专题 二次函数中特殊三角形的存在性60题专练 中考数学

专题06二次函数中特殊三角形的存在性（八大题型）62题专练

压轴题密押

通用的解题思路：

特殊三角形的讨论问题，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了特殊三角形的性质、相似三角形

的判定及性质、锐角三角比的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等

数学思想。虽部分特殊三角形的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单

一噗式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形本身的性质入手，结合边、

角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。

一：等腰三角形的存在性

根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）月庐4G（2）除。；（3）。=".但

根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更

多的解，在解撅时需要尤其注意.

解题思路：

（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；

（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）

（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根.

二：直角三角形的存在性

在考虑AABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①NA=90°；②/B=90°：③

NC=90°.在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股

定理。

解题思路：

（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；

（2）计算出相应的边长等信息；

（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标.

三：等腰直角三角形的存在性

既要结合等腰三角形的性质，又要结合直角三角形的性质。需要分类讨论哪个角是直角。

四：相似三角形的存在性

相似三角形存在性问题，分类讨论步骤：

第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角；

要先确定己知三角形是否有直角，或确定锐角（借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手

段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出）

①若有已知的相等角，则其顶点对应；

②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。

第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标：

①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边

的大小；

②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之

后用相似来列方程求解。

压轴题预测

题型一：等腰三角形的存在性

1.（2024•运城模拟）综合与探究

如图，抛物线），=-（丁+1X+6与x轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），与），轴交于点C,。是第一

象限抛物线上的一个动点，若点。的横坐标为机，连接AC,BC,BD,CD.

（1）求A,B,C三点的坐标，并直接写出直线8c的函数表达式.

（2）当四边形ACD4的面积有最大值时，求出，〃的值.

（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点使A/VW是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的

4

2.(2024•青岛一模)如图1,已矢I二次函数)，=aP+/x+c(aH0)的图象与y轴交于点40,4).与x轴交于

点B,C,点C坐标为(8,0),连接49、AC.

(1)请直接写出二次函数y=ar?+|x+c(aw0)的表达式：

(2)判断A43C的形状，并说明理由；

(3)如图2,若点N在线段3C上运动(不与点8,。重合)，过点N作NM//AC,交AB于点M,当4LWV

面积最大时，求此时点N的坐标；

(4)若点N在x轴上运动，当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.

3.（2024•辽宁一模）如图1,正方形A58的顶点A,8的坐标分别为（0,10）,（8,4）,顶点C,。在第一

象限.点。从点A出发，沿正方形按Af8fC方向运动，同时，点Q从点E（4,0）出发，沿x轴正方向以

相同速度运动，当点P到达点。时，P,Q两点同时停止运动，设运动时间为"s）,AOnQ的面积S（平

方单位）.

（1）正方形A6CD的边长为；

（2）当点P由点A运动到点〃时，过点尸作轴交y轴于点M,已知随着点夕在上运动时

焉=』，AOPQ的面积S与时间”s）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示），

求：①点尸，。两点的运动速度为;

②S关于/的函数关系式为—；

（3）当点尸由点8运动到点C时，经探究发现AOPQ的面积S是关于时间（s）的二次函数，其中S与，部

分对应取值如下表：

/101520

S2876m

求：，〃的值及S关于，的函数关系式.

（4）在（2）的条件下若存在2个时刻「/2（4＜，2）对应的△。也的形状是以OP为腰的等腰三角形，点。

沿正方形按Af3fC方向运动时直接写出当，=一4+-/,时，AOPQ的面积S的值.

34'

~o-ioT

图1图2

4.（2024•康县一模）如图，抛物线），=-5/+公+。与直线相交于A（0,3）,4（3,1）两点.

（1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；

（2）点夕为x轴上一动点，当是以A4为底边的等腰三角形时，求点夕的坐标；

（3）把抛物线沿它的对称轴向下平移加/?>0）个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直

线始终有交点，求力的最大值.

