专升本（高等数学一）模拟试卷7

专升本(高等数学一)模拟试卷7(共8

套)

(共224题)

专升本(高等数学一)模拟试卷第1套

一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

1、函数f(x)=1，+l,刀>1在点x=l连续，则a等于•().

A、0

B、1

C、2

D、3

标准答案：C

lim/(x)=lim-----=)=2,

Iil-

lim/(x)=)=2,

I-I*

lim/(x)=lim/(x)=lW(x)=2,

知识点解析：由于由于f(l)=a,f(x)在x=l处

连续,因此a=2.可知应选c.

2、函数y=f(x)在(a,b)内二阶可导,且S(x)>0,r(x)<0,则曲线y=f(x)在(a,

b)内().

A、单调增加且为凹

B、单调增加且为凸

C、单调减少且为凹

D、单调减少且为凸

标准答案：B

知识点解析：由于在(a,b)内P(x)>0,可知f(x)在⑶b)内单调增加,又由于P'(x)

<0,可知曲线y=f(x)在(a,b)内为凸，可知应选B。

3、当x—0时，x2是x-ln(l+x)的().

A、较高阶的无穷小量

B、等价无穷小量

C、同阶但不等价无穷小量

D、较低阶的无穷小量

标准答案：C

lim-r-y------=lim-*=00产(|+垃=2,

知识点解析：由于不工可知当X-0时，与

X—ln(l+x)为同阶但不等价无穷小量.故应选C.

4、函数y=x2—x+1在区间［—1,3］上满足拉格朗日中值定理的自等于().

A、一3/4

B、0

C、3/4

D、1

标准答案：D

知识点解析：由于y=x2—x+1在［1,3］上连续，在(一1,3)内可导，可知)，在［一

1,引上满足拉格朗日中值定理.又由于y，=2x-l,因此必定存在痣日一1,3),

使f(3)=f(3)—f(-1)=(2^—1)［3—(一1)］,7—3=(2：—1).4,《=1.可知应选D.

5、设x=l为y=x3—ax的极小值点，则a等于().

A、3

B、8

C、1

D、1/3

标准答案：A

知识点解析：由于y=x3—ax,y,=3x2—a,令y，=0,可得x=a/3由于x=1为y

的极小值点，因此y'lx=l=0，从而知12=a/3,a=3.故应选A.

6、设函数f(x)=arcsinx,则f*(x)等于().

A、-sinx

B、cosx

c、-x2

D、-

标准答案：C

知识点解析：f(x)=arcsinx,f(x)=J1-2可知应选C.

7、设f(x)的一个原函数为x2,则r(x)等于().

A、X3/3

B、x2

C、2x

D、2

标准答案：D

知识点解析：由于X?为f(x)的原函数，因此f(x)=(x2)，=2x，因此r(x)=2.可知

应选D.

8、Jo%2xdx等于().

A、2(e-2-1)

B、(e-2-l)/2

C、-2(e-2-l)

D、一『-1)/2

标准答案：D

知识点解析：Jo%—2xdx=-(l/2)卜％一2xd(—2x)="(1/2)e-2xIo1=-(e-2-1)/

2.因此选D.

9、设有直线h：(x—1)/l=(y+2)/2=z/入，12：x/2=(y+1)/4=(z+5)/一

1,当直线h与12平行时，A等于().

A、1

B、0

C、-1/2

D、-1

标准答案：C

知识点解析：直线h：(x—l)/l=(y+2)/2—z/入12：x/2=(y+l)/4=(z+5)/

(一1)其方向向量si=(L2,1),S2=(2,4,-1).I1IH2，则1/2=2/4=九/(一

1)从而入=1/2,可知应选C.

10、下列命题中正确的有

共设级数£，收敛，£外发散,则级数£(1・+%)可能收敛

•-I•・・

B.设级数£/收敛，£以发散,则级数£(«,♦%)必定发散

■,1・・I・•I

c.设级数收敛，且As=k,k+1,…)，则级数£%必定收敛

D.设级数£(u.+内收敛，则有£(“,+%)=£u.+ft.

().->总占总

A、

B、

c、

D、

标准答案：B

f吗收敛，则t（%+».）

知识点解析：由级数的性质：若•/-•必定收敛，利用

反证法可知，若*+必定发散.

