中考数学压轴题题型组合卷

中考压轴题•题型组合卷（-）

（满分：30分）

一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）

L在RtZ\48C中，。为斜边A8的中点，N8=60°,BC=2cm,动点E从点4出发沿4B向点8运动，动点F从

点。出发，沿折线。・C・8运动，两点的速度均为到达终点均停止运动，设AE的长为1，ZXAE尸的面积

为y,则），与x的图象大致为（)

2.己知在等腰△/WC中，AB=AC=4S，BC=4,点。从A出发以每秒逐个单位的速度向点B运动，同时点石从

点4出发以每秒4个单位的速度向点C运动，在OE的右侧作交直线AC于点凡设运动的时间为7

秒，则当△AQ厂是一个以人。为腰的等腰三角形时，/的值为

二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）

3.【问题提出】在4A6c中，AI3=AC^BC,点。和点A在直线6c的同侧，BD=BC,ZlBAC=a,/DBC=§,

且a+0=12O。，连接A。，求NAO4的度数.（不必解答）

D

BC

图2

【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当a=9（）。，0=30°时，利用轴对称知识，以/W为对称轴构造△

A80的轴对称图形△A8。'，连接C。'（如图2）,然后利用a=90°,0=30°以及等边三角形等相关知识便

可解决这个问题.

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△»BC的形状是,三角形；NAOB的

度数为,

【问题解决】

在原问题中，当NO3CVNA8C（如图1）时，请计算的度数:

【拓展应用】在原问题中，过点人作直线交直线BQ于£其他条件不变若8C=7,AD=2.请直接

写出线段BE的长为

4.如图，抛物线y=--AT+A（3〃?+1）x-m（〃?>_!且为实数）与j轴分别交于点A、B（点B位于点A的右侧且

333

4BW0A）,与y轴交于点C.

（1）填空：点B的坐标为,点C的坐标为（用含机的代数式表示）；

（2）当〃?=3时，在直线上方的抛物线上有一点M,过M作X釉的垂线交直线BC于点N,求线段MN的最大

值；

（3）在第四象限内是否存在点P,使得△PC。，△POk和△阳B中的任意两三角形都相似（全等是相似的特殊情

况）？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）

1.在RtAA8c中，。为斜边A4的中点，ZB=60°,BC=2cm,动点七从点4出发沿A3向点4运动，动点尸从

点。出发，沿折线D-C-8运动，两点的速度均为1c〃心，到达终点均停止运动，设人石的长为小ZiAE产的面积

【分析】根据题意找到临界点，E,/分别同时到达。、C,画出一般图形利用锐角三角函数表示），即可.

【解答】解：在RtZ\4月C中，。为斜边A8的中点，NB=60°,BC=2cm,

：,AD=DC=DB=2,NCDB=60°

•・・EF两点的速度均为lc〃?/s

,当0WxW2时，y=A-AE-DF-sinZCDB=返也

24

当2WxW4时，y=y-AE-BF-sinZB=---x2+73xf

由图象可知A正确.

故选：A.

2.己知在等腰△八8C中，AB=AC=^,BC=4,点。从A出发以每秒注个单位的速度向点B运动，同时点石从

点4出发以每秒4个单位的速度向点C运动，在。£的右侧作NQEb=N4,交直线4C于点凡设运动的时间为7

秒，则当△4。〃是一个以4。为腰的等腰三角形时，，的值为一提型京或

【分析】当△4£）尸是一个以AD为腰的等腰三角形时，如图2,只能AD=AF,由题意。/=4/,BE=4t,DF//

BE,推出四边形8EFO是平行四边形，由可得地=些，延长构建方程即可解决问题；

BCAB

【解答】解：当点尸在线段AC上时，如图1,过A作4G_L8C于G,

9：AB=AC=^

/•BG=CG=2,

由勾股定理得：AG=2_22=1,

由国形可知：N84C是钝角，

・••生^A。尸是一个以AO为腰的等腰三角形时，如图2,只能AO=AF,

由题意/)"=4，RE=4f.DF//RE,

•••匹边形是平行四边形，

:.：,DEF=NBDE=NB,

•・*IBD-.B-E1,

BCAB

・V5-V5t_4t

..一LF

1=巨，

21

②当点尸在C4的延长线上，A7)=A尸时,

图3

易笈丛BDEs^CEF,

・BD-BE

ECCF

.V5-V5t_4t

4-4tW

:.小瓶=辛,

•,一5

11

③当点?在CA的延长线上，4。=。?时，作。N_LAF于MZM1_LCF于例.