5.（2024•澄海区校级模拟）如图，点A、8在工轴正半轴上，点C、。在），轴正半轴上，且OB=OC=3,

04=1,OD=2,过A、B、C三点的抛物线上有一点E,使得

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式.

（2）求点石的坐标.

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点?，使AACP为等腰三角形，若存在，直接写出点尸的坐标，若不存

在，请说明理由.

yfyf

备用图

6.（2024•仁和区一模）如图，已知抛物线），=*+版+4（〃/0）与x轴交于点4（1,0）和点3,与），轴交于点

c,对称轴为＞!.

（1）求抛物线的解析式;

（2）如图1,若点P是线段8C上的一个动点（不与点4,C重合），过点。作），轴的平行线交抛物线于点

Q,连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；

（3）如图2,在（2）的条件下，。是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E,且NDQE=2/ODQ.在

），轴上是否存在点尸，使得4?律为等腰三角形？若存在，求点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

7.（2024•即黑区一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=o?+云+c交x轴于点A«0）,8（2,0）,

交y轴于点C（0,6）,在），轴上有一点E（0,-2）,连接AE.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点。为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求A4DE面积的最大值及此时。点的坐标；

（3）抛物线对称轴上是否存在点尸，使为以钻为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出产点的坐

标即可；若不存在，请说明理由.

8.（2023♦青海）如图，二次函数.?=-/+/状+。的图象与x轴相交于点A和点C（l,0）,交y轴于点8（0,3）.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设二次函数图象的顶点为P,对称轴与x轴交于点Q,求四边形AO3P的血枳（请在图1中探索）；

（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M,使得AAM4是以4?为底边的等腰三角形？若存在，请

求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）.

图1图2

9.（2024•浦东新区二模）在平面直角坐标系xO），中，已知直线y=-x+2与工轴、），轴分别交于点A、点8,

抛物线+/>x+c经过点A、8两点，顶点为点C.

（1）求〃、c的值；

（2）如果点。在抛物线G的对称轴上，射线AB平分NC4D,求点。的坐标；

（3）将抛物线G平移，使得新抛物线的顶点上在射线胡上，抛物线C2与〉，轴交于点尸，如果钻加■是

等腰三角形，求抛物线C2的表式.

10.（2024•金州区一模）【概念感知】

两个二次函数只有•次项系数不同，就称这两个函数为''异/，族二次函数”.

【概念理解】

如图1,二次函数），=-gd+gx+2的图象G交x轴于点A，B,交），轴于点C,点。为线段4c的中点,

1a

二次函数），=江+版+。与产一万/+jx+2是“异》族二次函数”，其图象C?经过点力.

（1）求二次函数.丫=仆2+法+。的解析式；

【拓展应用】

（2）如图2,直线EF//8C，交抛物线G于E,F,当四边形C/二应尸为平行四边形时，求直线砂的解析

式；

（3）如图3,点尸为x轴上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线C，C2于点M,N,连接MC,NC,

当&VWC为等腰二角形时，直接写出点尸的坐标.

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Tjo]\\x//0]\\x

C2G1ClC1

c2c

图1图2图3

II.（2024•济南一模）如图，已知二次函数y=or2+/»+c的图象与x轴相交于4-1,0）,8（3,0）两点，与），

轴相交于点C（0「3）,尸是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点。的横坐标为〃，过点。作

轴于点，，与BC交于点M.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）将线段C4绕点C顺时针旋转90。，点A的对应点为4,判断点4是否落在抛物线上，并说明理由；

（3）求心Z+29的最大值；

（4）如果是等腰三角形，直接写出点尸的横坐标〃?的俏.