可知应选B.通

常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用.

二、填空题（本题共70题，每题1.0分，共10分。）

11、则芸）；

标准答案：e

知识点解析:

12、设y=ln(l+x)/(l+x),则y，lx=0=.

标准答案：1

知识点解析：

由于F」n(l+%)可知，ln(1+%)”皿1+力)/而右”.

由于"，可知厂(牛尸--------7Tb，进而有”e1.

13、设Jo+，a/(l+x2)]dx=l,则@=.

标准答案：2/71

f.°-02dx.

Jo1+xJ..JO1+x2

:limaarctanxI

一♦■I0

=ya=l.

知识点解析：因此a=2/TI

14、foI(x24-2x)dx=.

标准答案：1/3+1/ln2

知识点解析：j(j(x2+2x)dx=j(jx2dx+j(j2x=x3/3I()*+2X/ln2I(/=1/3+1/

ln2

15、设y=y(x)由方程x?+xy2+2y=l确定，则dy=.

标准答案：-2(即+1)

知识点解析：解法1将所给表达式两端关于x求导，可得2x+y22+2xyy，+2y，=

一24"也

0.从而2(%尹1)解法2将所给表达式两端微分，dx2+dxy2+2dy=dl,2xdx

…2J.

d吟2x十一心

+/dx+2xydy+2dy=0,(2x+y2)dx+2(xy+l)dy=0,'2(1+xy)

.2%+y21

dy=-T7---^77北

16、微分方程丫”=丫的通解为.

标准答案：y=Ciex+C2ex

知识点解析：将方程变形，化为y"一y=0,特征方程为J—1=0,特征根为门=

-1,「2=1，因此方程的通解为y=C2ex+C2ex.

17、二元函数z=x?+y2+i的极小值为.

标准答案：1

Z=1

知识点解析：z=x2+y24-l>l.'可知点(0,0)为z的极小值点，极小值

为1.

dz

18、二元函数z=xy2+arcsiny2,则切=.

标准答案：y2

知识点解析：只需将y,arcsiny2认作为常数，则最=y2.

IT

19、设区域D为y=x2,x=y2围成的在第一象限内的区域，则当dxdy=

标准答案：1/3

再5打：匕瓢山心

=j（GT）d%=（尹卜

知识点解析:T

yJ

20、嘉级数£3・的收敛半径为

标准答案：&

知识点解析：所给级数为缺项情形，

可知当X2/3V1,即X2<3,

-6<x<4■时所给级数绝对收敛，因此收敛半径为G.

三、简单解答题（本题共5题，每题上0分，共5分0）

i.1-008-

21、求黑痴(】-»);

xl

1-C08X.山2_

标准答案：解法1i31n(lr)-17-丁解法2

P1-cosx..1-co«x..sinx1

hm-7-7:r=iim------5—=nm—z—=—r-<

-oxln(1-x)r-x»--o-zx2

知识点解析：暂无解析

22、设丫=乂+@「以@僦，求y'.

标准答案：y'=(x+arctanx)'=x'+(arctanx)'=l+l/(l+x2).

知识点解析：暂无解析

23、计算"1+"77

标准答案：设t=6♦%,则x=t2-i,dx=2tdt.当x=0时，1=1；当x=3时,

（目”•1冷一伽-rh）“

t=2.则=2"…T：=2（>得）.

知识点解析：暂无解析

24、计算Jj/l/x2)dx.

1_、什…八f=lim,=Um-=I.

标准答案：JIXJ2J1X2I"x1

知识点解析：暂无解析

25、求y”+4y，+4y=e'的通解.

标准答案：相应的齐次方程为y”+4y，+4y=0,特征方程为「2+4r+4=0,即(r+

2)2=0,特征根为r=-2(二重根)，齐次方程的通解为y=(Q+C2X)e—2x.设所给

方程的特解y'=Aex,代入所给方程可得A=l,从而y”=ex.故原方程的通解

为y=(Ci+C2X)e2xe"+ex.

知识点解析：暂无解析

四、复杂解答题(本题共3题，每题7.0分，共3分0)

26、求Jxsinxdx.