设AM=x,则42-(x+y/~S)2=(加)2-x2,

■.■X—9

5

•:DN//BM,

・细=殁，

"AMAB，

5

'：DA=DF.DN工AF,

二•A尸=24N=gZA

5

•••亚+汉泉=型区t，

55

・L1

2

综上所述，满足条件的/的值为二或巨或』.

21112

故答为巨或二或」.

21112

图1

二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）

3.【问题提出】在△ABC中，A8=ACWBC,点。和点A在直线BC的同侧，BD=BC,NBAC=a,NO8c=0,

且a+0=12O°,连接A。，求/AO8的度数.（不必解答）

D

B

图2

【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当a=90°,0=30°时，利用轴对称知识，以48为对称轴构造△

43。的轴对称图形△A8。'，连接C。'（如图2）,然后利用a=90°,0=30°以及等边三角形等相关知识便

可解决这个问题.

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：8。的形状是等边三角形;的度

数为30°.

【问题解决】

在原问题中，当/。（如图1）M,请计算/AO6的度数：

【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE_LB。，交直线4Q于E,其他条件不变若8c=7,AO=2.请直接

写出线段BE的长为7+亚或7-立.

【分析】【特例探究】①如图2中，作NAB。'=ZABD,BD'=BD,连接CQ',ADf,由△AB/）0A44Q',

推出△〃’是等边三角形；

②借助①的结论，再判断出BdAD'C,得N4。’R=NA。'C,由此即可解决问题.

【问题解决】当60°VaW120°时，如图3中，作NAB。'=NABD,BD'=BD,连接C。，AD',证明

方法类似（1）.

【拓展应用】第①种情况：当60°VaW120°时，如图3中，作N48。'=ZABD,BD'=BD,连接CO',

AD',证明方法类似（1）,最后利用含30度角的直角三角形求出。£即可得出结论；

第②种情况：当0°<a<60°时，如图4中，作N48。'=NABD,BlY=BD,连接CQ',AD'.证明方

法类似（1）,最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.

【解答】解：【特例探究】①如图2中，作NAB。’=/AB。，BD'=B。，连接CQ',AD',

圉2

•：AB=AC,N84C=90",

，NA8C=45°,

VZD«C=30°,

：.^ABD=ZABC-ZDBC=\5°,

'AB=AB

在△ABO和△AB。'中，，ZABD=ZABDZ

BD=BD'

AZABD=ZABD1=15°,ZADB=ZAD1B,

••・/»BC=AABD'+NABC=60°,

'：BD=BD',BD=BC,

:・BD'=BC,

「•△O'BC是等边三角形，

@VAD,6c是等边三角形,

：・"B=D'C,NBD'C=60°,

<AD=AD/

在△A。'8和△4£>'C中，<D'B=D'C

AB二AC

•二△A。'跆△4£>'C,

・・・NA。'B=N4。'C,

・・・NA。'B=1.ZBD,C=30°,

2

/.ZADB=30°.

故答案为：等边，30°；

【问题解决】VNDBCV/ABC,

A60°VaW120°,

如图3中，作NA8D'=ZABD,RD'=BD,连接C。'，AD',

图3

9：AB=AC,

・•・NABC=NACB,

VZBAC=a,

，NABC=2(180°-a)=900■工a,

22

・•・NABD=ZABC-NDBC=90°■工a-仇

2

同(1)(5)可证448。g448。’，

/.^ABD=ZABD,=90°-工邛，BD=BD',/ADB=NAD'B

2

・•・/»BC=ZABD,+NABC=90°-L-0+90°-工a=18(T-(a+p),

22

Ya邛=120°,

•••NO'BC=60°,

由（1）②可知，△A。'BWAAD'C,

：.AAD'B=ZAD'C,

・・・NA。'B=L/BD，C=30°,

2

，NAD8=30°.

