中考数学模拟题《图形的相似》专项练习及答案解析

中考数学模拟题汇总《图形的相似》专项练习及答案解析

一、综合题

1.如图，在菱形ABCD中，延长力8到瓦延长AD到凡使8E=DF,连接EF,连接AC并延长

交EF于点G.

(1)求证：AG1EF；

(2)连接80交4C于。，过8作BMLEF于点机若8。=2,。为4G中点，求EM的长.

2.如图1,RtZXABC中，点D,E分别为直角边AC,BC上的点，若满足AD2+BEJDE2,则称DE为RtZXABC的

“完美分割线“，显然，当DE为AABC的中位线时，DE是AABC的一条完美分割线。

(2)如图2,对AC边上的点D,在RtZ\ABC中的斜边AB上取点P,使得DP=DA,过点P画PE_LPD交BC

丁点E,结DE,求证：DE是直角AABC的完美分割线。

(3)如图3,在RtZ\ABC中,AC=10,BC=5,DE是其完美分割线，点P是斜边AB的中点，一结PD、PE,

求cosZPDE的值。

3.如图，在△ABC中，AB=9,BC=6.

B

(1)在AB上求作点E,使得EA=EC;(不写作法，保留作图痕迹)

(2)若NACB=2NA,求AE的长.

4.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x'+mx+n的图象经过点A(3,0),B(m,m+1),且

与y轴相交于点C.

O

(1)求这个二次函数的解析式并写出其图象顶点D的坐标；

(2)求NCAD的正弦值；

(3)设点P在线段DC的延长度上，且NPA0=NCAD,求点P的坐标.

5.已知，如图，是。。的直径，点C为。。上一点，。尸1BC于点F,交。。于点E.AE

与BC交于点H,点、D为OE的延长线上一点，且NODB=ZAEC.

(1)求证：BD是。。的切线;

(2)求证：CE2=EHEA.

6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,40=2,BC=5,ZBAC=45°,cos^ACB.

(I)求线段AC的长；

(2)联结BD,交对角线AC于点。，求40。的余切值.

7.如图，反比例函数y的图象经过点71(-273,1),射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为

8(—1,Q)，射线AC与x轴交于点E,与y轴交于点C,/8AC=75。，AD1y轴，垂足为D.

(2)求DC的长

(3)在x轴上是否存在点P,使得AAPE与AACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不

存在，请说明理由.

8.如图，在AABC中，AB=AC,以AC为直径的。。交AB于点D,交BC于点E.

0

B

(1)求证：BE=CE；

(2)若BD=2,BE=3,求tan/BAC的值.

9.如图，在直角三角形ABC中，直角边AC=3cm,BC=4cm.设P,Q分别为AB、BC上的动点，在点P

自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为

每秒1cm,当Q点到达C点时，P点就停止移动.设P,Q移动的时间t秒.

(1)当t为何值时，△P5Q是以NB为顶角的等腰三角形？

(2)ZiPBQ能否与直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由.

1().如图，在△ABC中,ZABC=90°,以AB的中点0为同心、0A为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,

连接DE,0E.

(1)判断DE与。0的位置关系，并说明理由；

(2)求证：BC=CD*20E；

(3)若COS/BADW，BE=6,求OE的长.

11.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED,DF=;DC,连接EF并延长交BC的延

4

(1)求证：△ABES/\DEF；

(2)若正方形的边长为4,求BG的长.

12.如图，在边长为1的5X5的正方形网格上有两个三角形,它们顶点都在格点上.

图1

（1）ZXABC与ADEF是否相似？请说明理由；

（2）请在空白网格上画出〜ZXABC,并指出相似比.△MNP〜△ABC,相似比为（要求△MNP

三个顶点都在格点上，并与△ABC、Z\DEF都不全等）

k于点A、B、C和点D、E、F.

（2）如果DE：DF=2：5,AD=9,CF=14,求BE的长.

M.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（6,0）,且AO=AB=S,AHx轴于点H,过B作

BCLx轴交过点A的反比例函数y=：Q>0）于点C,连接0C交AB于点D,AH于点M.