12.（2024•微山县一模）如图，顶点坐标为（1,4）的抛物线y=«?+bx+c与x轴交于A,3两点（点A在点

8的左边），与y轴交于点C（Q3）,。是直线8c上方抛物线上的一个动点，连接40交抛物线的对称轴于

点、E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC,当的周长最小时，求点。的坐标；

（3）过点。作“〃_Lx轴于点H：交直线8c于点"，连接AA.在点。运动过程中，是否存在使AAC厂为

等腰三角形？若存在，求点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

13.（2024•库尔勒市一模）如图，在平面宜角坐标系中，抛物线产=-/+灰+《.经过A（T0）,C（0,3）两点,

并与x轴交于另一点8.

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）求点6坐标：

（3）设P（x,y）是抛物线上的一个动点，过点P作直线/_Lx轴于点M,交直线3C于点N.

①若点。在第一象限内，试问：线段夕N的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值;

若不存在，请说明理由；

②当点尸运动到某一位置时，能构成以3c为底边的等腰三角形，求此时点2的坐标及等腰MPC的面积.

14.(2023•重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=」/+ZUTC与x轴交于点A,B，与)，轴交于点

4

C,其中B(3,O),C(0,-3).

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点尸是直线AC下方抛物线上一动点，过点?作PQ_LAC于点D,求尸D的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点£为点?的对应点，平移后的抛物线与)，轴交

于点尸，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以Q尸为腰的是等腰三角形的点Q

的坐标，并把求其中一个点。的条标的过程写出来.

15.(2023•成都)如图，在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线y=，£+c经过点P(4,-3),与)，轴交于点

40,1),直线y(攵工0)与抛物线交于4,C两点.

(I)求抛物线的函数表达式；

(2)若AABP是以钻为腰的等腰三角形，求点B的坐标：

(3)过点M(0,〃?)作y轴的垂线，交直线于点D,交直线AC于点E.试探究：是否存在常数/〃，使得

。石始终成立？若存在，求出机的值；若不存在，请说明理由.

备用图

题型二：直角三角形的存在性

16.(2024•安庆一模)如图，抛物线)，=加+云+3与％轴交于点A(l,0)、B(3,0)两点，与)，轴交于点C.

(1)求此抛物线对应的函数表达式;

(2)点E为直线/3C上的任意一点，过点E作％轴的垂线与此抛物线交于点b.

①若点E在第一象限，连接b、BF,求△口中面积的最大值；

②此抛物线对称轴与直线8C交于点。，连接小，若AD瓦'为直角三角形，请直接写出E点坐标.

17.(2024•任城区一模)已知抛物线)，=纨2+公+。(4工0)与工相交于4—2,0),8(6,0)两点，与)，轴交于点

C(0,-3).

(I)求抛物线的表达式;

(2)如图1,在对称轴上是否存在点D,使凶CO是以4c为直角边的直角三角形？若存在，请求出点。的

坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,点P在直线3c下方的抛物线上，连接A尸交3c于点M,当也最大时，请直接写出点〃的

图1图2

18.（2024•凉州区一模）抛物线＞，=渥+版-4（4/0）与x轴交于点4-2,0）和8（4,0）,与y轴交于点C,

连接8C.点P是线段8C下方抛物线上的一个动点（不与点8,C重合），过点。作y轴的平行线交8C于

M,交工轴于N.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）过点C作。HJ_QV于点〃，BN=3CH.

①求点尸的坐标；

②连接C。，在），轴上是否存在点Q,使得ACPQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请

说明理由.

Q

19.（2024•德阳模拟）平面直角坐标系中，抛物线y=4（x-l）2+—与大轴交于A,4（4,0）两点，与），轴交于

点C.

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点4,。的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使ABCP是直角三角形？若存在，请直接写出点夕的坐标，若不

存在，请说明理由；

（3）如图，点M是直线8c上的一个动点，连接40,OM,是否存在点M使/W+0W最小，若存在，

请求出点”的坐标，若不存在，请说明理由.

yJk1咻

图1图2

20.（2023•烟台）如图，抛物线），=aP+/求+5与x轴交于A,B两点，与），轴交于点C,AB=4.抛物线

的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-\交于点D,与x轴交于点E.

