备考2025年中考数学技巧专题突破（全国）专题2-1 将军饮马等8类常见最值问题（解析版）

专题2-1将军饮马等8类常见最值问题

题型一两定一动型（线段和差最值问题）

题型二双动点最值问题（两次对称）

题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）

题型四垂线段最短

题型五相对运动平移型将军饮马

题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马

题型七化斜为直，斜大于直

题型八构造二次函数模型求最值

一、单动点问题

【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小

问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB

【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小

问题解决：作B关于l的对称点B'PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原

理：两点之间线段最短，即PA＋P⇒B最小值为AB'

【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大

问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大

原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB'

【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大

问题解决：作B关于直线l的对称点B'PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|

⇒

原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB'

二、双动点问题（作两次对称）

【问题5】在直线l1，l2上分别求点M，N，使△PMN周长最小

问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，

原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段P'P''

的长

【问题6】P，Q为定点，在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小

问题解决：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N

原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段

P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ

【问题7】A，B分别为l1，l2上的定点，M，N分别为l1，l2上的动点，求AN＋MN＋BM最小值

问题解决：分别作A，B关于l1，l2的对称点A'，B'，则AN＝A'N，BM＝B'M，A'B'即所求

原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B'

三、动线段问题（造桥选址）

【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值

问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B'，连接B'M，当AB'M共线时有最小值

原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN

【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋MN＋BN的最小值

问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B'关于直线l的对称点B''，当AB''M共线有最小值

原理：通过平移构造平行四边BB'MNBN＝B'M＝B''M，

AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B''MAB''

四、垂线段最短

【问题10】在直线l1，l2上分别求点A，B，使PB＋AB最小

问题解决：作P关于l2的对称点P'，作P'Al1于A，交l2于B，P'A即所求

原理：点到直线，垂线段最短，PB＋AB＝P'B＋ABP'A

五、相对运动，平移型将军饮马

【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值

问题解决：相对运动或构造平行四边形

策略一：相对运动思想

过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题

策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.

六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹

【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点

轨迹？

问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线

段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即

得Q点轨迹线段．

△≌△

原理：由手拉手可知ABCAQ1Q2，故AQ2Q1ACB,故Q点轨迹为直线

七、化斜为直，斜大于直

【问题13】已知：AD是Rt△ABC斜边上的高

AD

（1）求的最大值；（2）若AD2，求BC的最大值

BC

ADAM1

问题解决：取BC中点M，（1）则；（2）BC2AM2AD4

BCBC2

八、构造二次函数求最值

这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相

似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或

者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个

超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．

【问题14】正方形ABCD的边长为6，点Q在边CD上，且CD3CQ，P是边BC上一动点，连接PQ，

过点P作EP⊥PQ交AB边于点E，设BP的长为x，则线段BE长度的最大值为.

