小学数学容斥问题

容斥问题第1页？容斥问题容—包含斥—排除第2页测一测6＋6－1=11（人）答：共有11人。1、排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？2、洗好8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻两块手帕两边，这么一共要多少个夹子？8×2－7=9（个）答：一共要9个夹子。第3页容斥问题即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们和中排除重复部分。容斥原理：对几个事物，假如采取两种不一样分类，那么含有性质1或性质2事物个数等于性质1＋性质2减去它们共同性质。第4页学校文艺组每人最少会演奏一个乐器，已知会拉手风琴有24人，会弹电子琴有17人，其中两种乐器都会演奏有8人。这个文艺组一共有多少人？想：

拉手风琴人数：24人弹电子琴人数：17人两种都会弹人数：8人？人24＋17－8=33（人）答：一共有33人。容斥原理：1、找分类：2类

找1、2类共有2、2类总个数等于2类和减去它们共有。例1、第5页想：五年级学生参加语文、数学考试，每人最少有一门功课取得优异成绩。其中语文成绩优异有65人，数学优异有87人。语文、数学都优异有30人，问五年级一共有多少人？试试：

语文优异人数：65人数学优异人数：87人两科都优异人数：30？人65＋87－30=122（人）答：五年级一共有122人。第6页四（一）班学生参加数学小组和科技小组，每个学生最少参加一个小组，有25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。那么四（-）班一共有多少人？练一练25＋23－19=29（人）答：一共有29人。第7页想：一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手”有42人举人，最终问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有些人举手。求这个班语文、数学作业都做完人数是多少个？

做完语文人数：37人做完数学人数：42人两科做完人数：？48人37＋42－48=31（人）答：这个班语文、数学作业都做完人数是31人。例2、第8页想：五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人最少有一门功课取得优异成绩。其中语文成绩优异有65人，数学优异有87人。语文、数学都优异有多少人？试试：

语文优异人数：65人数学优异人数：87人两科做完人数：？122人65＋87－122=30（人）答：语文、数学都优异有30人。第9页在1到100全部自然数中，既不是5倍数，也不是6倍数有多少个？

5倍数个数数：6倍数个数：30倍数个数：？个100÷5=20（个）答：有67个。不是5倍数；不是6倍数；不是30倍数5倍数个数；6倍数个数；30倍数个数100÷6=16（个）

……4100÷30=3（个）

……1020＋16－3=33（个）100－33=67（个）例3、第10页全班学生40人，兴趣音乐有18人，兴趣舞蹈有21，兴趣美术有9人，既兴趣音乐又兴趣舞蹈有3人，既兴趣音乐又兴趣美术有1人，但没有些人这三种都兴趣，也没有些人都不兴趣。问有多少既兴趣舞蹈又兴趣美术？

例4、18＋21＋9－3－1－40=44－40=4（人）答：有4人既兴趣舞蹈又兴趣美术。第11页某班有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行车，40人会溜冰，46人会打乒乓。问四项活动都会最少有多少人？

例5、一项不会就不符合一项不会尽可能多，即考虑重复不会游泳：50－35=15（人）不会骑自行车：50－38=12（人）不会溜冰：50－40=10（人）不会打乒乓：50－46=4（人）四项都会最少有：50－（15＋12＋10＋4）=9（人）第12页练一练2分钟你能做完吗？第51页举一反三第4题第13页作业：第52页熟能生巧（1）、（2）做在作业本上（要求：不抄题，标清题号，字迹工整整齐，做完后请家长签字。）复习容斥问题例1、例2，预习例3、例4

第14页课后过关：一个旅行社有36人，其中会英语有24人，会法语18人，两样都不会有4人。两样都会有多少人？

第15页容斥原理（第二讲）

某校六（1）班，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队有25人，参加排球队有22人，参加游泳队有34人，足球、排球都参加有12人，足球、游泳都参加有18人，排球、游泳都参加有14人，三项都参加有8人，这个班有多少人？25+22+34-12-18-14+8=45人足球排球

游泳第16页假如我们用这七个字母分别代表各字母所在区域学生人数，那么依据题意，我们有以下七条等式：(1)A+D+E+G=25；(2)B+D+F+G=34；(3)C+E+F+G=22；(4)D+G=18；(5)E+G=12；(6)F+G=14；(7)G=8。现在我们要求是A+B+C+D+E+F+G=？。怎样利用以上资料求得答案？我们利用等式性质来试试看.

把头三条等式加起来，我们得到A+B+C+2D+2E+2F+3G=81。可是这结果包含了多出D、E、F和G，必须设法把多出部分减去。因为等式(4)－(6)各有一个D、E和F，若从上述结果减去这三条等式，便能够把多出D、E和F减去，得A+B+C+D+E+F=37。可是这么一来，原来重复重现G却变被完全减去了，所以最终还得把等式(7)加上去，得最终止果为A+B+C+D+E+F+G=45，即该班共有45名学生。

第17页结论（公式二）假如被计数事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类事物个数=A类事物个数+B类事物个数+C类事物个数—既是A类又是B类事物个数—既是A类又是C类事物个数—既是B类又是C类事物个数+既是A类又是B类而且是C类事物个数。第18页例1：设某班每名学生都要选修最少一个外语，其中选修英语学生人数为25，选修法语学生人数为18，选修德语学生人数为20，同时选修英语和法语学生人数为8，同时选修英语和德语学生人数为13，同时选修法语和德语学生人数为6，而同时选修上述三种外语学生人数则为3，问该班共有多少名学生？

25+18+20-8-13-6+3=39人第19页例2、在一个酷热夏日，几个儿童去冷饮店，每人最少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水有3人，只要冰棍和雪碧没有，只要汽水和雪碧有1人；三样都要有1人。问：共有几个儿童去了冷饮店？

6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人分析与解：依据题意画图。第20页例3.某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文人数均为质数，而三种全参加只有1人，求既参加英语又参加数学小组人数。

分析与解：依据已知条件画出图。第21页

三圆盖住总体为49人，假设既参加数学又参加英语有x人，既参加语文又参加英语有y人，能够列出这么方程：整理后得：因为x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。答：既参加英语又参加数学小组为2人或7人。第22页例5.某班同学参加升学考试，得满分人数以下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？

分析与解：依据题意画图。第23页

设三科都得满分者为x全班人数整理后：全班人数＝39＋x39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值时，全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得满分同学，因而x中人数一定不超出两科得满分人数，即且，由此我们得到，另首先x最小可能是0，即没有三科都得满分。当x取最大值7时，全班有人，当x取最小值0时，全班有39人。答：这个班最多有46人，最少有39人。第24页试一试1.某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优异，求三项都是优异人数。45-1=4420+18+22-6-7-8=3944-39=5人2.某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又