（1）求直线A。及抛物线的表达式;；

（2）在抛物线上是否存在点M,使得AAD”是以40为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的

坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以点8为圆心，画半径为2的圆，点尸为。3上一个动点，请求出PC+’PA的最小值.

备用图

21.（2024•广安二模）如图，抛物线y=-/+乐+。交x轴于&T,O）,3两点，交,，轴于点C（0,4）.

（1）求抛物线的函数解析式.

（2）点。在线段。4上运动，过点。作大轴的垂线，与4c交于点Q,与抛物线交于点尸，连接”，CP,

求四边形AOCP的面积的最大值.

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点使得以点A,C,M为顶点的三角形是直角三角形？若存在,

请求出点用的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（2024•金山区二模）已知：抛物线），=/+云+°经过点4（3,0）、8（0,-3）,顶点为P.

（1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标；

（2）平移抛物线，使得平移后的勉物线顶点Q在直线河上，且点Q在），轴右侧.

①若点"平移后得到的点。在x轴上，求此时抛物线的解析式；

②若平移后的抛物线与y轴相交于点。，且AAOQ是直角三角形，求此时抛物线的解析式.

O

23.(2024•宿豫区二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A、B、C三点，已知8(3,0),

。(0,3).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点尸是抛物线上任意一点，若NPBC=ZACO,求点P的坐标；

(3)点M是抛物线上任意一点，若以M、B、。为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点”的坐标.

(备用图)

24.(2024•双峰县模拟)如图,抛物线y=ad+/zr+c与直线y=x+l相交于A(-1,0),8(4,〃?)两点，且抛

物线经过点C(5,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线在第四象限上的一个动点，过点P作直线PDJLx轴于点。，交直线至于点石.当

PE=2QE时，求P点坐标；

(3)若抛物线上存在点T,使得zMAT是以AA为直角边的直角三角形，宜接写出点7的坐标.

25.（2024•滨州一模）如图，抛物线），=*+/次+5与x轴交于A,B两点,与），轴交于点C,AB=4.抛

物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=x-l交于点D,与x轴交于点E.

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线上是否存在点M,使得AAD”是以40为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的

坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以点8为圆心，画半径为2的圆，点。为二3上一个动点，请求出PC+，以的最小值.

备用图

26.（2024•仓山区校级模拟）如图I,在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=o?+饭+石与工轴交于A,

B两点,与），轴交于点C,且A点坐标为（-1,0）,抛物线的对称轴为直线x=l,连接直线8c.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点。为笫一象限内抛物线上一动点，连接4）,交直线4c于点E,连接网），如图2所示，记MDE

的面积为M，的面积为5,,求之■的最大值;

邑

（3）若点M为对称轴上一点，是否存在以M,8,C为顶点的直角三角形，若存在，直接写出满足条件

的M点坐标；若不存在，请说明理由.

181图2

27.（2024•荆州模拟）如图，直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点3、点C,经过4,C两点的抛物线

>'=-x2+如+〃与x轴的另一个交点为A,顶点为P.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使以C,P,Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出

所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）将该抛物线在不轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴

下方的部分组成一个“M”形状的图象，若直线y=x+〃与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点,

题型三：等腰直角三角形的存在性

28.（2024•雁塔区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线£:），=/+瓜+。与大轴交于点人（|,（））和

点B,与），轴交于点C（0.3）.

（1）求出抛物线L的解析式和顶点坐标.

（2）点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点尸作工的垂线交汇轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ

对称抛物线V,则C■关于直线PQ的对称点为C,若APCC为等腰直角三角形，求出抛物线〃的解析式.

29.（2024•凉州区二模）如图1,已知抛物线y=or-4at+c的图象经过点A（l,0）,B（〃?.O）,C（0,-3）,过

点C作CO/小轴交抛物线于点。，点尸是抛物线上的一个动点，连接PD,设点2的横坐标为〃.