【拓展应用】第①情况：当60°<a<120°时，如图3・1,

由(2)知，ZADB=30°,

作AEJ_4Q,

在RtZXAO石中，N4/)B=30°,AD=2,

：・DE=近,

•・•△8CZ7是等边三角形，

:・BD'=BC=7,

：.BD=BD'=7,

：.BE=BD-DE=1-

第②情况：当0°<a<60°时，

如图4中，作NAB。'=ZABD,BD'=BD,连接CD',ADf.

同(1)①可证△A3。0△AB。'，

/.ZABD=ZABD1=B-(90°-工)，BD=BD',ZADB=ZAD'B,

2

•••NO'=900-A-[R-(900-Xx)]=180°

BC=ZABC-AABD'a-(a+p),

22

：.D'B=D'C,NBD'C=60°.

同（1）②可证△4。'50△A。'C,

/.ZAD'B=ZAD,C,

VZIAD'B+Z1AD,C+/BD'C=360^,

AZADB=ZAD'4=150°,

在RtZXAQ石中，Z/1DE=3O°,4D=2,

，OE=M，

:,BE=BD+DE=7+止,

故答案为：7+J々或7-近.

【点评】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质.等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

4.如图，抛物线），=-»+2（3〃?+1）x-m（/〃>2且为实数）与大轴分别交于点A、B（点4位于点A的右侧且

（1）填空：点『的坐标为（3次0）,点。的坐标为（0,-团）（用含人的代数式表示）:

（2）当m=3时，在直线BC上方的抛物线上有一点M,过M作x轴的垂线交直线BC于点N,求线段MN的

最大值；

（3）在第四象限内是否存在点尸，使得△尸CO,△POA和△以8中的任意两三角形都相似（全等是相似的特殊

情况）？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

【分析】（1）令x=0,或y=0,可求8,。坐标

（2）求出解析式，设A4（a,・工？+4・3）,则N（a,L・3）,用"表示MN的长度，根据二次函数

333

最值问题可求MN的最大值.

（3）由。，A,4都在工轴上，且要使△PCO,△POA,△以8中的任意两个三角形均相似，则三个三角形都是

直角三角形.可得布J_x轴.分/。。。=90°和/OCP=9（）°,分两种情况讨论，根据相似三角形所得的线段比

可求尸点坐标.

【解答】解：（1）令x=0,则）=-6.

C（0,・〃?）：

令y=0,贝I0=--^+―(3w+l)x-m,

33

Axi=I,X2=3m,

且〃＞」■,

3

・・・A(1,0),B(3m,0)；

(2)当〃?=3时，则抛物线解析式丁=-12+也广3；

33

AC(0,-3),B(9,0),

:.直线BC解析式y=1x-3；

设M(a,--3),则N(a,L-3),

333

:,MN=--3-1+3=-1，3〃，

3333

.•.兰时，MN的最大值为&；

24

⑶:。,4,8都在％轴上,

・••要使△尸。。△PO4△%B中的任意两个三角形均相似，则三个三角形都是直角三角形.

NOPB=90°,

・••三边形。4C尸是矩形，

・・・OA=CP=1,OC=AP=m；

.OA^AP

•下而

：,nr=(3in-1)X1,

'.nr-3/w+l=0,

_3-A/5

...m\_=-3--+--*^5,nn=-----

22

.•.尸(1,■百巫〉或(i,■3-恒;

22

如图2,

当NOPC=90°，且NOPB=90°,

・••点8,点P,点C共线.

•••△OCPS^POA,

•APOP.

