*=-Xoln"*,解得/=白，则切线的斜率为l/q.a+ueln)，

综上所述，。的取值范围为

［方法二卜【通性通法】构造新函数，二次求导

/'(x)=21na4-2ex=0的两个根为王应

因为为,占分别是函数/(x)=2/的极小值点和极大值点，

所以函数/(X)在(70,%)和(卬+④)上递减，在(再，%)上递增，

设函数g(x)=/'(x)=2(aIna-ex),则g*(x)=2/(lna『-2e,

若a>l,则g'(x)在R上单调递增,此时若g'(%)=。，则/'(x)在

(-8,x0)上单调递减，在(%,一)上单调递增，此时若有x=$和》=/分别是函数

/(x)=2a'-Q2(a>o且。工1)的极小值点和极大值点，则凡>七，不符合题意；

若。<a<l,则g'(x)在R上单调递减，此时若g'(.%)=0,则/'(x)在(—,/)上单调递增，在(%,+8)上单

调递减，令g'(x0)=O,贝1产=不不，此时若有》=演和x=%分别是函数/(x)=2a且。工1)的

I"W

x

极小值点和极大值点，且须<*2，则需满足/伍)>0,f\x^=2[a''\na-ex(^2^--ex()>0,即

故lna"=xjna=ln7r^>1,所以

\na(Ina)e

考向二导数与函数单调性与切线问题

一、解答题

1.(2022•全国甲卷文数第20题)已知函数/(x)=/-x,g(.i)=/+a,曲线y=/(x)在点(阳,〃为))处的切

线也是曲线y=g(x)的切线.

(1)若须=-1,求a；

(2)求a的取值范围.

【答案】⑴3

⑵卜1，+8)

【详解】(1)由题意知，/(-1)=-1-(-1)=0,/(X)=3X2-1,r(-l)=3-l=2,则y=/(x)在点(一1,0)处

的切线方程为y=2(x+l),

即y=2x+2,设该切线与g(x)切于点伍应区))，g'(x)=2x,贝|"(七)=2%2=2,解得％=1，则

g(D=l+a=2+2,解得a=3；

(2),r(x)=3x2-i,则y=/a)在点a/a))处的切线方程为了一(年一%)=(3<—1)(工一刈，整理得

y=(3x；_l)x_2x：,

设该切线与g(x)切于点(X2，g(七)),g'(x)=2x,则/6)=24，则切线方程为歹-(石+。)=29。72)，整理

得y=2X2X-x}+at

93]1

令h(x)=-x4-2A?一一x2+—，贝!1"(x)=9d-6x2-3x=3x(3x+l)(x—1),令〃'(x)>0,解得一一<tv0或x>1,

4243

令*3<0,解得工<-!或0<x<l,则x变化时，心幻」心)的变化情况如下表：

1卜则

X0(0/)1(1收)

43J3

"(I)—0+0一0+

51

力（X）/-1/

274

则Mx）的值域为卜1，+8）,故。的取值范围为［7,+8）.

2.（2021•全国乙卷文数第21题）已知函数/（x）=x3-/+ax+i.

（1）讨论〃x）的单调性;

（2）求曲线），=/（%）过坐标原点的切线与曲线），=/（%）的公共点的坐标.

【答案】（1）答案见解析；（2）（［"+1）和（―1，一1一。）.

，2

【详解】（1）由函数的解析式可得：f（x）=3x-2x+at

导函数的判别式A=4-12。，

当A=4-12。石0,。2：时，/'（X）20,/（x）在R上单调递增，

当A■4-12。＞0,。＜g时，/。的解为：X］=--3",x?J+个

当-8,匕牛兔）时，灯单调递增；

当IC匕半电匕与电时，单调递减；

XZ

当了'上哼豆,+8）时，r（x）＞o./（x）单调递增；

综上可得：当时，/（X）在R上单调递增，

、i,I"./1—\/\-3a11+J1-3a.

当时，仆）在---------J,---------收J上

单调递增，在上咛红,匕牛至上单调递减.

