专题07二次函数的应用模拟50道押题预测(销售、分段、投球、喷水、拱桥)-【临考预测】2023中考数学重难题型押题培优原

【临考预测】2023中考数学重难题型押题培优【全国通用】

专题07二次函数的应用最新模拟50道押题预测

（销售、分段、投球、喷水、拱桥）

类型一、二次函数的应用：销售问题

I.（2U23・广西南宁•校考一模）某商店购进一批清洁剂，每瓶进价为2U元，出于营销考虑，要求每瓶清洁

剂的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该清洁剂每周的销售量），（瓶）与每瓶清洁剂的售

价工（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为23元时，销售量为34瓶；当销售单价为25元时，销售

量为30瓶.

⑴求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）设该商店每周销售这种清洁剂所获得的利润为卬元，将该清洁剂销售单价定为多少元时，才能使商店销

售该清洁剂所获利润最大？最大利润是多少？

2.（2023・安徽合肥・统考模拟预测）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查,

发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价N元）的相关信息如下：

售价N元）60708090・・・

销售量），（件）280260240220…

⑴试用你学过的函数来描述与％的关系，这个函数可以是（填“一次函数”或“二次函数”），写出这个函

数解析式为.

（2）若获利不得高于进价的80%,那么售价定为多少元时，月俏售利润达到最大？

3.（2023•广东茂名•统考一模）我市某景区商店在销售北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品时，发现该纪念品

的月销售量y件是销售单价x元的一次函数，如表是该商品的销售数据.

销售单价X（元）4050

月销售量），（件）10080

⑴求y与.1的函数关系式；

（2）若该商品的进货单价是30元.请问，每件商品的销售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月

利润是多少元?

4.（2023・河南周口・校联考一模）受2022年卡塔尔世界杯的影响，全世界范围内掀起了踢足球热潮，值此

时机，某足球生产厂商推出了一款成本为5（）元的足球，物价部门规定，该产品利润率不得高于100%,经

调查，该产品的R俏量（个）与售价4（元）（%>50）之间满足一次函数关系.关于R俏量与售价的几组对应

值如下:

售价“（元）6070100

日销量y（个）14012060

（I）求日销量），（个）与售价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围;

（2）①请写出每天销售总利润卬（无）与伐价/（元）之间的函数关系式;

②如果厂商请你帮忙定价，售价定为多少元可使每天总利润最大？最大利润是多少？

5.（2023•黑龙江大庆•校考一模）某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮

助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过50万件，该产品的生产费用），（万元）与年产

量工（万件）之间的函数图像是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）：该产品的销售单吩z（元/件）

与年销售量x（万件）之间的函数图像是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产

销平衡，所获毛利润为卬万元.（毛利润=销售额-生产费用）

yk

500

O501

图①图②

⑴直接写出），与X以及Z与X之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）;

（2）求卬与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？

（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过80万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

6.（2023・北京海淀•人大附中校考一模）为指导菜农生产和销售某种蔬菜，小明进行了如下调查，得到某种

蔬菜的售价x（元/千克）与相应需求量p（千克）以及供给量4（千克）的数据，如下表:

售价X（元/千克）・・・2.533.54・・・

需求量〃（千克）・・・7.757.26.555.8,.・

供给量夕（千克）•••1.522.53

（1）观察表中的数据，小明发现：供给量q（千克）与售价x（元/千克）之间满足函数关系（横线上填

“一次”、“二次”或“反比例”），它的函数表达式为;

（2）为了研究这种蔬菜的需求量〃（千克）与售价x（元/千克）之旬的关系，小明在坐标系中，以售价为横坐

标、相应需求量为纵坐标描出下列四个点，将其用平滑曲线连线，如图.通过再图观察，小明发现这种蔬

菜的需求量〃（千克）与售价x（元/千克）之间满足二次函数关系，并进一步确定它的函数表达式满足p=

ax*+c的形式，请求出〃关于x关于的函数表达式.

（3）为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为多少？

7.（2023・湖北孝感・校考一模）中考临近，某中学食堂为提高全为初三学子伙食，精心购买A、8两种食材

共600kg.A食材的价格为每千克5元，当8食材购买量不大于300kg时，8食材的价格为每千克9元，当B

食材购买量大于300kg时，每增加10kg,8食材的价格降低0.1元.设购买8种食材xkg（%为10的整数倍）.