**0P=oc,

：.OP2=APXOC,

•：NOAP=NOPB=9D°,ZBOP=ZBOP,

：.^POA^^HOPy

.OAOP

**0P=OB'

:.OP2=OAXOB,

：.APXm=lX3mt

：.AP=3,

：,P（L-3）,

综上所述：尸（1,-3）,（1,匹），（1,-老心■）.

22

【点评】本题考查了二次函数的综合题，二次函数的最值，相似三角形，利用相似三角形所得线段比例是本题的

关键.

楮品基础教克教学资料，仅供参考，宥要可下我便见！

中考压轴题•题型组合卷（二）

（满分：30分）

一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）

1.如图，以正方形ABCD的边CD为边向正方形ABCD外作等边△CZ）E,AC与BE交于点F,则NAFE的度数是（)

A.135°B.120°C.60°D.45°

2.如图，在△ABC中，48=AC=2巫，8c=4.点E为8c边上一动点，连接AE,作/AE/EF与4ABC

的外角/AC。的平分线交于点?当E凡LAC时，七户的长为

BECD

二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）

3.综合与实践・■旋转中的数学

问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个矩形为对象，研究相似矩形旋转中的问题：己知矩形A/3CO

s矩形川夕C。'，它们各自对角线的交点重合于点0,连接人人'，CC.请你帮他们解决下列问题：

观察发现：（1）如图1,若A'B'〃48,则44'与CC'的数量关系是;

操作探究：（2）将图I中的矩形43CD保持不动，矩形4'B'CD'绕点。逆时针旋转角度a（0°<a<90°）,

如图2,在矩形A'B'CD1旋转的过程中，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明：若不成立，请说明理由;

操作计算：（3）如图3,在（2）的条件下，当矩形A'B'CD'绕点O旋转至AA'_LA'D'时，若A8=6,

BC=8,A'B'=3,求AA'的长.

4.综合与探究

如图，抛物线y=■孚x2-^xrG与％轴交于A，8两点(点A在点8的左侧)，与)，轴交于点C,直线

I经过B,。两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点8运动，连接CM,将线段MC绕点M顺时

针旋转90°得到线段M。，连接C。，3。.设点M运动的时间为/(/>()),请解答下列问题:

备用图

(1•求点A的坐标与直线I的表达式;

(2)①直接写出点。的坐标(用含，的式子表示)，并求点。落在直线/上时的f的值；

②求点M运动的过程中线段CO长度的最小值；

(3)在点M运动的过程中，在直线/上是否存在点P,使得△BDP是等边三角形？若存在，请直接写出点。的

坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）

1.如图，以正方形46C。的边CQ为边向正方形A6CD外作等边△CQE,AC与交于点人则NAFE的度数是（）

A.135°B.120°C.60°D.45°

【分析】易得△回r与AA。小全等，ZAFD=ZAFB,因此只要求出NAFB的度数即可.

【解答】解：•・•四边形ABCO是正方形.

：.AB=ADfNBAF=NDAF.

△AB/7与△AZ）/7全等.

/.ZAFD=/AFB.

•:CB=CE,:・/CBE=/CEB.

•：NBCE=NBCD+NDCE=90°-K）0°=150°,

AZCB£=15°.

VZACB=45°,

ZAFB=NACB+NCBE=60°.

/.^AFE=\20Q.

故选：B.

【点评】此题考查正方形的性质，熟练掌握正方形及等边三角形的性质，会运用其性质进行一些简单的转化.

2.如图，在△ABC中，AB=AC=2^,BC=4.点E为8c边上一动点，连接AE,作N4E尸=/B,EF与4ABC

的外角NACZ）的平分线交于点凡当EEL4C时，石十的长为1壁.

【分析】当AB=4C,NAE尸=N/3时，ZAEF=ZACB,当EF_LAC时，N4C4+NCE6=90°=ZAEF+ZCEF,

即可得到AE_LBC,依据Rt^CFGgRtZXCF”,可得CH=CG=再根据勾股定理即可得到£尸的长.