（1）填空：m=>a=»c=；

（2）在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接OP,当四边形OCDP面积最大时，求〃的值；

（3）如图2,若点Q在抛物线的对称轴/上，连接PQ、DQ,是否存在点?使APOQ为等腰直角三角形?

若存在,直接写出所有符合条件的点产的坐标；若不存在，请说明理由.

y

A/：\B

30.（2024•高唐县一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=M+加:-3与x轴交于点4-1,0）和点8（3,0）,

与了轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）若点P为第四象限内抛物线上一点，当APAC面积最大时，求点夕的坐标；

（3）若点尸为抛物线上一点，点Q是线段8C上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以尸、Q、O为

顶点的三角形是等腰更角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点尸的坐标；若不存在，靖说明理由.

备用图

31.(2024•咸丰县模拟)综合与探究

如图，抛物线y=W—3x-4与x轴交于A,B两点、(点A在点3的左侧)，与y轴交于点C,连接8c.若

点P在线段上运动(点P不与点4,C重合)，过点夕作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x轴于点产.设

点P的横坐标为〃?.

(1)求点A,B,。的坐标，并直接写出直线8c的函数解析式.

(2)若2=2PE,求机的值.

(3)在点/的运动过程中，是否存在/〃使得△(?庄为等腰直角三角形？若存在，请直接写出〃，的值；若不

备用图

题型四：相似三角形的存在性

32.（2024•金平区校级一模）如图，二次函数），=*+区+4交x轴于点八（-1,0）和4（4,0）交），轴于点C.

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图，在第一象限有一点M,到O点距离为2,线段RV与的夹角为45。，且&V=,连接

CN,求OV的长度；

（3）对称轴交抛物线于点Q,交BC交于点、E,在对称轴的右侧有一动直线/垂直于x轴，交线段5c于点

F,交抛物线手点P,动直线在沿x轴正方向移动到点8的过程中，是否存在点尸，使得以点P,C,F

为顶点的三角形与ADCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

33.（2024•东莞市一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+3与x轴交于点8,

与y轴交于点C,抛物线y=+加+c经过8、C两点，与x轴的另一交点为点A.

图1图2

（1）如图1,求抛物线的解析式；

（2）如图2,点。为直线8c上方抛物线上一动点，连接AC、CD,设直线BC交线段4）于点E,SCDE

的面积为3，A4CE的面积为S2.当工=■!■时，求点。的坐标；

S?2

（3）在（2）的条件下，且点O的横坐标小于2,是否在数轴上存在一点P,使得以A、C、尸为顶点的

三角形与ABCD相似，如果存在，请直接写出点尸的坐标；如果不存在，请说明理由.

34.(2024•亳州一模)已知抛物线.y=-(Y+〃x+c经过点(-5,-g)和(3,|).

(1)试确定该抛物线的函数表达式；

(2)如图，设该抛物线与x轴交于A,〃两点(点A在点4左侧)，其顶点为C,对称轴为/,/与其轴交

于点。.

①求证：AOBC是直角三角形；

②在/上是否存在点户，使得以月，D,产为顶点的三角形与AOHC相似？若存在，请求出点的坐标；

若不存在，请说明理由.

35.(2023•随州)如图1,平面直带坐标系xQy中，抛物线y=/+bx+c过点A(-l,0),3(2,0)和。(0,2),

连接AC,点PQ〃，〃)(",0)为抛物线上一动点，过点尸作*7_1_不轴交直线4c于点交x轴于点N.

(1)直接写出抛物线和直线8C的解析式；

(2)如图2,连接OM,当△OC"为等腰三角形时.求切的值：

(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q,使得以O,尸，Q为顶点的三角形与以B,C,N为

顶点的三角形相似(其中点?与点。相对应)，若存在，直接写出点?和点Q的坐标；若不存在，请说明理

由.

(图1)（图2）(备用图)

36.（2024•青海一模）如图，二次函数y=f+云+c的对称轴是直线x=l,图象与x轴相交于点4-1,0）和

点、B,交），轴于点C.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）点P是对称轴上一点，当MOCSAA总时，求点P的坐标（请在图1中探索）；

（3）二次函数图象上是否存在点M,使AA8C的面积却与的面积邑相等？若存在，请求出所有满

足条件的点例的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）.