问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到△PCQ∽△EBP，进而根据相似

129

比得到BEx3，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案

22

QCPC

【详解】易知△PCQ∽△EBP，，

BPBE

26x

CD3CQ，CD6，∴QC2，，

xBE

11129

∴BEx6xx26xx30x6，

2222

11299

0，BEx3在x3时有最大值，最大值为

2222

题型一两定一动型（线段和差最值问题）

1．（2023·西安·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边BC上，MC1，P为正方

1

形内（含边上）一点，且SS正方体，G为边CD上一动点，连接MG,GP，则MGGP的

PAB4ABCD

最小值为．

【答案】3

【分析】先确定组成点P的所有点为过AD,BC的中点E，F的线段EF，作点M关于CD的对称点M，

连接MG，证明MF的长为MGGP的最小值，因此求出MF的长即可．

【详解】解：过点P作EF∥AB，分别交AD,BC于点E，F，

∵四边形ABCD是正方形，

∴四边形ABFE和四边形EFCD都是矩形，

1

∵SS正方体，正方形ABCD的边长为4，

PAB4ABCD

11

∴4EA42，

24

解得EA2，

∴CFDEADAE422，

作点M关于CD的对称点M，连接MG，

则MGMG，MCMC1，

∴MGGPMGGPMF，

∴MGGP的最小值为MF的长，

∵MFMCCF123，

∴MGGP的最小值为3

2．透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm

的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭

粒需要爬行的最短路程是多少？

【答案】13

【详解】∵高为12，底面周长为10，在容器内壁离容器底部3的点B处有一饭粒，

此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3与饭粒相对的点A处，

cmcmcm

∴A′D＝5，BD＝12﹣3＋AE＝12，

cm

∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

cmcm

连接A′B，则A′B即为最短距离，

A′B＝AD2BD2＝13（）．

cm

3．如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，3），

点C的坐标为（1，0），且∠AO△B=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为

（）

A．2B．3C．7D．11

【答案】C

【分析】过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC′

与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，

再求出CD、C′D，然后求出AD，再根据勾股定理列式计算即可得解．

【详解】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，

则AC′与OB的交点即所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，

过点C′作C′D⊥OA于D，

∵点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°，

∴∠OCC′=90°-30°=60°，

1

OC=1，CC′=2×1×=1，

2

13

∴CD=，C′D=，

22

∵顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（1，0），∠OAB=90°，

∴AC=3-1=2，

15

∴AD=2+=，

22

22

在中，由勾股定理得，2235

RtAC′DAC′=CDAD=+=7

22

△

4．如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC8，B到MN的距离BD5，已知CD4，

P是直线MN上的一个动点，记PAPB的最小值为a，PAPB的最大值为b，则a2b2的值

为（）

A．160B．150C．140D．130

【答案】A

【分析】作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点

A作直线AEBD，在根据勾股定理求出线段AB的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于

点P，此时PAPBAB，由三角形三边关系可知ABPAPB，故当点P运动到P时PAPB最

大，过点B作BEAC由勾股定理求出AB的长就是PAPB的最大值，代入计算即可得．

【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，则点P即

为所求点，过点A作直线AEBD，

∵AC8，BD5，CD4，

∴AC8，BE8+5=13，AE=CD=4，

在RtAEB中，根据勾股定理得，

∴AB=BE+AE132+42=185，

即PA+PB的最小值是a185；

如图所示，延长AB交MN于点P，

∵PAPBAB，ABPAPB，

∴当点P运动到P点时，PAPB最大，

过点B作BEAC，则BECD4，

∴AEACBD853，

在RtAEB中，根据勾股定理得，

ABAE2BE232425，

∴PAPB5，

即b5，∴a2b2(185)252160

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．动点P满足S△PBC＝S矩形ABCD．则点P到B，C两点距离

之和PB+PC的最小值为。

【答案】41

【解答】解：设△PBC中BC边上的高是h．

1

∵S△PBC＝S矩形ABCD．

3

11

∴BC•h＝AB•BC，

23

2

∴h＝AB＝2，

3

∴动点P在与BC平行且与BC的距离是2的直线l上，如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，

则CE的长就是所求的最短距离．

在Rt△BCE中，∵BC＝5，BE＝2+2＝4，

∴CE＝Bc2BE2＝5242＝41，

即PB+PC的最小值为41

6．（2023·泰州·三模）如图，在矩形ABCD中，AB5cm，BC=6cm，点E在直线AD上，从点A

出发向右运动，速度为每秒0.5cm，点F在直线BC上，从点B出发向右运动，速度为每秒2cm，

BE、AF相交于点G，则BGCG的最小值为cm．

【答案】10

【分析】过点G作直线MNBC，分别交AD、BC于点M、N，过点G作直线PQ∥CD，分别交AB、

DC于点P、Q，易知四边形ABNM、PBNG、GNCQ为矩形，证明GAE∽GFB，由相似三角形

AEGM

的性质可得；设E、F两点运动时间为t，则AE0.5t，BF2t，易得GM1cm，GN4cm；

BFGN

作点C关于直线PQ的对称点K，由轴对称的性质可得CGKG，故当B、G、K三点共线时，

BGKG的值最小，即BGCG取最小值，此时，在Rt△BCK中，由勾股定理求得BK的值，即可

获得答案．

【详解】解：如下图，过点G作直线MNBC，分别交AD、BC于点M、N，过点G作直线PQ∥CD，

分别交AB、DC于点P、Q，

易知四边形ABNM、PBNG、GNCQ为矩形，MNAB5cm，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，AB∥DC

