等式的性质与方程的解集

2.1.1等式的性质与方程的解集有只狡猾的狐狸，平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现2和5可以相等，我这里有一个方程5x-2=2x-2.等式两边同时加上2，得5x=2x.等式两边同时除以x，得5=2.”老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑你认为狐狸的说法正确吗？新知探究（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．我们已经学习过等式的性质：新知探究【尝试与发现】用符号语言和量词表示上述等式的性质：（1）如果a＝b，则对任意c，都有___________；（2）如果a＝b，则对任意不为零的c，都有___________．（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，等式仍成立．即：如果a＝b，则对任意c，都有a±c＝b±c．（2）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．即：如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc（或）．a＋c＝b＋cac＝bc新知探究【尝试与发现】补全下列（1）（2）中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准：（1）a2－b2＝_____________（平方差公式）；（2）（x＋y）2＝______________（两数和的平方公式）；（3）3x－6＝0；（4）（a＋b）c＝ac＋bc；（5）m（m－1）＝0；（6）t3＋1＝（t＋1）（t2－t＋1）．新知探究对任意实数都成立的等式有：__________________________；只是存在实数使其成立的等式有：_____________

.一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代数变形的依据之一．（1）（2）（4）（6）（3）（5）新知探究【想一想】如何得到两数差的平方公式？如何认识这个恒等式：对任意的x，a，b，都有（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab．新知探究这是我们经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab．只需将左边展开然后合并同类项即可证明这个恒等式．从左到右是乘法运算，而从右到左是因式分解．一般地：给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝（x＋a）（x＋b）．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用下图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”．新知探究【练一练】用十字相乘法分解因式（1）x2＋5x＋6（2）x2－2x－3（3）x2＋2x－15＝（x＋2）（x＋3）＝（x－3）（x＋1）＝（x＋5）（x－3）上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可．据此也可进行因式分解，即（ax＋b）（cx＋d）＝acx2＋（ad＋bc）x＋bd．新知探究【练一练】用十字相乘法分解因式3x2＋11x＋10．3x2＋11x＋10＝（x＋2）（3x＋5）．1235新知探究【想一想】（1）一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）的根是什么？方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值．（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是什么？一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集．新知探究【想一想】（1）一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）的根是什么？（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是什么？（1）（2）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两不等实根当Δ＝b2－4ac＝0时，当Δ＝b2－4ac＜0时，方程无实根．新知探究【练一练】求下列方程的解集．（1）x2＋3x＋2＝0（2）x2－2021x－2022＝0{－1，－2}{－1，2022}新知探究【想一想】一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？一元二次方程的解集中不一定有两个元素．对于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＝b2－4ac＝0时，解集中有一个元素；当Δ＝b2－4ac＜0时，方程无实根，解集中没有元素．当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两不等实根解集中有两个元素；新知探究例1化简（2x＋1）2－（x－1）2．方法一：可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即（2x＋1）2－（x－1）2＝4x2＋4x＋1－（x2－2x＋1）＝3x2＋6x．方法二：可以将2x＋1和x－1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即（2x＋1）2－（x－1）2＝[（2x＋1）＋（x＋1）][（2x＋1）－（x＋1）]＝3x（x＋2）＝3x2＋6x．想一想一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？如果一个一元二次方程通过因式分解化为(x-x₁)(x-x₂)=0的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了解：课堂练习将各式分解因式（1）x2－25（2）a2－6a＋9（3）4m（x－y）－8n（y－x）＝（x＋5）（x－5）＝（a－3）2＝4（x－y）（m＋2n）分解因式的常用方法：（1）平方差公式法；（2）完全平方公式法；（3）提取公因式法；（4）十字相乘法．（4）（a2＋4）2－16a2＝（a＋2）2（a－2）2．一、等式的性质性质1：等式的两边同时加（减）上同一个数或代数式，等式仍成立性质2：等式的两边同时乘以（除以）上同一个不为零的数或代数式，等式仍成立归纳小结性质3（对称性）：若a