（1）求该反比例函数的表达式;

（2）求”的值.

15.在直角梯形ABCD中，AB〃CD,ZABC=90°,AB=2BC=2CD,对角线AC与BD相交于点0,线段0A,0B的

中点分别为E,F.

(1)求证：Z^FOEg△0()€；

(2)求sinZOEF的值；

(3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求—Gn—的值.

16.阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务.

《周髀算经》的启示

早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，

那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中.如图，

已知2ABC是大家熟悉的勾三，股四，弦五的三角形，即AC：BC：AB=3：4；5,在其内部作正方形

DEFG和正方形GHMN，点、D,N在边AB上，点E,F,H在边BC上，点在边AC上，则MC=

HF.

下面是一位同学的部分证明过程：

证明：•.•四边形DEFG是正方形,

，ZDEF=ZGFE=90".

ZDEB=ZGFH=90".

二•四边形GHMN是正方形，

:・GH=HM,NGHM=90°.

任务：

(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)若正方形DEFG的边长为1,求正方形GHMN的边长.

参考答案与解析

1.【答案】（1）解：:四边形ABCD是菱形

.'•/I=Z2,AD=AB

YBC=DF

：.AE=AF

：.AG±EF

(2)解：•.•菱形ABCD

:・BD1AC,AO=OC=\AC,

'：BMLEF,AGA.EF

/./BOG=NOGM=NGMB=90

，四边形OBMG是矩形

VC为AG中点，

._AOBO_1

"AG~EG—4

'：BD=2,

.*.E0=l,

：.EG=4.

VGM=08=1

：.ME=3.

2.【答案】(1)v

J

(2)解：如图2,

VEA=DP.AZI)AP=ZI)PA

VFE1PD,「.NDPA+NEPB=90°

又NA+NB=90°,

.,.ZEPB=ZB,

•••EP=EB——6分

AAD2+BE2=I)p2+EP2=DE2,

ADE是直角△ABC的完美分割线

(3)解：延长DP至点F,使得PF=DP,连结BF,PF,EF,

VAP=BP,ZAPD=ZBPF,AA/XPD^ABPFn

.*.AD=BF,ZA=ZEBPo

/.NEBF=NCBA+NFBP=NCBA+NA=90°

.・FE是完美分割线，

.,.CE2=AD2+BE2=BF2+BE2=EF2,HPED=EF

又PD=PF,AZEPD=90°

法一：，点C,D,P,E出现在以DE为直径的圆上,

连结CP,

贝J|NEDP-NPCE-NPBC。

.-.cosZPDE=cosB=?

法二：过点P作PM_LAC,PN±BC,

则NMPD=NNPE=900-ZMPE,

.•.△MPDs-PE,.•端=*气

・••COSNPDE=f

3.【答案】(1)解：如图，点E即为所求作的点,

（2）解：•••EA=EC,

•••4=/ECA,

vZACB=2/4=/BCE+ZACE.

•••/BCE="

•••ZB=ZB,

•••△BCEBAC,

•嗑=案'而AB=9,BC=6.

36

BE=—=4,

9

•••AE=AB-BE=5.

4.【答案】(1)解：,二次函数y=-x^+mx+n的图象经过点A(3,0),B(m,m+1),

.（0=-94-3m+n

••Im+1=—m2+m2+n

解得｛：二,

.•.二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3,顶点D的坐标为(1,4)

(2)解：如图所示，

VA(3,0),D(1,4),

.,.CD=V2,AC=3yf2,AD=2圾,

.\CD::+AC2=AD%

...△ACD是直角三角形，且NACD=90°,

・'sinNACD二黑=盘=噂

(3)解：:直线CD经过C(0,3),D(1,4),

・•・设可设直线Q）为y=kx+b,则

3=b

4=k+b

解得｛浮

；・直线Q）为y=x+3,

设点P的坐标为（a,a+3）,

①如图所示，当点P在x轴上方附，过点P作PE_Lx轴于E,则

PE-a+3,AE=3-a,

VZAEP=ZACD=90",ZPAO=ZCAD,

.'.△ACD^AAEP,

.PEAEa+3_3-a

••正二就，即an育二荻，

解得a：

a+3=-,

・•・此时P的坐标为（-T,I）:

