5道微分方程计算练习题及答案B8

5道微分方程计算练习题及答案1.已知曲线y=f(x)上任意一点处切线的斜率为20x+8y,且曲线过原点求函数y。解：根据导数的几何意义有：y'=20x+8y,即：y'-8y=20x,利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式得：y=eqe\s\up12(\i(,,8)dx)(eq\i(,,20xeqe\s\up12(\i(,,-8)dx))dx+C),=eqe\s\up10(8x)(20eq\i(,,xeqe\s\up10(-8x))dx+C),=eqe\s\up10(8x)[-EQ\f(5,2)eq\i(,,xeqe\s\up10(-8x))d(-8x)+C],=eqe\s\up10(8x)(-EQ\f(5,2)xeqe\s\up10(-8x)+EQ\f(5,2)eq\i(,,eqe\s\up10(-8x))dx+C),=eqe\s\up10(8x)[-EQ\f(5,2)xeqe\s\up10(-8x)-EQ\f(5,16)eq\i(,,eqe\s\up10(-8x))d(-8x)+C],=eqe\s\up10(8x)(-EQ\f(5,2)xeqe\s\up10(-8x)-EQ\f(5,16)eqe\s\up10(-8x)+C),由于曲线经过原点，则x=0时，y=0，代入得：y=0=0-EQ\f(5,16)+C，即C=EQ\f(5,16)。所以函数y的特解为：y=eqe\s\up10(8x)(-EQ\f(5,2)xeqe\s\up10(-8x)-EQ\f(5,16)eqe\s\up10(-8x)+EQ\f(5,16))=-EQ\f(5,2)x-EQ\f(5,16)+EQ\f(5,16)eqe\s\up10(8x)。2.微分方程y''+25y=10x+2sin9x通解的计算主要内容：根据二阶常系数非齐次线性方程的求解法则，介绍计算微分方程y''+25y=10x+2sin9x通解的计算。解：微分方程y''+25y=10x+2sin9x的特征方程为：r2+25=0，即：r=±5i，则二阶常系数齐次线性微分方程y''+25y=0的通解y1为：y1=C1cos5x+C2sin5x.y''+25y=10x+2sin9x设所求微分方程的特解y2=a3x+a4cos9x+a5sin9x,则：y´=a3-9a4sin9x+9a5cos9x,y''=-81a4cos9x-81a5sin9x,代入微分方程得：-81a4cos9x-81a5sin9x+25a3x+25a4cos9x+25a5sin9x=10x+2sin9x，25a3x+(25-81)a4cos9x+(25-81)a5sin9x=10x+2sin9x，根据对应系数相等，得：25a3=10，a4=0，(25-81)a5=2,解出：a3=eq\f(2,5)，a4=0，a5=-eq\f(1,28)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1cos5x+C2sin5x+eq\f(2,5)x-eq\f(1,28)sin9x。3.计算微分方程y'=eq\f(30y,16x-23y2)的通解主要内容：根据一阶线性非齐次微分方程的通解计算公式，介绍微分方程y'=eq\f(30y,16x-23y2)的通解的主要计算步骤。主要步骤：变形微分方程为非齐次方程如下：eq\f(dx,dy)=eq\f(16x-23y2,30y),化简变形如下：eq\f(dx,dy)-eq\f(7x,15y)=-eq\f(23y,30),以x应用一阶线性非齐次微分方程的通解，用公式如下：x=eqe\s\up15(\i(,,\f(7,15y)dy))(eq\i(,,-eq\f(23y,30)eqe\s\up15(\i(,,-\f(7,15y)dy))dy)+C)=eqe\s\up15(\f(7,15)\i(,,\f(dy,y)))(eq\i(,,-eq\f(23y,30)eqe\s\up15(-\f(7,15)\i(,,\f(dy,y)))dy)+C)=eqe\s\up15(\f(7,15)lny)(eq\i(,,-eq\f(23y,30)eqe\s\up15(-\f(7,15)lny)dy)+C)=eqy\s\up15(\f(7,15))(eq\i(,,-eq\f(23,30)y*eqy\s\up15(-\f(7,15))dy)+C)=eqy\s\up15(\f(7,15))(-eq\f(23,30)eq\i(,,eqy\s\up15(\f(8,15))dy)+C)=eqy\s\up15(\f(7,15))(-eq\f(1,2)eqy\s\up15(\f(23,15))+C)=-eq\f(1,2)eqy\s\up15(2)+Ceqy\s\up15(\f(7,15))。即为本题所求微分方程的通解。4.微分方程28ydx+(4x2-9x)dy=0的通解计算主要步骤：解：由微分方程的分离变量积分法来求通解。因为28ydx+(4x2-9x)dy=0，所以(4x2-9x)dy=-28ydx，即：(4x2-9x)eq\f(dy,dx)=-28y，进一步变形为：eq\f(dy,y)=28eq\f(dx,9x-4x2),两边同时对x积分得：eq\i(,,eq\f(dy,y))=28eq\i(,,eq\f(dx,9x-4x2))=28eq\i(,,eq\f(dx,x(9-4x))),ln|y|=eq\f(28,9)(eq\i(,,eq\f(dx,x))-eq\i(,,eq\f(4dx,4x-9))),右边进一步积分得：9ln|y|=28eqln|\f(x,4x-9)|+C1,9ln|y|=28eqln|\f(x,4x-9)|+lnC,所以该微分方程的通解为：y9=C(eq\f(x,4x-9))28.5.求解微分方程17x2+4x-6y'=0的通解主要步骤：解：根据题意，由不定积分分离变量法有：17x2+4x-6y'=0，17x2+4x=6y'，即：17x2+4x=6eq\f(