【解答】解：如图，当A8=AC,/A£/=N8时，ZAEF=ZACB,

当E/_LAC时，ZACB+ZCEF=90°=ZAEF+ZCEF,

・•・AE_L8C,

：,CE=^BC=2,

2

又・・・AC=2M，

，AE=4,£G=AEX_CE=

AC

・•・^=7CE2-EG2=-|V5,

作FHLCD于H,

YCF平分NACO,

:,FG=FH,WCF=CF,

ARtACFG^RtACF//,

ACW=CG=-1^/5，

设EF=x,贝ljHF=GF=x-^x/^，

•••RlZXEF”中，EH2+FH2=EF2,

,,,（2+~|^）2+（X-专用2=9,

解得x=l+加，

故答案为：1+J0

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三

角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）

3.综合与实践--旋转中的数学

问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个矩形为对象，研究相似矩形旋转中的问题：已知矩形A/3CQS

矩形4夕CD1,它们各自对角线的交点重合于点O,连接A4',CCf.请你帮他们解决下列问题：

观察发现：（I）如图1,若A'B'〃AB,则A4'与CC'的数量关系是A4'=CC'；

操作探究：（2）将图1中的矩形A8CD保持不动，矩形A'B'C。'绕点。逆时针旋转角度a（0°VaW900）,

如图2,在矩形A'"CD'旋转的过程中，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；

操作计算：（3）如图3,在（2）的条件下，当矩形A'B'CD'绕点。旋转至AA'±A,。'时，若A8=6,BC

=8,/VB'=3,求/U'的长.

图1图2图3

【分析】（1）连接AC、A'C',根据题意得到点A、4'、C'、C在同一条直线上，根据矩形的性质得到OA

=OC,OA'=OC,得到答案；

（2）连接AC、A'C,证明04也△（?'0C,根据全等三角形的性质证明；

（3）连接AC,过。作CEJ_A",交A*的延长线于E,根据相似多边形的性质求出8'C,根据勾股定理

计算即可.

【解答】解：（1）AV=CC',

理由如下：连接AC、A'C,

•・•矩形ABCDs矩形A'B'CD',乙CAB=4C'4'B',

VA'B'//AB,

・••点A、A'、C'、。在同一条直线上，

由赳形的性质可知，OA=OC,OA'=OC,

・・・AA'=CC,

故答案为：AA'=CC；

（2）答：（I）中的结论还成立，AAf=CC'，

理由如下：连接AC、A'C,则AC、AfC都经过点0,

由旋转的性质可知，NA'OA=ZCOC,

•・•匹边形A8CO和四边形A'B'CD,都是矩形，

：.OA=OC,OA'=0C,

在AA'04和0c中，

rOA=OC

«NA'OA=NC'OC，

ON=OCZ

•••△A'o哙xcoc,

•W=cc；

(3)连接AC,过C作CE_LA8',交.AB'的延长线于E,

:矩形A3cos矩形A'B'CD,

■:NEB，C=NB'C'C=ZE=90°，

••・匹边形"ECC为矩形，

：.EC=B'C=4,

AC=2S=10,

在Rt/XABC中，-7AB+BC

在中，

RtZ^AECAE=JAC2_C£2=2V21»

・W+B'E=2扬-3,又A4'=CC=B'E,

：.AAf=2收-3

2

A______________D

s

B\~^C

图

/A______________D

图2

AK_______________D

图1

【点评】本题考杳的是矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握旋转变换的性质、矩形的

性质是解题的关键.

4.综合与探究

如医，抛物线y=・亚_乂2-^乂+75与x轴交于4

6两点（点A在点3的左侧），与y轴交于短C,直线/

33

经过B,。两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点8运动，连接CM,将线段MC绕点M顺

(1)求点A的坐标与直线I的表达式；

(2)①直接写出点。的坐标(用含f的式子表示)，并求点。落在直线/上时的f的值；

②求点M运动的过程中线段C。氏度的最小值；

(3)在点M运动的过程中，在直线/上是否存在点P,使得△8DP是等边三角形？若存在，请直接写出点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)当y=0时，-返乂231xW§=。，解方程求得A(-3,0),B(I,0),由解析式得C(0,

33

的)，待定系数法可求直线/的表达式；

(2)分当点"在人。上运动时，当点”在OB上运动时，进行讨论可求。点坐标，将。点坐标代入直线解析

式求得，的值；线段C。是等腰直角三角形CMO斜边，若C。最小，则CM最小，根据勾股定理可求点M运动

的过程中线段CD长度的最小值；

(3)分当点M在40上运动时，即0V/V3时，当点M在OB上运动时，即3W/W4时，进行讨论可求尸点坐

标.