∴GAEGFB，GEAGBF，

∴GAE∽GFB，

AEGM

∴，

BFGN

设E、F两点运动时间为t，则AE0.5t，BF2t，

GM0.5t1

则有，即GN4GM，

GN2t4

∵MN5cm，

∴GM1cm，GN4cm，

∵四边形GNCQ为矩形，

∴QCGN4cm，

作点C关于直线PQ的对称点K，如图，

则QKQC4cm，KCQKQC8cm，

由轴对称的性质可得CGKG，

当B、G、K三点共线时，BGKG的值最小，即BGCG取最小值，

此时，在Rt△BCK中，BKBC2KC2628210cm，

∴BGCG的最小值为10cm

7．已知x,y,S满足S(x2)2(y3)2(x2)2(y6)2，则S的最小值为．

【答案】5

【分析】根据(x2)2(y3)2表示平面内点x,y与2,3之间的距离，(x2)2(y6)2表示

平面内点x,y与2,6之间的距离，得出当点x,y在2,3与2,6之间的线段上时，这两个距离

之和最小，求出这个最小距离即可．

【详解】解：∵(x2)2(y3)2表示平面内点x,y与2,3之间的距离，(x2)2(y6)2表

示平面内点x,y与2,6之间的距离，

∴S(x2)2(y3)2(x2)2(y6)2表示这两个距离之和，

∵两点之间线段最短，

∴当点x,y在2,3与2,6之间的线段上时，这两个距离之和最小，

22

∴S的最小值为22365．

2

8．探究式子x21x41x≥0的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取AB4，

作ACAB于A．BDAB于B，且AC1，BD1，点E在AB上，设AEx，则BE4x，

2

于是，x21CE，x41DE，因此，可求得CEDE的最小值为，已知

2

yx552x232x≥0，则y的最大值是．

【答案】2529

【分析】作C关于AB的对称点F，连接FD交AB于E，连接CD，利用勾股定理求CEDE的最

小值即可；构造图形如图，过点D作DMAC交AC于M，求y的最大值结合三角形的三边关系，

根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可得到答案．

【详解】解：如图，作C关于AB的对称点F，连接FD交AB于E，连接CD，

，

则AFAC1，CEFE，

此时CEDE的值最小为：CEDEFEDEDF，

ACAB，BDAB，

AC∥BD，

ACBD1，

四边形ABDC是平行四边形，

CAB90，

四边形ABDC是矩形，

FCD90，CDAB4，

CFCAAF2，

DFCF2CD2224225

如图，A90,AC5，AB5，BD3，BEx，

，

2

则CE525x，DEx232，

CEDECD，

CEDE的最大值为CD的长度，

过点D作DMAC交AC于M，

则四边形ABDM为矩形，

DMAB5，AMBD3，

CM2，

CDCM2DM2225229，

y的最大值为29

9．如图，A、B两点在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC16，B到MN的距离BD10，CD8，

点P在直线MN上运动，则PAPB的最大值等于．

【答案】10

【分析】延长AB交MN于点P，过点B作BEAC，由题意可知PAPBABPAPB，即说

明当点P运动到P点时，PAPB最大，即为AB的长．最后根据勾股定理求出AB的长即可．

【详解】解：如图，延长AB交MN于点P，过点B作BEAC，

∵PAPBAB，ABPAPB，

∴当点P运动到P点时，PAPB最大，即为AB的长．

∵BD10，CD8，AC16，

∴BECD8，AEACCEACBD16106，

∴ABAE2BE2628210，

∴PAPB的最大值等于10

10．已知：如图，在矩形ABCD中，AB3,AD4．动点P为矩形ABCD内一点，且满足

1

SS矩形，则△ADP周长的最小值为．

PBC3ABCD

【答案】425

12

【分析】过点P作MNAD，交AD于点M，交BC于点N，由SS矩形，可得PNMN2，

PBC3ABCD3

过P点作GH//AD，交AB于点G，交CD于点H，作A点关于GH的对称点A，连接AD与GH交

点即为所求点P，在RtAAD中，AD4，AA2，即可求AD25．

【详解】解：过点P作MNAD，交于点M，交BC于点N，

△AD

1

SS矩形，

PBC3ABCD

11

BCPNBCMN，

23

2

PNMN，

3

AB3，

MP1，

过P点作GH//AD，交AB于点G，交CD于点H，作A点关于GH的对称点A，连接AD与GH交

点即为所求点P，

APAP，

APPDAD，

AG1，

AA2，

在RtAAD中，AD4，AA2，

，

AD△25

ADP周长的最小值254，

故答案为425．

2022·绥化·中考真题

5

11．在平面直角坐标系中，已知一次函数y1k1xb与坐标轴分别交于A5,0，B0,两点，且与

2

k25

反比例函数y2的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．

x4

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)若C为线段OA上的一个动点，当PCKC最小时，求PKC的面积．

1526

【答案】(1)yx,y.；

1222x5

5

【详解】（1）解：∵一次函数y1k1xb与坐标轴分别交于A5,0，B0,两点，

2

5

∴把A5,0，B0,代入y1k1xb得，

2

1

5kb0k

112

5，解得，，

b,5

2b

2

15

∴一次函数解析式为yx,

122

过点P作PHx轴于点H，

∵A(5,0),

∴OA=5,

5

又S,

PAO4

15

∴5PH

24

1

∴PH,

2

151

∴x，

222

∴x4,

1

∴P(4,)

2

1

∵P(4,)在双曲线上，

2

1

∴k42,

22

2

∴y.