标准答案：设u=x,v*=sinx,则u'=l,v=-cosx,fsinxdx=—xcosx+cosxdx=

—xcosx|-sinx4C.

知识点解析：暂无解析

27、计算,(siny/y)dxdy,其中D是曲y=x,x=0,y=l围成的平面区域.

f学击dy=号1=J；乎［dy

=1sinydy=-cosy=1-cos1.

标准答案：I。

知识点解析：暂无解析

28、求由曲y=x,y=lnx及y=0,y=l围成的平面图形的面积S及此平面图形绕

y轴旋转一周所得旋转体体积.

标准答案：所给曲线围成的图形如图所示.

—y)dy=(e＞，—y2/2)Io1=e—3/2\^=兀h02(1丫-兀］0。2(1丫=(兀/

2)e2yIo1-'y3/?!Io1=ne2/2—5兀/6.

知识点解析：暂无解析

专升本(高等数学一)模拟试卷第2套

一、选择题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

1limc;/、

1、.7()

A、0

B、1

C>oo

D、不存在但不是8

标准答案：D

知识点解析：本题考查了函数的极限的知识点...•匕/=8'黑；~".」，廿不存在,

故选D.

2、若f(x—l)=x2-1,则r(x)等于()

A、2x+2

x(x+l)

C、x(x-1)

D、2x—1

标准答案：A

知识点解析：本题考查了一元函数的一阶导数的知识点.因f(x—l)=x2—1,故

f(x)=(x+l)2-I=X2+2X,贝|Jf(z)=2x+2.

3、设f(x)=fosinxsinrdt,g(x)=x3+x4,当x->0时f(x)与g(g)是()

A、等价无穷小

B、f(x)是比g(x)高阶无穷小

C^f(x)是比g(x)低阶无穷小

D、f(x)与g(x)是同阶但非等价无穷小

标准答案：D

知识点解析：本题考查了两个无穷小量阶的比较的知识点.史(Jo°sim2d()/(x3+x4)=

'吧［sin(sin2x)*cosx|/(3x2+4x3)(等价无穷小代换尸'吧x2/(3x?+4x3)='吧l/(3+4x)=l/3故

f(x)与g(x)是同价但非等价无穷小.

4、函数yne'+arctanx在区间「一1,1］上()

A、单调减少

B、单调增加

C、无最大值

D、无最小值

标准答案：B

知识点解析：本题考查了函数的单调性的知识点.因y'=ex十l/(l+x2)〉0处处成

立，于是函数在(一00,+8)内都是单调增加的，故在［-1,1］上单调增加.

5>^Ji+oof(x)dx=l成立的5乂)为()

A>1/x2

B、1/x

C、e-x

D、l/(l+x2)

标准答案：A

知识点解析：本题考查了函数的单调性的知识点.因y=ex十i/(“x2)>0处处成

立，于是函数在(一00,+8)内都是单调增加的，故在［-1,1］上单调增加.

6、已知J()k(2x—3x2)dx=0,则k=()

或1

A、0

或-

B、0

或2

、0

C或

-

D、1

标准答案：A

知识点解析：本题考查了定积分的知识点.J()kdx=(x2—x+|()k=k2—k3=k?(l—

k)=0,所以k=0或k=L

生I

7、设函数z=xy2+e*y,则初小’等于()

A、0

B、1

C、2

D、一1

标准答案：C

知识点解析：本题考查了函数在一点处的一阶偏导数的知识点.因2=乂丫2+©乂纥从

而zI(x,i)=x+e、于是wL=l+e°=2.

8、方程x2+y2—z2=0表示的二次曲面是()

A、球面

B、旋转抛物面

C、圆柱面

D、圆锥面

标准答案：D

知识点解析：本题考查了二次曲面(圆锥面)的知识点.因方程可化为，z2=xx+y2,

由方程可知它表示的是圆锥面.

9、foK"22sinxdx=()

A、1/2

B、1

C、2

D、3

标准答案：C

知识点解析：本题考查了定积分的知识点.Jog与sinxdx二一2cosxIo"2二一

2(COSH/2―cos0)=2

10、微分方程y"-2y=ex的特解形式应设为()

A、y*=Aex

B、y*=Axex

C、y*=2ex

D、y*=ex

标准答案：A

知识点解析：本题考查了二阶线性微分方程的特解形式的知识点.由方程知，其特

征方程为，「2-2=0,有两个特征根一士火又自由项f(x)=e',入=1不是特征根，故

将解y*可设为Aex.