37.（2024•虹口区二模）新定义：已知抛物线），=加+版+c•（其中（加工0）,我们把抛物线广^+办+人

称为）=苏+瓜+c的“轮换抛物线”.例如:抛物线y=2f+3x+l的“轮换抛物线”为），+2x+3.

已知抛物线。1：），=4〃次2+（46-5口+加的“轮换抛物线”为。2,抛物线C、C?与），轴分别交于点石、F,

点E在点〃的上方，抛物线。2的顶点为

（1）如果点石的坐标为（0,1）,求抛物线G的表达式；

（2）设抛物线G的对称轴与直线y=3x+8相交于点Q,如果四边形PQ所为平行四边形，求点石的坐标；

（3）已知点在抛物线G上，点N坐标为（-2,-7；）,当APMV~APE尸时，求机的值.

八y

----------------------------------------------►

Ox

备用图

38.（2024•安溪县模拟）已知抛物线G:丁二⑪?-+1与x轴只有一个公共点A.

（1）求a的值：

（2）若将抛物线G：y=4ad向右平移1个单位长度得到抛物线Q,抛物线G与V轴交于点8,顶点为。.

①试问：抛物线C3上是否存在这样的点E,使得MDESMBD?

②若直线），=依-4+1与抛物线C3交于P（x〃，yp）,Q（“,"）（4<%）,点Q关于抛物线G的对称轴的

s

对称点记为0（。与。不重合），0M//），轴交直线PQ于点M,直线切与直线Q'M交于点N,求三”上的

值.

yA

1-

---------------1>

O1-------r

39.（2024•苏州一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=加-8⑪+10。-1（。＜0）与x轴的交点分别为

A（6,0）,B[X2,0）,其中（。＜七＜玉），且他=4,与y轴的交点为C,直线CO//x轴，在x釉上有一

动点£（1,0）,过点石作直线/_1_工轴，与抛物线、直线CD的交点分别为尸、Q.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当0＜/,,8时，求&4PC面积的最大值；

⑶当，＞2时，是否存在点尸，便以C、尸、Q为顶点的三角形与AQ8C•相似？若存在，求出此Ml的值；

若不存在，请说明理由.

备用图

40.（2024•雁塔区校级四模）已知抛物线£,:y=f+加+c与x轴交于点A、B（点A在点8的左侧），与），

轴交「点C（0,-3）,对称轴为直线x=1.

（1）求此二次函数表达式和点4、点8的坐标；

（2）点尸为第四象限内抛物线。上一动点，将抛物线右平移得到抛物线抛物线区,使得抛物线区的顶点

为点P，抛物线A与y轴交于点E,过点尸作y轴的垂线交），轴于点D.是否存在这样的点P,使得以点?、

D、石为顶点的三角形与凶OC用似，请你写出平移过程，井说明理由.

41.（2023•乐至县）如图，直线y=3X+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,v=--x2+

-44

过A、3两点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点。是抛物线在第二象限内的点，过点。作人•轴的平行线与直线A3交于点C,求。C的长的最大值；

（3）点Q是线段49上的动点，点〃是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交），轴于点N.是否存在点

备用图

42.（2024•恩施市校级一模）如图，抛物线丁=泼+云+。交x轴于A（-4,。），5（1,0）,交），轴于。点，且

OC=2OB.

（1）求抛物线的解析式：

（2）在直线4C上找点/）,使A48O为以A4为腰的等腰三角形，求。点的坐标.

（3）在抛物线上是否存在异于8的点过P点作PQ_LAC于Q,使AAPQ与AABC相似？若存在，请求

出P点坐标；若不存在，请说明理由.

43.（2024•阳泉模拟）综合与探究

如图，二次函数-1x-d的图象与龙轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C,

对称轴与％轴交于点。，连接4C，作直线8c.