2x

（2）解：作点K关于x轴的对称点K，连接KK交x轴于点M，则K（1，-2），OM=1，

连接PK交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，

设直线PK的解析式为ymxn,

mn2

1

把P(4,),K(1,2)代入得，1

24mn

2

5

m

6

解得，

17

n

6

517

∴直线PK的解析式为yx,

66

517171717

当y0时，x0，解得，x，∴C(,0)∴OC

66555

1712178

∴MCOCOM1,ACOAOC5，AMOAOM514，

5555

11121816

∴SSSS422

PKCAKMKMCPAC2252525

题型二双动点最值问题（两次对称）

12．如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、

MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为。

【答案】6

【解答】解：延长AD至A′，使AD＝DA′，延长AB至E′，使BE＝BE′，连接A′E′，

交BC于M，交DC于N，此时AN＝A′N，EM＝E′M，四边形AEMN周长＝AN+MN+ME+AE＝A′

E′+AE，根据两点之间线段最短，A′E′+AE就是四边形AEMN周长的最小值；

∵AD＝2，AE＝BE＝1，

∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1，

∴AE′＝3，AA′＝4，

∴A′E′＝AEAA＝5，

∴四边形AEMN周长的最小值为5+1＝6．

13．（2023·淄博·一模）如图，在四边形ABCD中，BD90，DAB140，M，N分别是

边DC，BC上的动点，当AMN的周长最小时，MAN°．

【答案】100

【分析】作点A关于CD、CB的对称点E、F，连接EF分别交CD、CB于点H、G，连接AH、AG、

EM、FN，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，AMN的周长最小，则易得MAN的大

小．

【详解】解：如图，作点A关于CD、CB的对称点E、F，连接EF分别交CD、CB于点H、G，连

接AH、AG、EM、FN，

由对称性知：EMAM，EHAH，NFNA，GFGA，

AMMNNAEMMNNFEF，

∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，AMN的周长最小；

∵GAGF，EHAH，

∴GAFGFA，HEAHAE，

∴AGH2GFA，AHG2HEA

∵DAB140，

∴GFAHEA180DAB40，

∵AGHAHG2GAF2HEA24080，

∴GAH180(AGHAHG)18080100，

即MAN100，

故答案为：100．

14．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN

周长最小时，∠MAN的度数为。

【答案】70

【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，

连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，

此时△AMN的周长最小，

∵BA＝BA′，MB⊥AB，

∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，

∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，

∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，

∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），

∵∠BAD＝125°，

∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，

∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．

∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°

15．（2023·西安·二模）如图，在四边形ABCD中，BD90，BAD120，AB2，AD4，

P、Q分别是边BC、CD上的动点，连接AP，AQ，PQ，则△APQ周长的最小值为．

【答案】47

【分析】如图，由BD90，作A关于BC对称的点A，作A关于CD对称的点A，连接AA，

与BC交点为P，与CD交点为Q，连接AP，AQ，由对称的性质可得APAP，AQAQ，

11

ADADAA4，ABABAA2，则APPQAQAPPQAQ，可知当

22

A、P、Q、A四点共线时，△APQ的周长最小为AA，如图，过A作AEAD的延长线于E，

由BAD120，可得AAE60，则AEAAsinAAE23，AEAAcosAAE2，

AE10，根据AAAE2AE2，计算求解即可．

【详解】解：如图，由BD90，作A关于BC对称的点A，作A关于CD对称的点A，连接AA，

与BC交点为P，与CD交点为Q，连接AP，AQ，

11

由对称的性质可得APAP，AQAQ，ADADAA4，ABABAA2，

22

∴APPQAQAPPQAQ，

∴当A、P、Q、A四点共线时，△APQ的周长最小为AA，

如图，过A作AEAD的延长线于E，

∵BAD120，

∴AAE60，

∴AEAAsinAAE23，AEAAcosAAE2，

∴AE10，由勾股定理得AAAE2AE247

16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，

连接OE、OF、EF，若AB3，BC2，DAB30，则OEF周长的最小值是．

【答案】13

2

【分析】作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN，MF，NE，AN，AM，

则OEF的周长OEOFEFMEEFMF，故当M、E、F、N四点共线时MEEFMF，

即此时OEF的周长最小，最小值为MN的长，证明△MAN是等边三角形，得到MNAMAO；

1

过D作DPAB交直线AB于P，由平行四边形的性质得到ADBC2，ODOBBD，由含

2

11

30度角的直角三角形的性质得到DPAD1，则AP3，ODOB，即可得到点P与点

22

13

B重合，则OAAB2OB2，由此即可得到答案．

2

【详解】解：作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN，MF，NE，AN，AM，

由作图得：ANAOAM，NADDAO，MABBAO，NEOE，MFOF，

∴OEF的周长OEOFEFMEEFMF，

∴当M、E、F、N四点共线时MEEFMF，即此时OEF的周长最小，最小值为MN的长，

∵DAB30，

∴MAN60，

∴△MAN是等边三角形，

∴MNAMAO；

过D作DPAB交直线AB于P，

∵四边形ABCD是平行四边形，

1

∴ADBC2，ODOBBD，

2

在RtADP中，∠DAP30，∠DPA90，

1

∴DPAD1，

2

11

∴APAD2BD23，ODOBBD，

22

∴ABAP3，

∴点P与点B重合，

13

∴OAAB2OB2，

2

13

∴MN

2

13

∴OEF的周长最小值为，

2

题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）

鞍山·中考真题

17．如图，在平面直角坐标系中，已知A(3,6),B(2,2)，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），