【解答】解：(1)当)=0时，.叵乂20巨乂地;。,解得工i=i,x2=-3,

33

•・•点A在点8的左侧，

・"(-3,0),B(1,0),

由解析式得C(0,«).

设直线/的表达式为)，=h+4将B,。两点坐标代入得〃成--然.

故直线/的表达式为)，=-a计加；

(2)当点M在AO上运动时，如图

由题意可知人M=1.OM=3-t,MCIM/).过点。作r轴的垂线垂足为M7DMN+7CMO=^(}°,/CMO+

NMCO=90°,

Z.ZMCO=ZDMN,

在△MCO与△OMN中，

fMD=MC

\ZDCM=ZDMN，

IZCOM=ZMND

；.4MCQg4DMN,

:,MN=OC=蕊,DN=OM=3-i,

：.D(f・3+近,/-3)；

同理，当点M在08上运动时，如图,

0M=t-3,△MCOg△OMN,MN=OC=0ON=t-3+近,DN=0M=i-3,

：.D(/-3+VS-L3).

综上得，D(L3+近，L3).

将D点坐标代入直线解析式得r=6-2%，

线段CO是等腰直角三角形CM。斜边，若C。最小，则CM最小，

在48上运动，

・••兰CM_L/IB时，CM最短，CO最短，即CM=CO=J&,根据勾股定理得CO最小证;

(3)当点M在A。上运动时，如图，即0V/U3时，

・・・NC4O=60°，

•••△4。。是等边三角形,

：.ZDBP=ZBDP=6（）°，BD=BP,

工NNBD=60。,DN=3-/,AN=l+近,NB=47-近,tan/N80=黑,

3-t=%，解得t=3-遭,

4-t-V3

经检验r=3-立是此方程的解,

过点P作k轴的垂线交于点Q,易知丛PQBq4DNB,

：.BQ=BN=4-t-43=^PQ=«，00=2,P（2,・代）；

同理，当点M在08上运动时，即3W/W4时,

•••△BQP是等边三角形,

:,乙DBP=/BDP=6V,BD=BP,

，NN8Q=60°,DN=t・3,N8=1-3+加・1=，-4+第,tan/N8D=@,

NB

t3

-z-=V3＞解得尸3-加，

t-4+V3

经检验［=3-然是此方程的解，1=3-近（不符合题意，舍）.

故尸（2,-V3）.

【点评】考杏了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等功三角形

的性质，三角函数，分类思想的运用，方程思想的运用，综合性较强，有一定的难度.

楮品基础教克教学资料，仅供参考，宥要可下我便见！

中考压轴题•题型组合卷（H）

（满分：30分）

一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）

1.如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE=BC,连接CE并延长交AD于点F,连接AE,过B作BG_LAE于点G,

交AD于点H,则下列结论错误的是（）

A.AH=DF

B.S四边形EHIG=SADCF+S&AGH

C.ZAEF=45°

D.AABH^ADCF

2.已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+aJ+2a-3在-1WXW3的范围内有最小值5,则a的值为

二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）

3.如图，抛物线y=・2x2+bx+2与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1,Q）.

2

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断aABC的形状，并证明你的结论；

（3）点M是抛物线对称轴上的一人动点，当的周长最小时，求点M的坐标.

4.如图1,在矩形ABCD中，AB=9,BC=12,点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向在AB上运动,

以点M为圆心，MA长为半径画画，如图2,过点M作NM_LAB，交。M于点N,设运动时间为1秒・

(1)填空：BD=,BM=；(请用准确数值或含t的代数式表示)

(2)当0M与BD相切时,

①求t的值；

②求ACDN的面积.