（1）若XV300,购买A、B两种食材共花了3800元，求A、B两种食材各多少千克？

（2）若x>300,且购买A食材的数量不少于B食材数量的一半，求购买A种食材多少千克时，购买的总费用

最少，最少总费用是多少元？

⑶若购买A食材不超过mkg（mV250）,购买B食材超过300kg,商家获得的最大销售额为40）0元，求小

的值.

8J2023・广东佛山・统考•模）垃圾分类作为•个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力.洛

阳市某超市计划定制款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设订费，定制不

超过200套时.每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠.已知该超市定制这款垃圾桶的平均费

用为56元1套

（1）该超市定制了这款垃圾桶多少套？

（2）超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80/套时，平均每天可售出20套；售价每降诋1元.平均

每天可多售出2套，售价下降多少元时.可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？

9.（2023・安徽淮北•淮北一中校联考一模）某商场试销一款玩具，进价为20元/件，商场与供货商约定，试

销期间利润不高于30%,且同一周内售价不变.从试销记录看到，当售价为22元时，一周销售了80件该

玩具；当售价为24元时，一周销售了60件该玩具.每周销量y（件）与售价工（元）符合一次函数关系.

（1）求每周销量y（件）与售价”（元）之间的关系式；

（2）若商场一周内销售该玩具获得的利润为210元，则该玩具的售价为多少元？

（3）商场将该玩具的售价定为多少时，-一周内销售该玩具获得利涧最大?最大利涧%为多少元？

10.（2023・陕西西安・模拟预测）一食品店平均每天可卖出300个某种甜点，卖出1个甜点的利润是1元，经调

查发现，零售单价每下降0.1元，每天可多卖出100个甜点，为了使每天获得的利润更多，该店决定把零售

单价下降m（0<m<1）元.

（1）零售单价下降0.2元后，该店平均每天可卖出个甜点，利润是元；

（2）在不考虑其它因素的条件下，当m定为多少元时，才能使该店每天获得的利润是420元，并且卖出的甜点

更多；

（3）若使该店每天获取的利润最大，771应定为多少元？并求出此时的最大利润.

类型二、二次函数的应用：分段问题

11.（2023•河北保定•校考模拟预测）东东在网上销售一种成本为30元/件的T恤衫，销售过程中的其他各种

费用（不再含T恤衫成本）总计50（百元）.若销售价格为元/件），销售量为y（百件），当40WXW60时，

y与x之间满足一次函数关系，且当x=40时，y=6,有关销售量y（百件）与销售价格%（元/件）的相关

信息如表：

240

销售量（百件）

y—丫二x

销售价格x（元/

40<x<6060<x<80

件）

（1）求当40Wx460时，y与汇的函数关系式；

⑵①求销售这种7恤衫的纯利润w（百元）与销售价格式元/件）的函数关系式；

②销售价格定为每件多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？

12.（2023・湖北咸宁•校联考一模）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售.已

知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价》（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员

工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元.

（1）直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；

⑵当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入二支出），求该店员工人数；

（3）若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元?此时，每件服装的价格应定为多少元？

13.（2023・湖北孝感・统考一模）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：

在这120天内，该商品每天的销售价格无（元/件）与时间£（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品

的日销售量y（件）与时间£（第t天）之间满足一次函数关系y=150-匕

（I）宜接写出不与t之间的函数关系式；

⑵设销售该商品的日利润为w（元），求w与£之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，

最大口利润是多少元？

⑶在这120天内，日利润不低于4800元的共有多少天？请直接写出结果.

14.（2023・江苏无锡・江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）某商店决定购44两种“冰墩墩”纪念品进行

销售.已知每件A种纪念品比每件8种纪念品的进价高30元.用1000元购进A种纪念品的数量和用400

元购进8种纪念品的数最相同.

（1）求A,3两种纪念品每件的进价分别是多少元？

（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表,

售价X（元/件）50<x<6060<%<80

销售量（件）100400-5%

①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？

②该商场购进A,8型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于8型纪念品的件数，但不小于50件.若

8型纪念品的售价为每件m（m>30）元时，商场将A,8型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元,

直接写出机的值.