且始终保持CD1，线段CD在x轴上平移，当ADBC的值最小时，点C的坐标为．

【答案】（-1，0）

【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，

过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D

坐标，从而可得点C坐标．

【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x

轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，

可知四边形B′B″DC为平行四边形，

则B′C=B″D，

由对称性质可得：BC=B′C，

∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，

则此时AB″最小，即AD+BC最小，

∵A（3，6），B（-2，2），

∴B′（-2，-2），

∴B″（-1，-2），

设直线AB″的表达式为：y=kx+b，

63kbk2

则，解得：，

2kbb0

∴直线AB″的表达式为：y=2x，

令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），

∴点C坐标为（-1，0），

故答案为：（-1，0）．

聊城·中考真题

18．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，

D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形

BDEF的周长最小时，点E的坐标为．

【答案】0.4,0

【详解】解：如图所示，∵D（0，4），

∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），

∴ED=EH，

将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），

∴EF=HG，EF∥HG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∴EH=FG，

∴FG=ED，

∵B（-4，6），

22

∴BD=4064=25，

又∵EF＝3，

∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=25+FG+3+BF,

要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，

而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，

设直线BG的解析式为：ykxbk0

∵B（-4，6），G（-3，-4），

4kb6

∴，

3kb4

k10

∴，

b34

∴y10x34，

当y=0时，x3.4，

∴F3.4,0，

∴E0.4,0

故答案为：0.4,0．

19．如图，在平面直角坐标系中有A0,3，D5,0两点．将直线l1：yx向上平移2个单位长度得

到直线l2，点B在直线l2上，过点B作直线l1的垂线，垂足为点C，连接AB，BC，CD，则折

线ABCD的长ABBCCD的最小值为．

【答案】252

【分析】先证四边形ABCF是平行四边形，可得ABCF，则ABBCCDCF2CD，即当

点C，点D，点F三点共线时，CFCD有最小值为DF的长，即ABBCCD有最小值，即可求

解．

【详解】解：如图，将点A沿y轴向下平移2个单位得到E0，1，以AE为斜边，作等腰直角三角形

AEF，则点F1，2，连接CF，

AEF是等腰直角三角形，

AFEF2，AEF45，

将直线l1：yx向上平移2个单位长度得到直线l2，

AOC45，BC2，

BCAF2，AEFAOC45，

EF//OC，

AFEF，BCOC，

AF//BC，

四边形ABCF是平行四边形，

ABCF，

ABBCCDCF2CD，

当点C，点D，点F三点共线时，CFCD有最小值为DF的长，即ABBCCD有最小值，

点D5，0，点F1，2，

DF(51)2(20)225，

折线ABCD的长ABBCCD的最小值为252

广西来宾中考真题

20．如图，已知点A(3,0)，B(1,0)，两点C(3,9)，D(2,4)在抛物线y=x2上，向左或向右平移抛物

线后，C，D的对应点分别为C，D¢，当四边形ABCD的周长最小时，抛物线的解析式

为．

2

25

【答案】yx．

13

【详解】解：∵A(3,0)，B(1,0)，C(3,9)，D(2,4)，

22

∴AB312，CD329452，

由平移的性质可知：C'D'CD52,