(3)当4CND为直角三角形时，求出t的值.

参考答案

一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）

1.如图，在正方形ABCD对角线BD上载取BE=BC,连接CE并延长交AD于点F,连接AE,过B作BG_LAE于点G,

交AD于点H,则下列结论错误的是（）

A.AH=DF

B.S四边形EFHG=SaDCF+SaAGH

C.ZAEF=45°

【).AABH^ADCF

【分析】先判断出NDAE=NABH,再判断△ADEW^CDE得出/DAE=NDCE=22.5°,ZABH=Z1)CF,再判断出

RtAABH也RtZ\DCF从而得到A、D正确，根据三角形的外角求出/AEF=45°,得出C正确；连接HE,判断出S

△eHiWSaEFo得出B错误.

【解答】解：〈BD是正方形ABCD的对角线，

AZABE=ZADE=ZCDE=45°,AB=BC,

VBE=BC,

AAB=BE,

VBG1AE,

，BH是线段AE的垂直平分线，NABH=NDBH=22.5°,

在Rt^ABH中，ZAHB=90°・NABH=67.5°,

VZAGH=90°,

AZDAE=ZABH=22.5°,

'DE=DE

在AADE和ACDE中、ZADE=ZCDE=45°，

AD=CD

AAADE^ACDE,

•••NDAE=NDCE=22.5°,

AZABH=ZDCF,

rZBAH=ZCDF

在RtAABH和RtADCF中＜AB=CD，

NABH二NDCF

ARtAABH^RtADCF,

AAH=DF,ZCFD=ZAHB=67.5°,

VZCFD=ZEAF+ZAEF,

A67.50=22.5°+ZAEF,

AZAEF=45°,故ACD正确;

如图，连接HE,

BC.

・・・BH是AE垂直平分线,

AAG=EG,

•••SAAGH=SAHEG»

VAH=HE,

AZAHG=ZEHG=67.5°,

AZDHE=45°,

VZADE=45°,

.-.ZDEH=90°,ZDI1E=ZHDE=45°,

AEll=ED,

•••△DEH是等腰直角三角形，

・・・EF不垂直DH,

.••FHWFD,

SZkEFIlWSaEH），

啦l形田IGuS.iEG+SAEmuS&viG+SaEFH^SziDEF+SzXAGH，故B错误,

故选：B.

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和和三角形

外角的性质，解本题的关键是判断出△AI)Eg/\Q)E,难点是作出辅助线.

2.已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+a+2a・3在・1WXW3的范围内有最小值5,则a的值为4或-8.

【分析】由y=ax2-4ax+a2+2a-3=a(x-2)2+(a2-2a-3)可知当a>0时,最小值是a2-2a-3=5,当aV

0时，x=-l时，y有最小值5,则a+4a+a、2a-3=5,解关于a的方程即可求得.

【解答】解：y=ax2-4ax+az+2a-3=a(x-2)/+(a2-2a-3),

其对称轴为x=2,

当a>0时，最小值是a2・2a-3=5,解得a=4,a2=-2（舍去）；

当a<0时，x=・1时，y有最小值5,贝ija+4a+a'+2a-3=5,整理得a'+7a-8=0,解得a1=l（舍去），a2=-

8,

所以a的值为4或-8,

故答案为：4或-8

【点评】本题考查了二次函数的最值，注意，只有当自变量x在整个取值范围内，函数值y才在顶点处取最值.而

当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值.

二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）

3.如图，抛物线y=-2x?+bx+2与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1,Q）.

2

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断AABC的形状，并证明你的结论；

（3）点M是抛物线对称轴上的一人动点，当AACM的周长最小时，求点M的坐标.

【分析】（1）把点A的坐标代入解析式，求出b,利用配方法求出抛物线的顶点坐标;

（2）解一元二次方程求出0B,根泥勾股定理求出AC、BC,根据勾股定理的逆定理判断即可；

（3〕连接BC交对称轴于M,由轴对称的性质得到此时△ACM的周长最小，利用待定系数法求出直线BC的解析式,

求出点M的坐标.