②如图所示，当点P在X轴下方时，过点P作PF_Lx轴于F,则

PF=-（a+3）,AF=3-a,

VZAFP=ZACD=90°,ZPAO=ZCAD,

.,.△ACD^AAFP,

.PF_AFa3_3a

..拓二就，即0n《"二猊，

解得a=-6,

a+3=-3,

此时P的坐标为（-6,-3）；

综上所述，点P的坐标为（一,,|）,（一6,—3）

5.【答案】（I）证明：•••/4EC=4/?C.

又二NODB=ZAEC,AZODB=ZABC,

'：0F1BC,:./BFD=90",

ZODB+/DBF=90°,

,ZABC+/DBF=90°,

即/OBD=90°,：.BD1OB,

：・RD是0。的切线

（2）证明：连接AC,如图所示：

OF1BC,

*zajr*

..0E=Cfi,

ZCAE=NECB,

：^CEA=/HEC,

：.ACEH-AAEC,

：.CE:AE=EH'.CE,

：.CE2=EH-EA

6.【答案】（1）解：作BE垂直AC于E,

Vcos^CF=|,BC=5,

AEC=3,

由勾股定理可得：BEM,

VZBAC=45°,

/.AE=BE,

.•.AE=4,

/.AC=AE+EC=4+3=7,

即AC的长为7,

(2)解：由题意作图，

VAI)IIBC,

AZ0BC=ZAD0,

AAO：0C=AD:BC(平行线分线段成比例)，

••・AO：OC=2：5,

VAC=7,

.,.CC=5,

做OP垂直BC于P,

'/cos^ACB=5-,

，FC=3,

由勾股定理可得:0P=4.

VEC=5,

.,.EP=2,

OBC的余切值为,

即NADO的余切值为1.

7.【答案】(1)解：•・•反比例函数y=W的图象经过点力(一2百，1),

:・k=(-2>/3)x1=-2V3,

・•・反比例函数的解析式为：y=*;

-'-AM=BM=2^3-1,

•••ZBAM=45°,

•••ZBAC=75°,

ZDAC=75°-45°=30°

=2V3x—=2;

J

(3)解：・.・AD_Ly轴，

・・・AD〃x轴，

.*.Zl=Z0EC=ZI)AC=30°,

①当AP^x轴时，AAP^-ACDA,此时：P】(一2，5,0);

②当>4^21AE时，AAP2E-ADCA,

•.TPi=l,4P2Pl=90°-30°=60°,

•••P2Pi=1+V5=当，

，P2（一子,0）♦

综上所述：%（—2，5,0）,22（-苧,0）.

8.【答案】（1）解：证明：连结AE

•「AC为。0的直径，

AZAEC=90°,

，AE_LBC,

而AB=AC,

.*.EE=CE；

(2)解：连结DE,AE,CD则CDJLAB,

VBE=CE=3,

.,.EC=6,

•・•ZBED=ZBAC,

而NDBE=NCBA,

/.△BED^ABAC,

.些一处?n±

*"RARC'RA

/.EA=9,

/.AC=BA=9.

AD=7,CD=AC2—AD2~4V2,

・•・4tanZ/BDA"C=­CD=—4yf2

AD7

9.【答案】(1)解：•・•直角边4c=3cm,8c=4cm,

二由勾股定理可得，AB=y/AC2+BC2=V32+42=5*

.\AP=t,BP=5—t,BQ=t,

「APBQ是以/B为顶角的等腰三角形,

/.EP=BQ,即5-t=t,解得t=3秒，

・•.当t=|秒，APBQ是以为顶角的等腰三角形；

(2)解：能.