二、填空题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

F(x)-fr(2-1)di(r>0)

11、函数”的单调递减区间是________.

标准答案：0

知识点解析：本题考查了函数的单调区间的知识点.由F(x尸

F<x»-j*(2-^-Jdf(jr>0),»i।।1n1.”,=十..故当0

hm”lx.-r)

12、若f(xo)=l,f(XQ)=0,则“,=.

标准答案：一1

知识点解析：本题考查了利用导数定义求极限的知识

5叭»・9.J"1上空221nm・—―心…

点.T

13、若x=atcost,y=atsint,则dy/dxIE/2________

标准答案：一2/兀

知识点解析：本题考查了对由参数方程确定的函数求导的知识点.参数方程为

招》—huraz.M”招—

/-iiSL+-cS2r\|w_f----------&.

,,“、ad[A</).dlMn"|一/■X

小汽二防..本题1---2

14、由Jf(x)dx=arctanl/x+C,求f(x)的导数等于.

标准答案：2X/[(X2+1)2]

知识点解析：本题考查了一元函数的导数的知识点.Jf(x)dx=arctan(l/x)+C两边对x

求导，得f(x)」‘G)'”所以「(X尸2X/[(X2+1)2].

15、f(l/2x)dx.

标准答案：l/21nIxI+C

知识点解析：本题考查了不定积分的知识点.j(l/2x)dx=l/2j(l/x)dx=l/21nIxI+C

标准答案：71/6

知识点解析：本题考查了利用换元法求定积分的知识

L77^7-'石**，--2(n/4—7t/6)=7t/6.

17、设函数z=x2©y,则全微分dz=.

标准答案：dz=2xeydx+x2eydy

知识点解析：本题考查了二元函数的全微分的知识点.生T"m「"，则

dz=2xeydx+x2eydy.

18、设z=f厂(x2+y2,产丫)可微，则康.

标准答案:2yf|-*x/y2ex/yf2

知识点解析：本题考查了复合函数的一阶偏导数的知识

点.I…八尔，•(一负)—

19、若将I=JJdxJoMxf(x,y)dy改变积分顺序，则I二.

标准答案：HdyJcyCf(x,y)dx

知识点解析：本题考查了改变积分顺序的知识点.因积分区域D={(x,y)I

l<x<e,0<y<lnx)=}{(x,y)I0<y<l,ey<x<e),所以I=J(?dyJe”f(x,y)dx注：画出草

图就能清楚地看出积分区域的特征.

20、y”一2y，-3y=0的通解是.

x3x

标准答案：y=Cie~~+C2e

知识点解析：本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点.由y”一2y，一

3y=0的特征方程为/一2-3=0,得特征根为n=3,12=—1,所以方程的通解为

x3x

y=Cie-+C2e.

三、简单解答题(本题共5题，每题1.0分，共5分°)

21、设f(x)=(x—3)9心—3)/sm(x—3),求f(x)的间断点.

标准答案：由题意知，使f(x)不成立的x值，均为f(x)的间断点.故sin(x-3)=0

或x-3=0时,(x)无意义，则间断点为x―3=k7t(k=O,±1,±2,...).即

x=3+k7i(k=O,±1,±2,...).

知识点解析：暂无解析

22、已知由吩/出现、2costdt+cosy2确定y是z的函数，求dy.

标准答案：等式两边对x求导得，cy2*y,=cosx2-2x+(-siny2)-2yy,,所

y,=2xcosx2/(ey2+2y*siny2),故dy=2xcosx2/(ey2+2ysiny2)dx.

知识点解析：暂无解析

23、如果J(x)e—i"dx=e—I&+C,试求Jf(x)dx.