（1）求力，B,C三点的坐标，并直接写出直线4c的表达式.

（2）如图1,若点〃是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为小，过点P分别作x轴、），轴

的垂线，交直线/SC于点用，N,试探究线段何N长的最大值.

（3）如图2,若点。是二次函数图象上的一个动点，直线8Q与），轴交于点“，连接C7）,在点Q运动的

过程中，是否存在点H，使以“，C,5为顶点的三角形与AAC。相似？若存在，请直接写出点。的坐标；

若不存在，请说明理由.

44.(2024•龙江县一模)综合与探究:

如图，抛物线y=aF-6QX+c(axO)与工轴交于点A,B(点力在点8的右侧)，与)，轴交于点C,顶点为

N,直线y=-;4-1与x轴交于点4,与抛物线交于点D,连接4C,DN,sinZOCB=^~.

(1)求抛物线的解析式；

(2)①点。的坐标为；

@ZACB=°；

③点在抛物线上，-4<〃;<4,则”的取值范围是

(3)若点P在直线AC上，且SA%:S8。户=1:3,求4P的值；

(4)在第四象限内存在点E,使MCE■与AABC相似，且AC为AACE的直角边，请直接写出点石的坐标.

45.(2023•武汉)抛物线C：y=d-2x-8交x轴于A,8两点(A在8的左边)，交)，轴于点C.

(1)直接写出A,B,C三点的坐标；

(2)如图(1),作直线x=«0<i<4),分别交x轴，线段8C,抛物线G于。，E,F三点,连接b,

若MOE与△C"相似，求/的值；

(3)如图(2),将抛物线G平移得到抛物线C?,其顶点为原点.直线)，=2x与抛物线交于O,G两点，

过OG的中点〃作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于Af,N两点，直线与直线GN交于点〃.问

点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由.

46.(2023•沈阳)如图，在平面直角坐标系中，二次函数)，=；丁+法+。的图象经过点40,2),与x轴的

交点为点8(75,0)和点c.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点E,G在)，轴正半轴上，OG=2OE,点。在线段OC上，OD=&OE.以线段OD，OE为邻边

作矩形ODFE,连接GD,设OE=a.

①连接R7,当AG。。与此£)。相似时，求。的值；

②当点。与点。重合时，将线段8绕点G按逆时针方向旋转60。后得到线段G”，连接尸〃，FG,将

△G/7/绕点尸按顺时针方向旋转。(0。＜心,180。)后得到△G/厅，点G,〃的对应点分别为G，、H：连

接DE.当的边与线段OE垂直时，请直接写出点”，的横坐标.

备用图备用图

47.（2024•济南模拟）抛物线），=ad-$+8与x轴交于点A（4,0）,次/,0）两点，与），轴交于点C,直线

AC:y=辰+8,点P在抛物线上，设点尸的横坐标为/〃.

（1）求抛物线的表达式和/,我的值；

（2）如图1,过点〃作x轴的垂线与直线AC交于点M,过点C作C〃_LQM,垂足为点”，若

&CHMS»BM,求"】的值；

（3）如图2,若点尸在直线4c下方的抛物线上，过点P作PQ18C,垂足为Q,求CQ+g。。的最大值.

48.（2024•锡山区一模）如图，抛物线y=a炉+2x+c交x轴交于A,8（3,0）两点（点A在点3的左边）,

交y轴于点C,连接4C,其中O8=OC.

（1）求抛物线的解析式：

PFI

（2）点P为线段8C上方抛物线上一动点，过点尸作P£：J.4C于点E,若二=一，求点尸的坐标；

BE2

（3）过线段3C上的点E作x轴的垂线交抛物线于点/，当AEFC与A48C相似时，点E的坐标为

49.(2024•仓山区校级模拟)如图I,在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=o?+以+6与工轴交于A，

B两点,与)，轴交于点C,且A点坐标为(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=l,连接直线8c.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点。为笫一象限内抛物线上一动点，连接4),交直线BC于点E,连接如图2所示，记帖DE

的面积为3，4腿的面积为S,,求之■的最大值；

.邑

(3)若点M为对称轴上一点，是否存在以M,8,C为顶点的直角三角形，若存在，直接写出满足条件

的M点坐标；若不存在，请说明理由.