(2)由题意可得：/(%)=£-片+5+1,r(Xo)=3x；-2.%+a,

则切线方程为：、一(£7；+a%+1)=(3x：-2/+〃)(x—Xo),

切线过坐标原点，贝I：0-(£—x：+a%+l)=(3x：—2.%+a)(0—M),

整理可得：2片一片-1=0,即：(xo-l)(2x-+xo+l)=O,

解得：勺=1，则=+/'3°)=/(1)=1+4

切线方程为；＞•=(«+1)%,

与/(i)x-A+a\+I联立得X,-X?+QX+1=(a+W,

化简得/---«+1=(),由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，.•.(x-1)是"3一/一》+[的一个因式,

・••该方程可以分解因式为(X-。卜2-1)=0,

解得玉=也=一1,/(-1)=一1一%

综上，曲线]•=/("过坐标原点的切线与曲线]一/(V)的公共点的坐标为(1,4+1)和

3.(2021•全国甲卷文数第20题)设函数/(x)=/r2+a.3lnx+l,其中。>0.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若尸=/(、)的图象与％轴没有公共点，求l的取值范围.

【答案】⑴/(x)的减区间为叫，增区间为弓,+斗⑵*•

【详解】(1)函数的定义域为(。,也)，

又小)=(2空+力纥

x

因为。>0,x>0,故2QX+3>0,

当0<xv，时，f\x)<0,当x>，时，f\x)>0；

aa

所以〃x)的减区间为(o[),增区间为(5+8).

(2)因为〃1)=/+。+1>。且y=/(x)的图与x轴没有公共点，

所以，=/(%)的图象在x轴的上方，

由(1)中函数的单调性可得/(x)mm=/[[J=3-3ln£=3+31na,故3+31na>0即。

考向三导数与函数的零点

一、解答题

1.(2022•全国乙卷文数第20题)已知函数/(x)=at-1-(a+l)lnx.

x

(1)当4=0时，求/(幻的最大值；

(2)若〃x)恰有一个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)-1

(2)(0,+oo)

【详解】(1)当a=0时，/(x)=---lnx,x>0,则/”(力=4-1=1，

AXXX

当ic(O,l)时，/心)>0,/(x)单调递增；

当不«1,2)时,/\x)<0,/(X)单调递减；

所以《)四=/(1)=一1；

(2)f(x)=ax---(a+l)lnx^r>0,则(x)=J+-V—竺L("I)。”,

xxxx~

当aWO时，av-l<0,所以当x«O,l)时，/小)>0,/(x)单调递增；

当x«l,+oo)时,r(x)<0,/(x)单调递减；

所以/(x)a=〃l)=aT<。，此时函数无零点，不合题意；

当时，^>1,在(0/),(：+8|上，/小)>0,/(x)单调递增；

在(1,£|上，/'(x)<0,/(x)单调递减；

又“1)=。-1<0,

由(1)^—+Inx>1,即In2之1一工，所以lnx<x』n\/7<\/7,lnr<2\/^,

xx

当I>1时，/(x)=ax----(a+l)lnx>ax-----2(。+1)4>ax-(2。+3)4,

xx

(3

则存在〃?=-+2使得小）>0,

7a

所以仅在伯，田］有唯一零点，符合题意；

当。=1时，/3=9或之0,所以/(X)单调递增，又/⑴=。-1=0,

所以有唯一零点，符合题意；

0,5),(1,+%上，/小)〉0,/(X)单调递增;

当a>l时，-<1,在

在gi)上，/'3<o,/(%)单调递减；此时/6="i>o,

由（1）得当0<x<l时，\nx>\--In\fx>1,所以Inx>21-,

X

<」+中,

Xyjx

存在〃=就g使得…，

所以/(X)在(o,3有一个零点，在无零点，

所以fW有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为(0,+8).

2.(2022•全国乙卷理数第21题)已知函数/(x)=ln(l+x)+©eT

⑴当〃=1时，求曲线)，=/(、)在点(oj(o))处的切线方程；

⑵若/(、)在区间(-1,0),(o,y)各恰有一个零点，求〃的取值范围.