标准答案：由Jf(x)e-Ux+c,两端对x求导，得f(x)eT/x=e—Ux.i/x2,所以

f(x)=1/x2,故fJ(x)dx=J(l/x2)dx=(一l/x)+C

知识点解析：暂无解析

arcsinyx

24、求

行AroUnr..外Kartstni

—,——=­•2r山二2

小〃”一再

■2JMFtnrdn心“)―(arrsinr)7

标准答案：令石则原式=(归一(9-言

知识点解析：暂无解析

25、设2二5力

a»1_J__.J______I

"2"JxT2Vx4G+7j»>

率~-=---.di_jkv1

标准答案：由所以z3343居、6「了

知识点解析：暂无解析

四、复杂解答题(本题共3题，每题7.0分，共3分0)

26、计算dxdy,其中D为x2+y2q,且疟0,yNO的所围区域

标准答案：用极坐标解(积分区域和被积函数均适宜用极坐标处

卜"rfxdj-心cW-'制J八*一；(<_[).

理).

知识点解析：暂无解析

(「'5皿

aT77d4-

25

27、求',E在t=l处的切线方程。

标准答案：由dy=[4at(1+t2)—2t*2at2]/[(1+t2)2]dt=4at/[(1+t2)2]dt,dx=5at/(l+t2)2dtJ9r

以y，=dy/dx=4/5,而0时，y=a,x=fo15au/[(1+u2)2du]=5/4a»故切线方程为y-

£f»力

-升小]l：

a=4/5(x—5/4a),即y=4/5x注：2'2+11'T-

知识点解析：暂无解析

28、已知两直线L|；(x—l)/l=(y—2)/0=(z—3)/—l和L2：(xI2)/2=(y—1)/l=z/l.求

过L1且平行于L2的平面的方程.

标准答案：过Li且平行于L2的平面兀的法线n应垂直于L],L2，故好

21,1由平面过Li，故其过点(1：2,3),所以平面方程为(x—

1)一3(y-2)+(z-3)=0,即x—3y+z+2=O.

知识点解析：暂无解析

专升本(高等数学一)模拟试卷第3套

一、选择题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

/<x)在点刖有定义是lim/(外存在的

1、J"

A、充分非必要条件

B、必要非允分条件

C、充分必要条件

D、无关条件

标准答案：D

lira/(x)是/(x)在点xo的去心邻域(xo-J.xo)U(xo,xo+J)

x-Mo

知识点解析：内的概念，与/(X)在点必处是否有定义无关・

x2xWO

函数/(¥)=|在JT=O间断，原因是

-x>0

X

A.f(x)在x=0无定义

B.不存在

JT”

C.lim/(x)不存在

D.lim/(x).lim/(x)均存在，但不相等

2、

A、

B、

C、

D、

标准答案；B

limx2=0.lim—=©o.因此/(x)在x=0间断的原因是B.

知识点解析：1r'"X

3、

A、

B、e-273

C、e2/3

D、e2

标准答案：B

eL因此选B.

知识点解析:

/(2)-/(2-/O二

设“外在点x=2处可3，且/'⑵=1,mlim

4、2h

A、1

B、2

C、1/2

D、-1

标准答案：C

由于八2）=1,则

知识点解析：1户陋*.那曲”此选c

5、曲线y=x-F在点（0,/）处切线的斜率k=

A、2

B、1

C＞0

D、-1

标准答案：C

知识点解析：k由心°,可知应选c

sin5xdx

6、

A、＞0

B、＜0

C、=0

D、不存在

标准答案：C

知识点解析：被积函数si/x为奇函数，积分区间［-1,1］为对称区间。由定积分的

对称性质知选C。

3

B.

2

2

D.

3

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

v*»cI-ef-—xl=——e,因此=—±»可知应选A.

知识点解析：'I2J22

设区域。={(x,y)|x2+VWby20},则jjdxdy=

D.2x

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：

由于区域。的图形为由x?+/=l围成的例的上半部，所以“心仃=工，故应选B.

n2

级数£（-1）~彳储为大于零的常数）

9、标

A、绝对收敛

B、条件收敛

C、发散

D、收敛性与口有关

标准答案：A

级数彳,

=4»£3为p=：＞】的0级数.因此为收敛级数,

由级数性质可知£彳收

敛，故£（-1广,彳绝对收敛，应选A.