∴四边形ABCD的周长为ABBC'C'D'D'A2BC'52D'A；

要使其周长最小，则应使BC'D'A的值最小；

设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；

∴C'3a,9，D'2a,4，

将D'向左平移2个单位得到D''a,4，则由平移的性质可知：BD''AD'，

将D''a,4关于x轴的对称点记为点E，则Ea,4，由轴对称性质可知，BD''BE,

∴BC'D'ABC'BE，

当B、E、C'三点共线时，BC'BE的值最小，

设直线BC'的解析式为：ykxbk0，

9

k

3akb9a4

∴，当a4时，∴

kb09

b

4a

99

∴yx，

a44a

99

将E点坐标代入解析式可得：4a，

a44a

2522

解得：a，此时BC'BEC'E3aa94178，

13

此时四边形ABCD的周长为ABBC'C'D'D'A252178；

当a4时，C'1,9，D'6,4，A(3,0)，B(1,0)，

此时四边形ABCD的周长为：

22

ABBC'C'D'D'A2905263401652；

∵2521781652，

2

252525

∴当a时，其周长最小，所以抛物线向右平移了个单位，所以其解析式为：yx

131313

题型四垂线段最短

21．（2023下·湛江·二模）如图，在Rt△ABC中，ACB90，AC6，BC8，AB10，AD

平分CAB交BC于点D，点E、F分别是AD、AC边上的动点，则CEEF的最小值

为．

24

【答案】

5

【详解】解：如图，在AB上取一点F，使AFAF，连接EF，作CHAB，

AD平分BAC，

\ÐDAC=ÐDAB，

AEAE，

∴AEF≌AEFSAS，

EFEF，

CEEFCEEF，

∴当点C，E，F在同一条线上，且CEAB时，CEEF最小，即CEEF最小，其值为CH，

11

SACBCABCH，

ABC22

ACBC6824

CH，

AB105

24

即CEEF的最小值为

5

22．如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，点A为射线OM上一点，OA＝4，点E，F分别为射线

OP，OM上的动点，连接AE，EF，则AE＋EF的最小值为_________．

N

P

E

M

OFA

【答案】22

【解析】在ON上截取OG＝OF，连接EG，过点A作AH⊥ON于点H．

N

H

P

G

E

M

OFA

∵OG＝OF，∠EOG＝∠EOF，OE＝OE，

∴△OEG≌△OEF，∴EG＝EF，

∴AE＋EF＝AE＋EG≥AH．

2

∵∠MON＝45°，OA＝4，∴AH＝OA＝22．

2

2022·贵州毕节·中考真题

23．如图，在RtABC中，BAC90,AB3,BC5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，

PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为．

12

【答案】

5

【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利

用垂线段最短得到点P的位置，再证明△CAB∽△CPO利用对应线段的比得到OP的长度，继而得

到PQ的长度．

【详解】解：∵BAC90,AB3,BC5，

∴ACBC2AB24，

∵四边形APCQ是平行四边形，

∴PO＝QO，CO＝AO，

∵PQ最短也就是PO最短，

∴过O作BC的垂线OP，

∵ACBPCOCPOCAB90,

∴△CAB∽△CPO,

COOP

∴，

BCAB

2OP612

∴，∴OP=，∴则PQ的最小值为2OP=

5355

2022铜仁

24．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点

M落在四边形ABCE内，点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN＋

NP的最小值为_________．

DC

N

EP

M

AB

8

【答案】

5

【解析】分别过点M，N作CD的垂线，垂足为M，N．

DGHC

N

EP

M

AB

由题意，∠EMC＝∠D＝90°，MC＝DC＝2．

∵NP∥EM，∴∠NPC＝∠EMC＝90°．

∵∠ECM＝∠ECD，∴NP＝NH，

∴MN＋NP＝MN＋NH≥MG．

1

∵点E为AD的中点，∴tan∠ECD＝，

2

4

∴由12345模型可知tan∠DCM＝，

3

448

∴sin∠DCM＝，∴MG＝MC＝，

555

8

∴MN＋NP的最小值为．

5

25．（2023·鸡西·三模）如图，在