【答案】(i)y=2x

(2)(-00,-1)

【详解】(1)/⑶的定义域为

当a=1时J(x)=ln(l+x)+三,/(0)=0，所以切点为(0,0)f(x)=J-+二£J(0)=2，所以切线斜率为2

e1+xe

所以曲线V=在点(0,/(0))处的切线方程为y=2x

ax

(2)/(x)=ln(l+x)+—

e

/(x)=_L+3j+a(—2)

1+xcx(l+x)cT

设g(x)=e'+a(l-/)

「若。>0,当xw(-L0),g(x)=er+«(1-^)>(),即f\x)>0

所以f(x)在(-1,0)上单调递增JQ)</(0)=0

故在(-1,0)上没有零点，不合题意

2若一1KaK(),当xw(0,+8)，贝g(x)=ev-2ar>0

所以g(x)在(0,zo)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+心0,即f\x)>0

所以/(x)在(0,+oo)上单调递增J(x)>/(0)=0

故fx()在(0,+oo)上没有零点，不合题意

3°若a〈T

⑴当xe(0,十8)，则g'(x)=cx-2ax〉0,所以g(x)在(0,+oo)上单调递增

g(0)=I+a<O,g(l)=e>0

所以存在mG(0,1)，使得g(M=0，即f\m)=0

当iw(O,m),/'(x)<O,/(x)单调递减

当Iw(zw,+oo),/(x)>0J(x)单调递增

所以

当iw(0,m),/(x)</(O)=0,

YI—Y

令h(x)二丁,工>一1,贝lj/«x)=—>-l,

ee

所以〃(X)=。在(fl)上单调递增，在(L+8)上单调递减，所以力(X)~(1)=L

ee

又「乙>0,/(£一1卜2+d=o,

所以/a)在("X)上有唯一零点

又(0,加)没有零点，即/(X)在(0,4-00)上有唯一零点

(2)当xe(T,0),g(x)=e'+a(1-x2)

设恤)=g(x)=e'-20r

h(x)=ex-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)单调递增

g(-l)=1+2"0,g'(0)=l>0

e

所以存在〃e(TO),使得g'(〃)=0

当ie(-1,»),g(x)<0,g(x)单调递减

当Kw(/i,O),g'(x)>O,g(x)单调递增,g(x)<g(0)=1+4<0

又g(-l)」>0

e

所以存在/w(-1,〃),使得g«)=o,即/'⑺=o

当xe(-i,z),/(x)单调递增，当x€(/,0),/(x)单调递减，

当1€(-1,0),/z(x)>/?(-l)=-e,

又-Ive，—1<0,f(eCK-])<ae-ae=O

而/(0)=0,所以当xw(z,O),/(x)>0

所以/a)在(-匕)上有唯一零点,(』，。)上无零点

即/(x)在(-1,0)上有唯一零点

所以。<-1,符合题意

所以若在区间(T,()),(0,+W各恰有一个零点，求。的取值范围为

3.(2022•全国甲卷理数第21题)已知函数/(x)=《-lnx+x-a.

X

⑴若〃x)20,求a的取值范围；

(2)证明：若/")有两个零点不与，贝IJ中2<L

【答案】(1)(—*e+l］

(2)证明见的解析

【详解】(1)［方法一］:常规求导

/⑶的定义域为(0,+W,则

令r(x)=0,得X=1

当—o,i),/a)<o,/(x)单调递减

当Ie(l,+8"(x)>0J(x)单调递增/(x)>/(I)=e+l-a,

若f(x)NO,则e+l-a20,即aWe+1

所以。的取值范围为(fo,e+l］

［方法二I：同构处理

由/㈤N0得:e-M'+'+x-lnx-GNO

令,=x-lnx,/2l,则/”)="+/_420即4«3+/

令g(/)=d+/,/eL,则g()=d+l>0

故g(1)=e'+，在区间［1,+8)上是增函数

故g(/)min=g0)=e+l，即aVe+1

所以4的取值范围为(-8,。+1］

(2)［方法一］:构造函数

由题知J(x)一个零点小于1,一个零点大于1,不妨设玉<1<々

要证》丙<1,即证$<—

X2

11\

因为(0,1),即证/(6)>/-L

X2yX2j

又因为/(司)=/伍),故只需证/

\X2

即证---lnx+x-xex-In.r--->0,XG(l,+OO)

XX

即证-2lnx-；(x-L)

>0

x2

下面证明x>l时，---xex>0,linx--x--|<0

X2(x)

、ex-

设g(x)=---xe\x>\

Xf

<iif,n7.