知识点解析：标

10、设yi、y2是二阶常系数线性齐次方程y"+piy'+p2y=0的两个特解，CI、Q为

两个任意常数，则下列命题中正确的是

A、Jyi+C2y2为该方程的通解

B、Ciyi+C2y2不可能是该方程的通解

C、Jyi+C2y2为该方程的解

D、Ciyi+C2y2不是该方程的解

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

二、填空题（本题共10题，每题1.0分，共10分。）

sin5x

lim------

11、x

标准答案：5

知识点解析：暂无解析

12、Ix-2

标准答案：10

知识点解析：暂无解析

13、设y=ex/x,则dy=

-5—小

标准答案：”

知识点解析：暂无解析

14、设y=cosx,则y"=

标准答案：-cosx

知识点解析：暂无解析

15、x+4

标准答案：3lnIx+4I+C

知识点解析：暂无解析

[l3cosxdr=

16、J。

标准答案：3sinl

知识点解析：暂无解析

Sz=y2et+xy+l则称

17、

标准答案:2yex+x

知识点解析：暂无解析

过点(0.0.0)且与直线单=亭=色平行的直线方程为_________.

18、।2-I

标准答案：x/l=y/2=z/-l

知识点解析：暂无解析

设区域O={(x,7)卜1WxW1,0WyW2},则jjxdrdy=.

19、D

标准答案：0

知识点解析：暂无解析

¥级数0/的收敛半径为.

20、z

标准答案：1/3

知识点解析：暂无解析

三、简单解答题(本题共8题，每题7.〃分，共8分0)

求lim----------

♦xx-sinx

..6x,

=hm------=6・

—sinx

也可以利用当XTO时，1-cosx〜/，得

X，3x?3f

hm----------=lim-----------=hm-=6.

ix-sinxi”cosx—x'

标准答案：2

知识点解析：暂无解析

=J(2+xfd(2+x)=2(2+x)'+C.

标准答案:

知识点解析：暂无解析

23、设z=z(x,y)由方程z^y-xz-kO确定，求出。

令尸(》•y,z)=z3y-xz-1=0,

F：=-z,耳=z',F；=3z2y-x,

..-x-dzzdz/

从而五=可『苏"-而匚

所以dz=—」---(zdr-z3dy).

标准答案：3z)-x

知识点解析：暂无解析

24、

计算二重积分/="(/+力dxdy.其中。是f+./W1,x20,户0所围的平面区域.

D

标准答案：

。的图形见右图中阴影部分.

在极坐标系下0满足owew］，ow,wi,

/=J|(x2+y2)dxdy=J^d^J^r2・rdr

知识点解析：暂无解析

求察级数£2、”的收敛区间《不考虑端点).

25、z

"I2(^1)

11

由2\X2\<\可解得

故所给级数收敛区间为

标准答案:

知识点解析：暂无解析

26、求微分方程y”-4y74y=e-2x的通解。

标准答案：

原方程对应的齐次方程为/-4/+4^=0,

特征方程及特征根为，-〃+4=0,〃,2=2,

齐次方程的通解为r=(c,+cpe2\

在自由项/(x)=e口中，a=-2不是特征根，所以设y・=4e-3代入原方程，有

故原方程通解为y=(G+G)/+\户.

知识点解析：暂无解析

27、求曲线y=x2在(0,1)内的一条切线，使由该切线与x=0、x=l和y=x?所围图形

的面积最小。

标准答案：

设所求切线的切点为(a,b),见右图，则5=/

y»xi

儿”=叫…=2*切线方程为

y-b=2a(x-a)

y=2ax-2a2+b

=2ax-a2・

设对应图形面积为4则

A=—(2or—/)-ar2="一0+；.

令彳'=2。­1=0,解得唯一驻点a=l€(0,1).

2

又/"=2>0,所以当。=；时面枳有唯一极小值，即最小值.

当°时，b=y=i»

故所求切线是y——-=x—»即4x-4y—1=0.

42

知识点解析：暂无解析

设/a)是可微函数，满足方程/a)=也+/,[i/(o)=0,求/a).

28、

对/《力=J；/(。市♦/两边求导r(x)=/(x)+2x,

即J-y=2x.

因为jlxe^ld，dx=2jxe,dr=2jxd(-er)

=-2xe-x-2卜&=

故有y=e'(-2mY-2尸+G=-2x-2+Ce*.