15.（2023・四川•校联考模拟预测）2022年全球疫情肆虐，医用物质紧缺，一线的抗议人员奋不顾身，用血

肉之躯为我们开辟一条安全的道路，直至II月，全国各地相继宣布解封，各行各业纷纷复工投入上产，“阳

光医疗器械厂”立即投入生产，下图表是12月份前5天的防护服售价），（元/套），和销量7（套）的关系表:

第1天12345

销售价格y（元/套）3032343638

销量，（套）100120140160180

由于物价部门发现这种乱象，从第5天开始工厂对外调整价格为28元•套，据统计第6天以后防护服销量

，（套）和第x天的关系出现：亡=一/+50之一100（6WXW20,且x为整数）.

⑴直接写出销量，与第x天（前4天）满足的关系式：并且求出第6天以后第几天的销量最大，最大值为多

少；

（2）若成本价为22元，该工厂这些天（按20天计）出售防护服得到的利润W（元）与其的函数关系式：直

接写出第几天的利润的最大.

16.（2023・辽宁阜新•校考一模）某玩具连锁店研制出一种新式文具，试销一段时间后发现，若每件文具的

售价不超过10元，每天可销售300件；若每件文具售价超过10元，每提高1元，每天的销量就会减少30件,

但每件文具售价不得高于20元，这家文具连锁店每天需要支付因这种文具而产生的其他费用（不含文具成

本）200元，设每件文具的售价为x（元），文具连锁店每件利润为y元，文具连锁店每天销售这种文具的纯

收入为w（元）.（注：纯收入=销售额-成本-其他费用）

⑴根据题意，填写下表：

文具的销售量（件）・-•300—240—・・・

每件文具售价（元）・・.8101216・・・

（2）经调查，该文具店每天俏售这种文具的每件收入为p（元）与零售价%（元/件）满足一次函数关系，其图

象如图，求出p与％之间的函数关系式；

（3）如果这种文具每件的售价不超过12元，那么如何定价才能使该文具连锁店每天俏售这种文具的纯收入最

高？最高纯收入为多少元？

17.（2023•江西南昌・统考一模）小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中

国结”的批发单价y（元）与一次性批发量x（x为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系.

（1）当200WxW400时，求y与4•的函数关系式.

（2）某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量.

⑶某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结号（200WXW600）件，小黄获得的利润为w元，当x为何

值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？

18.（2023・江苏扬州•校考一模）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑

料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售.在30天的:式销中，每天的销售量与销伐天数x满足一

次函数关系，部分数据如下表：

X（天）123・・・X

每天的销售量（千

101214•••

克）

设第X天的售价为），元/千克，），关于X的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每

天的利润是印元.（利润=销售收入-成本）

（1）珞表格中的最后一列补充完整；

⑵求），关于x的函数关系式；

⑶求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？

19.（2023•浙江杭州•模拟预测）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书.已知购买2本科技类图

书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元.

（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？

⑵为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：

购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元：超过50本时，均按购买50本

时的单价销售.社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本.按此

优惠，社区至少要准备多少购书款？

20.（2023•湖北武汉•校考一模）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物.冰墩墩以熊猫为原型设计，寓

意创造非凡、探索未来.某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50元.经市场调查，每月的

销传量y（万件）与每件的售价工（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

售价X（元/件）606268

销售量），（万件）403624

（1）直接写出），与X之间的函数表达式为;

⑵批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？

⑶批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%,若这批玩偶每月销售量不低于20〃万件，最大利润为

400万元，求〃的值.

类型三、二次函数的应用：投球问题

21.（2U23•河北沧州•校考模拟预测）学校举办篮球比赛，运动员小明跳起投篮，已知球出手时离地面2.4米，

与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度（M点）4米，设篮球运行轨迹为

抛物线，篮圈中心距地面3.1米.以地面为x轴，经过最高点（M点）与地面垂直的直线为y轴建立如图所

示的平面直角坐标系.