【解答】解：（1）丁点A（1,0）在抛物线丫=・1x2+bx+2上，

2

:.-A+b+2=0,

2

解得，b=-3,

2

抛物线的解析式为y=--lx2-Wx+2,

22

y=--lx2-3X+2=-—（x+—）2+-55.,

22228

则顶点D的坐标为（-1,空）；

28

（2）AABC是直角三角形，

证明：点C的坐标为（0,2）,即0C=2,

-Ax2-—x+2=0,

22

解得，X1=-4,x2=l,

则点B的坐标为（-4,0）,即0B=4,

0A=l,0B=4,

/.AB=5,

由勾股定理得，AC=加，BC=2加，

AC2+BC2=25=AB\

•••△ABC是直角三角形；

（3）由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，

连接BC交对称轴于M,此时△ACM的周长最小，

设直线BC的解析式为：y=kx+b,

由题意得，（-4k+b=°,

lb=2

解得，/2,

b=2

则直线BC的解析式为：y=lx+2,

2

当x=-3时，y=。，

24

・••当M的坐标为（-3,♦）.

24

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、待定系数法求二次函数

解析式的一股步骤、轴对称-最短路径问题是解题的关键.

4.如图1,在矩形ABCD中，AB=9,BC=12,点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向在AB上运动,

以点M为圆心，MA氏为半径画圆，如图2,过点M作NM_LAB,交0M十点N,设运动时间为t杪.

（1）填空：BD=15,BM=9-t；（请用准确数值或含t的代数式表示）

（2）当。M与BD相切时，

①求t的值；

②求的面积.

（3）当△（?!□为直角三角形时，求出I的值.

【分析】(1)先判断出NBAD=90°,利用勾股定理求出Bl)=15,再由运动即可得出结论；

(2)①先判断出NBEM=NBAD=90°,进而得出△BMEs/\BDA,得出比例式建立方程士生上匕即可得出结

1512

论；

②先求出UN=4,Q)边上的高为AD-MN=12-4=8,最后用面积公式即可得出结论；

(3)先得出FN=2t,GN=9-2t,DF=CG=12・2t,分两种情况，建立方程即可得出结论.

【解答】解：(1)•・•四边形ABCD是矩形,

AAD=BC=12,ZBAD=90°,

BD=2

在RlZV'BD中，AB=9,BC=12,根据勾股定理得，7AB+AD2=15,

由运动知,AM—t.

ABM=AB-AM=9-t,

故答案为：15,9-t；

(2)①如图1,0M且BD于E,

AME1BD,

/.ZBEM=ZBAD=90°,

VZEBM=ZABD,

AABME^ABDA,

.BHME

••・'—"9

BDDA

・9-2t2t

1512

At=2,

②・1祖=人吊=21=4,

ACD边上的高为AD-MN=12-4=8,

:.S/xCD7=2X9X8=36；

2

(3)如图2,过点N作直线FGJ_MN,分别交AD,BC于点F,G,

.\FN=2t,GN=9-2t,DF=CG=12-2t,

.,.DN2=I)F2+FN2=(12-2t)2+(2t))

.\CN2=CG2+GN2=(12-2t)之+(9-2t)2,

①当NDNC=90。时，DN2+CN2=CD)

(12-2t)%(2t)'+(12-2t)+(9-2t)'=81，

化简，得4t2-33t+72=0,

：△=(-33)2-4X4X72V0,

，此方程无实数根；

②=NDCN=90°时，点N在BC上，BN=BA=2t=9,

At=4.5,

综上所述，t=4.5秒.

图1

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程,

利用方程的思想解决问题是解本题的关键.

楮品基础教克教学资料，仅供参考，宥要可下我便见！

中考压轴题•题型组合卷史

(满分：30分)

一、选择、填空题(共2小题，每小题3分，共6分)

1.在平面直角坐标系中，将抛物线y=，+2r+3绕着它与)，