标准答案：将/(°)=0代入，有0=-2+C,C=2,故所求为/(x)=2e'-2x-2.

知识点解析：暂无解析

专升本(高等数学一)模拟试卷第4套

一、选择题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

lim/(T)

1、函数f(x)在点X0处有定义是L为存在的【】

A、充分条件

B、必要条件

C、充要条件

D、以上都不对

标准答案：D

知识点解析：本题考杳了判断函数极限的存在性的知识点.极限是否存在与函数在

该点有无定义无关.

(71+2/,

/(%)=«_

2、设函数〔限才=0在x=()连续，则k等于【】

A、e2

B、e-2

C、1

D、0

标准答案：A

知识点解析：本题考查了函数在一点处的连续性的知识

由lim—1+2z=lim(1+=

/1,0

2

1,lim(1+=e.T7m々八\i〃、天

点..-•<>又因f(O)=k,f(x)在

x=0处连续，故k=e?.

..JC+a«r十人匚

hm-------—=5

3、若，・2X-L，则【】

A、a=—9,b=14

B、a=l,b=-6

C^a=-2,b=0

D、a=­2,b=—5

标准答案：B

知识点解析：本题考查了洛必达法则的知识

因lim才+3=5,则lim(12+ar+6)=0,

点.八2工一2因此4+2a+b=0,即

/+or+8

故5=lim

x-2

x1+ar-2a—4

=lim

一2I-2

(z-2)(«r+2)+a(z-2)

7^1

=lim(-r+2+a)=4+a,

2a+b=-4或b=—4—2a.•r—2所以a=l,而

b=—6.H

=

4、曲线yT1T十TZ/[]

A、有一个拐点

B、有两个拐点

C、有三个拐点

D、无拐点

标准答案：D

知识点解析：本题考查r曲线的拐点的知识

因八*

点.(1+—(1+”尸则y”在定义域内恒不等于0,所以无

拐点.

A.3-+CB.=+CC.x十CD.0一1

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

Jx2dx=■工3+C.

知识点解析：本题考查了不定积分的知识点

**

6、已知°(2x—3x2)dx=0,则k=[]

A、0或1

B、0或一1

C、0或2

D、1或一1

标准答案：A

知识点解析：本题考查了定积分的知识点.fok(2x-3x2)dx=(x2-x3)|ok=k2-k3=

k2(l-k)=0,所以k=0或k=l.

1

y------

7、由曲线7,直线y=x,x=2所围面不只为【】

Aj(")dz

C,J：(2_《)dy+J：(2一》曲D.j：(2-5)dz+[(2-z)dz

0

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

1

知识点解析：本题考查了曲线所围成的面积的知识点.曲线y二工与直线y=x,

x-2所围成的区域D如下图所示,

8、设z=x3-3x-y,则它在点(1,0)处【】

A、取得极大值

B、取得极小值

C、无极值

D、无法判定

标准答案：C

8z生

知识点解析：本题考查了函数在一点处的极值的知识点.£=3x2-3,&y=-

1/0,显然点(1,0)不是驻点，故其处无极值.区

0O

lima.=0,则数项级数V%

9、若…e[]

A、收敛

B、发散

C、收敛且和为零

D、可能收敛也可能发散

标准答案：D

知识点解析•：本题考查了数项级数收敛的必要条件的知识

oo

lima.=0是级数X&

点.1G收敛的必要条件，但不是充分条件，从例子

收敛.它工冈

〃邑〃发散，即可知应选D.口

10、微分方程y"—2y'=x的特解应设为【】

A、Ax

B、Ax+B

C^AX2+BX

D、AX2+BX+C

标准答案：C

知识点解析：本题考查了二阶常系数微分方程的特解的知识点.因f(X)=X为一次

函数，且特征方程为J—2r=0,得特征根为n=0,r2=2,于是特解应设为

*7

y=(Ax+B)x=Ax"+Bx.

二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

sinai.X<1,

/(z)=

11、设a(z~l)+l.•若f(x)在x-l处连续，则a-

标准答案:2时+>=。，±1，土2「.