（1）请根据图中信息，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；

⑵请问运动员小明的这次跳起投篮能否投中？

⑶此时，对方队员乙上前拦截盖帽，且队员乙最大摸高3.2米，若队员乙盖帽失败，则他距运动员小明至少

多远？结果精确到0.1）（说明：在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为

盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分.）

22.（2023・福建・福建省福州第十九中学校考一模）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度

至少为2米.某次摸拟测试中，某生在。处将球垫偏，之后又在A、B两处先后垫球，球沿抛物线JH

运动（假设抛物线G、的、Q在同一平面内），最终正好在。处垫住，。处离地面的距离为1米.如图所示,

以0为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，”轴平行于地面水平直线m,已知点力©，3,点B的横坐

标为一｝抛物线G表达式为y=ax2-2ax和抛物线C3表达式为v=2ax2+bx[aH0）.

(1)求抛物线G的函数表达式；

(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；

(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处8离地面的高度至少为

多少米？

23.(2023•江西南昌・统考一模)为增强学生身体素质，创设体育文化氛围，某校开展田径运动会，小贤同

学报了投铅球比赛的项目，如图由线AZ?就是他投出的铅球运动路线，呈抛物线形，出手点A离地面OC的

高度为gm,铅球飞行的水平距离的长度为13m.过A作4018C于点。，以08为入轴，。4为)，轴，建立平

(1)写出A,B两点的坐标；

(2)若抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a*0)

①求2的取值范闱；

Q

②若5=-10,求小贤同学投出的铅球运动路线(抛物线)的解析式.

24.(2023•河北石家庄•统考模拟预测)如图，一小球M从斜坡。力上的。点处抛出，建立如图所示的平面直角

坐标系，球的抛出路线是抛物线Li：y=-；/+日的一部分，斜坡可以看作直线L2：y=；x的一部分.若小

球经过点(6,6),解答下列问题:

(1)求抛物线Li的表达式，并直接写出抛物线乙2的对称轴；

(2)小球在斜坡上的落点为4,求力点的坐标；

(3)在斜坡。力上的8点有一棵树，8点的横坐标为2,树高为4,小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；

(4)直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡。4的最大高度.

25.(2023・湖北武汉•校联考模拟预测)在某场足球比赛中，球员甲将在地面上点4处的足球对着球门踢出,

图中的抛物线是足球的高度y(m)与球和点。的水平距离％(m)的函数y=-/i)2+k的部分图象(不考虑

空气的阻力)，当足球运行到最高点。时，此时球恰好在球员乙的正上方，球员乙在距点。，12m的点。处,

球距地面的高度为5m,即CD=5m,对方球门与点0的水平距离为20m.

(I)当。4=2时,

①求y与％的关系式；

②当球的高度为3.2m时，求足球与对方球门的水平距离；

(2)防守队员丙站在距点。正前方10m的点8处，球员甲罚出的任意球高过球员丙的头顶并直接射进对方球门,

已知丙的身高为1.76m,即8G=1.76m,球门的高度为2.44m,即E尸=2.44m,直接写出Q的取值范围.

26.(2023•浙江湖州•统考一模)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了

敦煌壁画中“飞天”的元素，故乂名“雪飞天”.图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图.运动员从D点

起跳后到着陆坡4c看落时的匕行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线。C为工轴，铅垂线08为y轴，

建立平面直角坐标示如图2,从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度y(单位：〃?)与水平距离单位：

m)近似满足函数关系y=a(%-h)2+k(av0).在着陆坡力。上设置点K(32,4)作为标准点，着陆点在K点

或超过幻点：视为成绩达标.

水平距离工(〃?)026101418

铅垂高度y(w)20.0021.8024.2025.0024.2021.80

(1)在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离工与铅垂高度y的几组数据如上表，根据上述数据，

直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式

(2)请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？

(3)此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度九(加)与时间t(s)均

满足力(其中g为常数，表示重力加速度，取10m/s2),运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留

3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？

27.(2023•北京西城•校考一模)奥运会主火炬手小王练习射箭点火.他需要用火种点燃箭头，然后准确地

射问70米远、20米高的火炬塔.火炬塔上面是一个弓形的圣火台，该弓形的弦记为A8,且火炬塔EF垂直

平分这支箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这支箭飞行的水平距离为d(单位：m),距地

面的竖直高度为九(单位：m),获得数据如表：

d(单位：m)010203040506070

h(单位：m)1.510.517.522.525.526.525.5k

小芳根据学习函数的经验，对函数万随自变量d的变化而变化的规律进行了研究.下面是小芳的探究过程,

请补充完整：

(1)士的值为;

(2)在平面直角坐标系中，描全以表中各对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；

30

十一2C.—.