贝！|g'(x)=-——=-1---ex-ex\1—

<xJ)x\X)I

(.1/x-\(ex-、

=1----ex=---------e1

VXj{XJX(x

设9(x)=J(x>l),"(x)=pi

所以。(x)>8⑴=e,而，<c

所以史-e：>0,所以g'(x)>()

X

所以g(x)在(l,y)单调递增

即g(x)〉g(l)=0,所以0

X

1(IA

令力(x)=lnx—x—,x>1

2(x)

2

皿、iiriA2X-X-\=zMi<0

/«)=1+=…

x21x2)2x2x2

所以〃(x)在(1,+8)单调递减

即A(x)<〃⑴=0,所以lnx-；(x4)<o；

…e、-^F,\(1)>0,所以和〈1.

综上，——xex-2Inx--x--

x21x

［方法二卜对数平均不等式

由题意得：=J+ln^—a

xx

令％=幺>1,贝！]/(z)=/+ln-a,/,(r)=l+->0

xt

所以g(，)=iln-〃在(1,内)上单调递增，故g(/)=0只有1个解

ex'_*

又因为/(x)=J+ln*^—〃有两个零点工”%2，故，=•---

XX

两边取对数得：*-lnX|=々-ln£,即一—=1

in步X1—：in2

又因为向三：一(*),故斥'<1,即卬：2<1

lil工1111X、

下证国<卡>(*)

In玉-Inx2

因为嘉申<、一:_In.^-\nx2<QIn.匚b"

Inx,-Inx,Jgx,yjx.Vvi

不妨设£=鸟>1,则只需证2hn<一：

i71f]\2

构造〃⑺=21nf—+：,/>1,贝必(/)二一一1--^=-1--<0

故W)=2lnfT+：在(1,讨)上单调递减，故，()<碍)=0,即21n/<一；得证

a

4.(2021•全国甲卷理数第21题)已知。>0且。工1,函数f(x)=—r(x>0).

a'

(1)当。=2时，求/(x)的单调区间;

(2)若曲线J，=/(x)与直线丁=1有且仅有两个交点，求”的取值范围.

【答案】(1)(0,2-上单调递墙2

---,-K»上单调递减；(2)(l,e)U(e,y).

ln2

X2犬・2,-.，2心2r2'(2-xln2)

【详解】(1)当4=2时，八x)=^7，/'(x)=

4'

令，(x)=。得％，当0<xv二时，川x)>(),当x>=时，/'(x)<0,

In2In2In2

(22、

・・・函数/")在0,—上单调递增;卮可上单调递减;

InZ

(2)［方法一|【最优解】：分离参数

/(x)=J=1o"=/<=>xlna=a\nx上设函数g(1)=M

xax

则g'(x)J[尸，令g'(x)=0，得x=e,

在(O,e)内g'(x)>0,g(x)单调递增;

在(e,y)上g[x)<0,g(x)单调递减;

「g(x)2=g(0)=3,

又g⑴=0,当x趋近于+<»时，g(x)趋近于0,

所以曲线y=/(x)与直线y=i有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线歹二笞有两个交点的充分必要条

件是0<吆」,这即是o<g(〃)<g(e),

ae

所以。的取值范围是(l,e)U(e,y).

［方法二］:构造差函数

由y=/(x)与直线j，=l有且仅有两个交点知〃x)=l,即£=优在区间(0,+8)内有两个解，取对数得方程

alnx=xlna在区间(0、+8)内有两个解.

构造函数g(x)=a\nx-xIna,xe(0,+oo),求导数得g<(.v)=--\na="一”"".

当时，lna<0,x£(0,+cQ)M-xIn4〉0,g(x)〉0,g(x)在区间(。,+8)内单调递增，所以，g(x)在(0,+8)

内最多只有一个零点，不符合题意；

当时，lna>0,令g'(x)=。得工=二，当时，g'(x)>0；当工£(二,+«)］时，g\x)<0；

InaI\naJ<lnaJ

所以，函数g(x)的递增区间为递减区间为(/,一、.

kinaJ(InaJ

_£