知识点解析：本题考查了函数在一点处的连续性的知识

由lim/(J-)=limsinew=sin”，

lim/(jr)=1)+1]=1,

八占、、•.，・JJ•!"且f(D=l，所以f(x)

在x二l连续，应有Irina,所以，冗十"=。，土1,±2.….□

12、极限Z.

标准答案：e1

lim(1H——•)=e

知识点解析：本题考查了，一'/7的应用的知识

因lim(---)=lim(1----)=

3如[(1-+)丁=葭s

13、y=cos(e；),求dy=_____

标准答案：》.n(S必

知识点解析：本题考查了一元函数的微分的知识

y=cos(e7)则dy=—sin(e7)

所以dy=sinCe^)d.r.

点.z

"/=告.'=「'，则¥=

14、1+fdz______.

标准答案：-3t2(l+t)2

知识点解析：本题考查了由参数方程确定的函数的导数的知识

dy一言—"3-

drdr/]\,一1

点.由11+〃(1+。2=—3*(|+i)2

15、y=y(x)是由方程xy=e)’*确定的函数，则dy=.

仁j

标准答案：。

知识点解析：本题考查了隐函数的微分的知识点.方程两边对X求导，注意y是X

,y+e—

所以y=----，

e—J-

即dy=----dx.

的函数，有y+xy'=9x(y'-1),e-«r注：由

一阶微分的形式不变形可求解如卜.:ydx+xdy二e＞、(dy—dx),即(e)'x—x)dy=(y+

V+ey.

冈

ey-X)dx,所以cF-----J-d].u

sscr

16、1+tan/

-i~~;------FC

标准答案：1+tanj

知识点解析：本题考查了不定积分的换元积分的知识

由i(r^)'=f、£%也

Jv1+tanr7J(1+tanr)

令tanx=〃，则原式=J(]，〃卢”=­]*J+

C=-T--r------FC.

八占、、•1+tanx

z=ln，1+f+y2,则-

17、设dTdy=.

-2xy

标准答案：(l+”'+J)2

知识点解析：本题考瓷了二元函数的混合偏导数的知识

z=In+jr?+—,则

ate=].2-

益—，1+f，.2/+f+/

=1+丁+尸

所以必_=―一三-•3—=一一5____

点.dxdy(1+/+,2)2(1+/+丁产

f[(x2+y)2da

18、若D是中心在原点、半径为a的圆形区域，则也

标准答案：3

知识点解析：本题考查了利用极坐标求二重积分的知识

+丁）2匕=J。d^r4»rdr

D

■4-fl6X2K=4汽"・

点.bo

2k^工”

n

19、幕级数”=1*2"的收敛区间为

标准答案：（一2,2|

知识点解析：本题考查了累级数的收敛区间的知识

1

lim-------------------

n-2"

贝刎攵敛半径R-2,而

B

x=2时，级数有〃收敛，x=-2时，级数〃发散，所以收敛区间为

（-2,2],注：不考虑端点时，收敛区间可写为（一2,2）.回

20、方程y〃+yx+y=2xe-x的特解可设为y*=.

标准答案：（Ax+B）e-'（A、B为待定常数）

知识点解析•：本题考查了二阶线性微分方程的特解的知识点.方程y"+y+y=0的特

_1,73.

征方程为/+1=0,特征根为2工2,方程的非齐次项为2x1x,-1不

是特征根，故原方程有特解y*=（Ax+B）Cx,A、B为待定常数.

三、简单解答题（本题共8题，每题7.0分，共8分0）

21、确定函数f（x,y）=3axy—X，—y3（a〉0）的极值点.

翳=如-3/措=如一3洛令祟=0号=

0.联立有

ar-y2=0,

解得/=>==。或1=*=()•

(ay-J-2=0,

由?=一6，，,=一=3a,

oxdydjrdy

知△=枭7•裂=9/-36Q.

标准答案："3>在(。，0)点,

△>0，所以(0，0)不是极值点.在(a,a)点，A<0,且也?=—6a<0(a>0),故(a,a)

□

是极大值点.

知识点解析:暂无解析

1f*siiu

limdz.

22、求L1x—1Jit

d/

lim-=!呷詈=sinl.

标准答案：-i

知识点解析：暂无解析

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