20

10—，十

d

a204060~~E~~80100^

(3)只要小王射出箭的矶迹与线段Ay有公共点(AN=4),那么这支箭就可以射入圣火台.请问小王是否可以

将这支箭射入圣火台？答：(填“是”或者“否”)

⑷开幕式当晚，只要小王射出的箭能够进入圣火台上方边长为4米的正方形力8C。范围内(包含边界)，都

可以顺利点燃主火炬.小芳发现，在射箭的初始角度和力量不变的情况下，小王还可以通过调整与火炬塔

的水平距离来改变这支箭的飞行轨迹(即向右平移原抛物线).若保证圣火被点燃，小王可以沿横轴正方向

移动的最大距离是米.(结果请保留根号)

28.(2023•河南郑州•统考一模)原地正面掷实心球是中招体育考试项目之一.受测者站在起掷线后，被掷

出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩.实心球的运动轨迹可看作抛物

线的一部分.如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y(m)与水平距离x(m)

近似满足函数关系y=ax2+bx-¥c(a<0).小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练.

(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离％(m)与竖直高度y(m)的几组对应数据如下:

水平距离x/m01234567

移直高度y/tn1.82.32.62.72.62.31.81.1

则：①抛物线顶点的坐标是,顶点坐标的实际意义是;

②求)，与x近似满足的函数关系式，并直接写出本次训练的成绩.

(2)第二次训练时，)，与x近似满足函数关系y=-0.09/+072%+1.8,则第二次训练成绩与第一次相比是

否有提高？为什么？

（3）实心球的抛物线轨迹是影响成绩的重要因素，可以通过多种方法调整实心球的轨迹.小明挑实心球的出

手高度不变，即抛物线、=a/+bx+c（aV0）中c的值不变，要提高成绩应使a,〃的值做怎样的调整？

29.（2023•北京海淀・北京交通大学附属中学校考模拟预测）一小球M从斜坡。4上的点。处抛出，球的抛出

路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=刻画.若小球到达

最高点的坐标为（4,8）.

⑴求抛物线的函数解析式（不写自变量犬的取值范围）；

（2）若要在斜坡。力上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点4与抛出点。的水平距离为2,请判断小球M

能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；

（3）直接写出小球”在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度.

30.（2023•河北沧州•校考一模）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运

动的相关数据.无人机上升到高地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）

竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地

面的高度也相同.其中无人机离地面高度力（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系加图所示；小

钢球离地面高度内（米）与它的运动时间工（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示.

35

30

（1）直接写出力与工之间的函数关系式;

（2）求出力与％之间的函数关系式;

（3）小钢球弹射I秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

类型四、二次函数的应用：喷水问题

31.（2023.湖南永州•校考一模）一座桥如图，桥下水面宽度48是10米，高CO是4米.如图，若把桥看做

是抛物线的一部分，建立如图坐标系.

(1)求抛物线的解析式.；

⑵要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？

32.(2。23・贵州铜仁•校考一模)妇图，古代一石桥有17个大小相同的桥洞，桥面平直，其中二个桥洞抽象

成抛物线，其最大高度为4.5m,宽为6m,将桥墩的宽度、厚度忽略不计，以水平方向为横轴，建立平面直

角坐标系如图所示，0M=6.

(1)求。AM这条抛物线的函数关系式；

(2)若一艘高于水平面3m的小船想要通过桥洞，根据安全需要，它顶部最宽处两侧距桥洞的水平距离均不得

小于20cm,设它顶部最宽处为dm,求4的值不得超过多少小船才能顺利通过？

33.(2023.安徽滁州.校考一模)如图1,一段高架桥的两墙4B由抛物线一部分jCR连接，为确保安全，

在抛物线一部分4C3内修建了一个菱形支架ODCE,抛物线的最高点C到48的距离0c=4米，乙0DC=60°,

点D,E在抛物线一部分4C8上，以4B所在的直线为％轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系工。丫,

确定一个单位长度为1米.