理由：当△PBQs/\ABC时，

冷第即T解得：t=>

当△PBQsZ\CBA时，整=案,即”一，解得：£=g秒,

ABBC549

•二当£二§或弓秒时，aPBQ与直角三角形ABC相似♦

10.【笞案】(1)证明：连接0D,BD,

;AB为圆0的直径,

•••NADB=90°,

在RtZXBDC中，E为斜边BC的中点，

.,.CE=I)B=BE=1BC,

ZC=ZCDE,

V0A=0D,

,ZA=ZAD0,

VZABC=90°,即/C+/A=90°,

.•・/AD0+NCDE=9()°,MFZ01)E=90o,

ADE10D,又0D为圆的半径，

・・・DE为GO的切线.

(2)证明：是BC的中点，。点是AB的中点,

.•・CE是AABC的中位线，

・・・AC=20E,

VZC=ZC,ZABC=ZBDC,

，AABC^ABDC,

.,燃=器即BC2=AC・CD.

CDDC

.・.腰=2。)・OE.

(3)解：VcosZBAD=1,

o

../nsBC4

..sinZBAC=­：=",

AC5

又・.・BE=6,E是BC的中点,即BC=12,

.\AC=15.

又・.・AC=2OE,

11.【答案】(1)证明：TABCD为正方形，.•・AD=ABROBC,NA=ND=90°,

VAE=ED,

.AE1

..一=",

AB2

VDF=-4DC,

.LF1

..一=-,

DE2

.AE__DF_

"AB-DE'

.,.△ABI^ADEF

(2)解：TABCD为正方形，，ED〃BG,

.ED_DF

99CG~CF'

又•,•【）「=正方形的边长为

74DC,4,

.•・ED=2,CG=6,「.BG=BC+CG=10

12.【答案】（1）结论：△ABCSADEF

2222

,:DE=Vl+2=底DF=Vl+3=y/10fFE=5,

AB=Vl2+l2=V2,CB=Vl2+32=710,4C=2,

.竺一些—回竺_四EF_5_V1O

''AB~V2~2/AC~21BC-V1O-2

.DE_DF_EF

••布一就一BC,

AAABC^ADEF.

⑵包

2

13.【答案】（1）解：・・・AD〃BE〃CF,

.些_竺

•'~LF-'AC'

VAB=6,BC=8,DF=21,

.霹窗

.\DE=9

（2）解：过点D件DG〃AC,交RE于点H,交CF于点G,

则CG=BH=AD=9,

AGF=14-9=5,

VHE/7GF,

,HE_DE

"GF"DF'

VEE：DF-2:5,GF-5,

••・HE=2,

.,.BE=9+2=11.

1

D

14.【答案】（1）解：•.•点B的坐标为（6,0）,且AO=AB=5,AH1.x轴，

.\CB=6,0H=HB=3,

A.AH=y/AO2-OH2=V52-32=4,

（3,4）,

?.k=3X4=12,

二•该反比例函数的表达式为：y=j（x>o）.

（2）解：•.•点B的坐标为（6,0）,y=Y（x>0）,8C_L%轴交过点A的反比例函数y=>0）于

点C

.,.点C（6,2）,

ABC-2,

设0C的解析式为y=kx,

A2=6k,

・・・CC的解析式为y=；x,

当x=3时，y=：x=i,

，点M(3,1),

.\AM=3,

**AH1x轴，BCJLx轴，

.,.△ADM^ABDC,

AAD：DB=AM：BC=3：2.

15.【答案】(1)证明：YEF是AOAB的中位线,

，EF〃AB,EF=；1AB,

而CD〃AB,CD=|AB,

JEF二CD,NOEF二NOCD,ZOFE=ZODC,

...ZOEE=ZCAB,

•・•在Rt^ABC中，AC=VAB2+BC2=V4BC2+BC2=V5BC,

.,.sinZOEF=sinZCAB=笔=蠢=g

(3)解：VAE=OE=OC,EF〃CD,

/.△AEG^AACD,

=3=3即EG=5CD,

CDAC33

同理FH=1CD,

.AB+CD2CD+CD9

..----------=CD,,CD=-

GH—+CD+—5

16.【答案】(1)解：•.•四边形DEFG是正方形，

/DEF=/GFE=90°.

/./DEB=NGF