人教A版必修5解三角形第二节-对余弦定理教学片段的教学设计

对余弦定理教学片段的教学设计常态课是教师的日常工作，要提高课堂效率，关键在于提高常态课的实效。常态课是没有任何包装的课，这种课虽然比不上那些示范课、公开课，会有明显的缺点，甚至是一节不成功的课，但它原汁原味，朴实无华，给人一种真实感。正因为它真实，才使我们学会反思，发现缺憾或不足，并进行改进。前段时间笔者听了同校陈老师的一堂常态课，上课内容是余弦定理（普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5解三角形第二节）一课，发现常态课上师生活跃，学生与老师配合自然默契，轻松愉快，是一堂好课。听后笔者觉得也存在一些缺陷，对其中的一个教学片段：余弦定理引入及证明谈谈自己的一点看法。一、教学片段实录：提出问题：师：请同学们翻到课本P.10，看习题1.1A组第2题的第（2）小题.题目是：在ABC中，求.学生通过思考后能用正弦定理求解.师：正弦定理我们是怎样推导的？三角证法的关键点是什么？生：三角证法的关键是作高线，把解斜三角形问题转化为解直角三角形问题.师：这是一种化归的思想.能否应用正弦定理很重要的一点是看能否从题设中知道一组比值（）.接着，陈老师在原题的基础上交换的位置，演变成新的问题抛给了学生，即变式1：在ABC中，求.此问题学生很难用正弦定理求解，对学生来说有一定的挑战性，此问题的设计给学生创设了很大的思维空间，学生思考后觉得比较难解，教师提示能用学过的知识解决，前面三角证法的关键点是作高线，这里是否也可以呢?学生通过作高线，作垂足为D，在中求出AD、CD与BD，用勾股定理求出BC（即）的值，再次让学生感受三角证法的关键点是作高线.然后给出了变式2：在ABC中，已知.学生基本能顺利解决此题，在ABC中，作垂足为D，在中，AD=bcosA，CD=bsinA，故BD=，由得到.化简得.同理可以证明：.师生共同分析此表达式的特征：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的积的两倍.这就是余弦定理.点评：这样的教学设计优点是：基于学生已经掌握的解直角三角形和正弦定理，从中孕育新知，把余弦定理的推导统一到三角证法中来，设计朴素、自然.能突出以学生为本的教学理念.缺点是：忽视教材，没有突出向量的证法.教材明确指出解这个三角形，就是从量化的角度来研究问题，为此应该引导学生尝试对三角形向量等式进行数量化来探究余弦定理.文[1]指出：余弦定理源于向量和基于向量，它是“好看又好用”的又一数学典范.余弦定理向量证法的价值：向量的数量积是一个重要的工具.余弦定理向量证法基于一种新的数学结构------空间向量.问题的引入：引用荷兰弗赖登塔尔数学研究所的一个问题“甲离学校10千米，乙离甲3千米，问乙离学校多少千米？”这问题太简单了，简直是小学生的问题.不过，该问题并没有说明甲、乙、学校三点是否在一条直线上.若三点在同一直线上，答案是13千米或7千米；若不在同一直线上，甲、乙、学校三点可以构成直角三角形，问题可以用勾股定理解决；若甲、乙、学校三点不能构成直角三角形，就变成已知三角形的“两边夹一角”如何确定第三边的问题，明确地指向余弦定理.问题的提出从朴素的问题出发，可以让学生感觉到亲切、自然、合理、显得更有人情味.然后，基于向量运算之上的余弦定理的证明：ABC中（如图），，即同理：这一证法突出了向量在余弦定理证明中的作用.但是在学习向量时由于对向量的工具性认识不足，对三角形最重要的一个恒等式运用不到位，导致在采用向量证明余弦定理时，不能一下子想到这个方法.二、对教学片段的改进：对教学片段实录和文[1]中存在的问题，笔者作了如下的改进:引入采用文[1]中的引入得到，已知三角形的“两边夹一角”如何确定第三边的问题.师：在ABC中，已知.生：由勾股定理，有.师：能否由向量方法证明勾股定理？生：由，两边平方因为，所以，故即师：当时，又如何求？生：由，两边平方又因为所以，即三、科学地解读教材、合理地挖掘、利用教材教材是课程的重要资源，是教师教学的重要依据和学生学习的重要文本.科学地解读教材，合理地挖掘、利用教材是每个教师必备的基本功，教师只有静下心来，仔细研究教材，充分发挥教材在教学中的引领作用，才能提高教学的有效性.教材是学术数学到教育数学转化的产物，教师使用教材的过程又是一个吸收和改造的过程.一节课教学设计的是否适合学生，首先取决于教师对整节课教学内容的准确把握.教师只有在认真研读新课标、全面理解全章节知识的基础上才能正确地把握整节课的教学内容，才能正确组织教学内容进行设计，才能明白本节课重点、难点，学生的疑点是什么.哪些内容不宜放在这一课，哪些知识在本节课学习比较合理，哪些知识适合后续学习；有没有必要在课堂上引领学生进行探究，习题该怎样变式，变式的核心是什么，问题的解决还有哪些方法，教学过程中要渗透什么数学思想方法，要培养学生什么能力等等，这些都值得教师深思.这要求教师从整体性、联系性的视角审视教学内容，应该根据学生的实际情况去进行教学，使教学设计不偏离数学本质.其实，余弦定理的证明方法很多，如：①三角证法（通过解直角三角形）②利用向量的数量积证明③利用坐标法证明，证法如下：如图，建立平面直角坐标系，设，根据两点距离公式得，，即，整理得：④文[3]介绍了通过正弦定理证明余弦定理和通过射影定理证明余弦定理.⑤文[4]介绍了用极坐标证明余弦定理和复数证明余弦定理等等.为了培养学生对数学的兴趣，课后可以引导学生对定理给出新的证明方法.教师把握并使用教材是极富主动性、创造性的工作.在具体的教学过程中，我们要从学校、学生和自身的实际情况出发，主动地、合理地对教材进行解读，引领学生走进教材，要努力形成适合于自己、有益于学生的教学设计和方法.只要我们下真功夫研读教材，科学、合理、有效地用好教材，学生求知的星星之火定能成燎原之势.四、对常态课的一点反思常态课堂即一种自然、真实状态下的课堂教学活动,是师生在不受其他外界因素干扰下的双边教学过程。它是自然、真实的课堂,自然的带有几分朴实,真实的没有粉饰；它是和谐、欢乐的课堂,因为师生和生生之间的交流互动以及内心真切的体验而幸福快乐；它是丰实、有效的课堂,我们必须在其间关注学生知识、能力、方法等方面的发展。叶澜教授曾指出,一节好课,应该是平时的课,是常态下的课,课堂应实实在在,不管谁在听课,教师都要做到旁若无人,心中只有学生；一节好课,应该是真实的课,是不加粉饰、有待完善、值得反思的课,它不可能尽善尽美。如何上好常态课,进一步提高课堂的教学效率,值得我们每一位教师进行研究与探讨。参考文献：1.张敏.余弦定理：源于向量和基于向量[J].中学数学教学参考（上旬），2010，82