(1)求此抛物线对应的函数表达式；

(2)求高•架桥两端的A,E的距离；

(3)如图2,现在将菱形ODCE做成广告牌，旦在菱形内再做一个为接矩形MNPQ广告牌，已知矩形MNPQ广

告牌的价格为80元/米2,其余部分广告牌的价格为160元/米2,试求菱形广告牌所需的最低费用.

34.(2023・陕西西安・陕西师大附中校考一模)如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽48=20m,

当水位上升3m时，水面宽CD=10m.

（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式;

（2）有一条船以5km/九的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km,桥下水位正好在力8处，之后水位每小

时上涨0.25m,当水位达到CD处时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变继续向此桥行驶35km时，水

面宽是多少？它能否安全通过此桥?

35.（2023♦北京西城・北京市第三十五中学校考一模）学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱

门.小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星"四个大字（如图1）,其中，“科”与“星”距地面的高度相同,

，，技，，与，，之，，距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上

的点.通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米.

10米

图1

（1）请在图2中建立平面直角坐标系％Oy,并求出该抛物线的解析式;

⑵“技”与“之”的水平距离为2a米.小明想同时达到如下两个设计效果:

①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍;

②“技”与“科”距地面的高度差为L5米.

小明的设计能否实现？若能实现，直接写出Q的值；若不能实现，请说明理由.

36.（2023・陕西咸阳•统考一模）某公路有一个抛物线形状的隧道A6C,其横截面如图所示，在图中建立的

学+c且过顶点C（0,5）.（长度单位：m）

⑵求该隧道截面的最大跨度（即A3的长度）是多少米?

（3）该隧道为双向车道，现有•辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.

37.（2023・河南信阳・统考一模）现要修建一条隧道，其截面为掘物线型，如图所示，线段0E表示水平的路

面，以。为坐标原点，以。E所在直线为x轴，以过点。垂直于/轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根

据设计要求：OE=10m,该抛物线的顶点P到0E的距离为9m.

⑴求满足设计要求的抛物线的函数表达式;

(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、3处分别安装照明灯.已如点A、

8到0E的距离均为6m,求点A、B的坐标.

38.(2023・广东深圳•校联考模拟预测)某公园内人工湖上有一座拱桥(横截面如图所示)，跨度48为4米.在

距点4水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为力米.小红根据学习函数的经验，对d和/?之间的关

(1)经过测量，得出了d和力的几组对应值，如下表.

小米00.611.82.433.64

力/米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和。这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数;

(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象;

2......i.......:.....:.......:.....：

I......*.......i.....i.......+.....：

12345~~X

（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：

①桥墩露出水面的高度AE为米；

②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船.为安全起见，公园要

在水面上的C,。两处设置警戒线，并且。E=OF,要求游船能从C,。两点之间安全通过，则。处距桥墩

的距离C£至少为米.（精确到01米）

39.（2023・湖北武汉•华中科技大学附属中学校考模拟预测）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面相的

宽为18米，拱顶。离水面4R的距离OM为9米，建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形CD".

①如果限定矩形的长CD为12米，那么要使船通过拱桥，矩形的高DE不能超过多少米？

②若点E,F都在抛物线上，设乙=石尸+0后+。尸，当L的值最大时，求矩形CDEF的高.

40.（2023•北京东城•北京市广渠门中学校考模拟预测）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面.经测

量，两侧墙AO和与路面A4垂直，隧道内侧宽AB=4米.为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面4/6

上取点E,测量点£到墙面4。的距离和到隧道顶面的距离上凡设4E=x米，£T=y米.通过取点、测量，

工程人员得到了x与），的几组值，如下表：

X（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0

y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00

⑴隧道顶面到路面AB的最大高度为米；

（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的

图象.

⑶今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）.根据隧道通行标准，其车厢最高点到

隧道顶面的距离应大于0.5米.结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：（填写“是”或“否”）.