50.(2024•荆州模拟)如图，直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点3、点C,经过8,C两点的抛物线

>'=-X2+心+〃与A轴的另一个交点为A，顶点为P.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使以C,P,Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出

所有符合条件的点。的坐标：若不存在，请说明理由.

(3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x袖向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴

下方的部分组成一个“M”形状的图象，若直线y=x+0与该"M"形状的图象部分恰好有三个公共点,

51.(2024•平凉一模)如图，抛物线y=办2+云+。经过点A(-2,O),点5(4,0)，交)，轴于点C(0.4).连接AC,

BC.。为。8上的动点，过点。作EO_Lx轴，交抛物线于点£,交BC于点G.

(D求这条抛物线的函数表达式：

(2)过点石作样_L8C,垂足为尸，设点。的坐标为(皿0),请用含〃?的代数式表示线段囱的长，并求

出当机为何值时EG有最大值，最大值是多少？

(3)点。在运动过程中，是否存在一点G,使得以O,D,G为顶点的三角形与A4OC相似.若存在，

请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由.

52.(2023•朝阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=-一V+bx+c与x轴分别交于点A(-2,0),4(4,()),

与y轴交于点C,连接8C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，过点?作直线/JLx轴于点交BC于点N,

连接CM,PB，PC.APC8的面积记为5，ABCM的面积记为S2,当SyS2时，求〃?的值；

(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线上，直线MQ与直线8c•交于点”，当△〃的与MCM相似M，请

直接写出点。的坐标.

备用图

53.(2024•在平区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=」/+云+c与x轴分别相交于4-2,0),

4

8(8,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点。是第一象限内该抛物线上的动点，过点。作x轴的垂线交AC于点E,交汇轴于点尸.

①求QE+M的最大值；

②若6是AC的中点，以点C,D,E为顶点的三角形与AAOG相似，求点。的坐标.

54.（2024•海勃湾区校级模拟）如图（1）,在平面直角坐标系中，抛物线广加+以-4（〃工0）与.r釉交于A,

8两点（点A在点8的左侧），与），轴交于点C,点A的坐标为（-1,0）,且OC=O8,点。和点。关于抛物

线的对称轴对称.

（1）分别求出。，〃的值和直线AD的解析式；

（2）直线4）下方的抛物线上有一点P,过点P作PHLAD于点H,作PM平行于y轴交直线4）于点M,

交；轴于点V,求AT"做的周长的最大值；

（3）在（2）的条件下，如图2,在直线石尸的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N,过点N作NG_Lx

轴交x轴于点G,使得以点石、N、G为顶点的三角形与A4OC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标；

图⑴图(2)备用图

55.（2024•凉州区一模）在平面直角坐标系xO.y中，已知抛物线y=ar?-3ax+c与x轴分别交于八（一1,0）,

B两点、,与），轴交于点C（0,-2）.

即图2

（I）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1,点。为第四象限抛物线上一点，连接4）,BC交于点、E,求丝的最大值；

AE

（3）如图2,连接AC,BC,过点O作直线"/8C,点尸，Q分别为直线/和抛物线上的点，试探究：在

第一象限是否存在这样的点。，使△PQASACAS.若存在，请求出所有符合条件的点尸的坐标；若不

存在，请说明理由.

56.（2024•香洲区校级一模）已知抛物线），=♦+云+4（。＞0）与x轴交于点A（l,0）和8（4,0）,与），轴交于

点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图I,点尸是线段8c上的一个动点（不与点8,C重合），过点尸作大轴的垂线交抛物线于点Q,

联结OQ