类型五、二次函数的应用：拱桥问题

41.（2023•江西吉安•校考模拟预测）某公司为城市广场上一雕塑力B安装喷水装置.喷水口位于雕塑的顶端

点B处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型.据此建立平面直角坐标系，如图.若喷出的水柱轨迹BC上某一点

与支柱48的水平距离为K（单位：机），与广场地面的垂直高度为y（单位：〃?）.下面的表中记录了y与x

的五组数据：

x/m02610

364836

y/m3

~7

根据上述信息，解决以下问题：

(1)求出y与％之间的函数关系；

(2)求水柱落地点与雕塑A8的水平距离；

(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状丫=。/+

以+c不变的前提下，把水柱喷水的半径(动态喷水时，点C到A8的距离)控制在7m到14m之间，请探究

改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围.

42.(2023・湖北武汉・统考一模)如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口”离地竖直高度。〃为1.2m.可以把灌

溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面史角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形

DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度£"=0.5m.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边

抛物线最高点4离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.4m,灌溉车到绿化带的距离。。为d(单位：m).

(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程。C；

(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇濯到整个绿化带，直接写出d的取值范围.

43.(2023•安徽蚌坤・统考一模)某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管。A,。4=0.5米，从A点向四周

喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点。为原点建立平面直角坐标系，点人

在)，轴上.已知在与池中心O点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米.

（I）求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

⑵身高为1.67m的小颖站在距离喷水管4m的地方，她会被水喷到吗？

（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m,已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物

线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管0A要升高多少？

44.（2023•河北石家庄•石家庄市第四十二中学校考一模）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从

垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为4米时水柱距离湖面高度为y米，.v与x近似的满足函数关

系N=a（x-h）2+k（a<0）.现测量出x与），的几组数据如下：

⑴求出满足条件的函数关系式；

（2）身高1.75米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为〃，米（m工0）,画出图象，结合图象

回答，若小明被水枪淋到〃?的取值范围.

45.（2023•北京西城・北师大实验中学校考模拟预测）某景观公园内人工湖里有•组小型喷泉，水柱从垂直

于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线.现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地

点，水柱距离湖面高度为九米.

d（米）01234・..

h（米）2.04.05.25.65.2・・・

请解决以下问题：

（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接.

⑵请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米（精确到0.1）；

⑶公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通

过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险.

46.（2023•河北沧州•校考模拟预测）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管04长

2.25〃?.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，

高度为3m.

⑴建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；

（2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？

（3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有25〃，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出

的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大

长度.

47.（2023.北京顺义.北京市顺义区仁和中学校考一模）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，

从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的•部分，当喷头向四周同时喷水时，形成•个

环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离

湖面的高度为万米，

请解决以下问题:

d（米）01.03.05.07.0

h（米）3.24.25.04.21.8

（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接;

⑵结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度：

⑶求所画图象对应的函数表达式；

(4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落

点到护栏的距离不能小于1米,请通过计算说明公园至少需要准冬多少米的护栏(不考虑接头等其他因素).

48.(2023・安徽合肥•校考模拟预测)如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度。，为1.2m.可以

把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩

形。£7环，其水平宽度=3m,竖直高度E尸=0.5m.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左立移得到，上

边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.4m,灌溉车到绿化带的距离。D为大单位：m).

(I)求上边缘抛物线的函数解析式；

(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

⑶要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求出d的取值范围.

49.(2023・安徽芜湖・芜湖市第二十九中学校考•模)某景观公园的人工湖里有一-组喷泉，水柱从垂直于湖

面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线.现测量出如下表中的数据，在距水枪水平距离为d米的

地点，水柱距离湖面高度为九米.

山米00.7234・.・

九/米2.03.4845.25.65.2•••

请解决以下问题:

(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接.

(2)①求喷泉抛物线的解析式；

②求喷泉的落水点距水枪的水平距离.(内。3.7)

(3)已知喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为h=

—033—3.5)2+5.7,此时喷泉是否会喷到水池外？为什么？

(4)在(2)的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为4米，顶棚到湖面高度为4.2米的平顶游船，

游船从喷泉最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险.

5().(2023・北京海淀•校考二模)某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱

落于湖面的路径形状是抛物线.现测量出如卜.数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度

为h米.

d(米)00.7234•..

h(米)2.03.495.25.65.2・・・

请解决以下问题：

(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接;

r---r---r---

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