2025年安徽省芜湖市无为市 九年级一模数学试题（解析版）

无为市2024—2025学年第二学期学情调研一数学（试题卷）注意事项：1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.的倒数是（）A.2025 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的定义，由绝对值的意义可得，再根据倒数的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：∵，∴的倒数是，故选：C．2.2025年1月25日，安徽省举行“贯彻落实新春第一会精神奋力推动经济持续回升向好”新闻发布会，会上指出2024年，安徽地区生产总值增长5.8%，增速高于全国0.8个百分点、并列全国第3位，总量突破5万亿元、达到万亿元．其中万亿用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．【详解】解：万亿．故选：C．3.如图中所示的几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查三视图，根据左视图是从左边看到的图形，进行判断即可，注意存在看不见的要用虚线进行表示．【详解】解：由图可知，左视图为：故选D．4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、完全平方公式，逐项判断即可求解．【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；B、，故本选项符合题意；C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项不符合题意；故选：B5.如图，在矩形中，，，以点A为圆心，为半径的弧交于点E，则阴影部分的扇形面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查扇形的面积，矩形的性质，三角函数的应用等知识，求解，证明，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴．故选：D．6.已知一次函数与反比例函数（）的图象没有交点，则k的值可以为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，依据题意，先把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出的取值范围，找出符合条件的的值即可．根据题意把函数的交点问题转化为求一元二次方程解的问题是解答此题的关键．【详解】解：反比例函数与一次函数的图象没有交点，方程组无解，即无解．方程，解得．四个选项中只有，所以只有选项B符合条件．故选：B．7.如图，在等腰中，，，，，连接交于点E，若，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，过点作于，求出，则，证明，可得，设，则，在中，根据勾股定理即可求解，正确作出辅助线，构建全等三角形是本题的关键．【详解】解：如图，过点作于，，，，，，在和中，，，，，设，则，，在中，，，，（负值舍去），，故选：B．8.已知点在第一象限，且满足，，设，若，则（）A.S有最大值2 B.S有最小值 C.S的值恒为1 D.S有最大值1【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，根据已知条件，求出、的值，再根据在第一象限，得到，，求出的取值范围，根据的取值范围和，求出的取值范围，即可得出答案，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的应用．【详解】解：由题意得，由①②得，即，，由①②得，即，，，在第一象限，，，，，且，，解得，，，，有最大值2．故选：A．9.在凸四边形中，，，点在线段（不与端点重合）上，且，连接，．则下列结论错误的是（）A. B.若，则C. D.若，则【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，根据题意添加合适的辅助线是解题关键．A、证得，可推得，即可求解；B、通过题意进行等量代换即可求解；C、延长，作于点，证得四边形是矩形，结合直角三角形的斜边与两条直角边的关系即可求解；D、结合C选项和勾股定理即可求解．【详解】解：A、根据题意，如图所示：在和中，，，，，，，，故A选项正确，但不符合题意；B、，，，，，，故B选项正确，但不符合题意；C、如图，延长，作于点，，四边形是矩形，，是的斜边，，，，故C选项正确，但不符合题意；D、由C选项得：，在中，，无法判断和的大小，故D选项错误，但符合题意．故选：D．10.如图，在中，，，，点D，E分别在线段，上，且是的中位线，点P从点D出发沿向点E运动，点Q在上且满足，连接，过点Q作交于点R，设点P运动的路程为x，的面积为y，则y关于x的函数图象为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，二次函数的图象性质，先证明四边形为平行四边形，所以，再证，列比例式，得到，，所以，再根据三角形面积公式列出关于的函数表达式，利用函数性质解题．，掌握以上内容是解题关键．【详解】解：是的中位线，，，四边形为平行四边形，，，，，，，，故，所以抛物线的开口向下，顶点为，自变量的取值范围为，以点和为端点的抛物线上的一段．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【详解】解：原式，故答案为：．12.对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果（且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：，例如：因为，所以，计算_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了新定义，负整数指数幂的含义，算术平方根的含义，根据新定义结合负整数指数幂，算术平方根的含义计算即可．【详解】解：由题意，得∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．13.如图，点A，B在反比例函数（，）的图象上，它们的横坐标分别为1和3，且的面积为12，则______．【答案】9【解析】【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，分别过，作轴于，轴于，由点，在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别为1和3，得到，，求得，，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，分别过，作轴于，轴于，点，在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别为1和3，，，，，，，的面积梯形的面积的面积的面积梯形的面积，，解得．故答案为：9．14.已知矩形，连接，点E是上一点，使得．（1）如图1，若，，则____；（2）如图2，连接交于点F，若，则___．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）证明，设，则，在中由勾股定理建立方程求解；（2）由（1）知可设，设，则，可求在，故，而，则，那么，设，，则，代入求解即可．【详解】解：（1）在矩形中，∴，，∴，∵，∴，∴，设，则，在中，∵，∴，解得，故的长为，故答案为：；（2）如图，由（1）知可设，∵，∴设，∵四边形是矩形，∴，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴，设，，则，∴，∴，解得，（舍去），∴．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，难度较大，解题的关键在于相似三角形的应用．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】分析】本题考查了分式的化简求值，先进行括号内同分母的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，熟练计算是解题的关键．【详解】解：原式，当时，原式．16.如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上（网格线的交点叫做格点），点，，的坐标分别为，，．（1）以原点为位似中心，在点同侧将放大为原来的倍，得到，画出；（点的对应点为，点的对应点为）（2）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为_____；（3）请仅用无刻度的直尺作出的高线．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】【分析】本题主要考查了位似变换的作图，画旋转图形，熟练掌握图形旋转的性质是解题关键．（1）以原点为位似中心，利用网格特点，根据位似的性质，找到对应点、、，连线即可；（2）作、两组对称点的垂直平分线，交于点，点即为旋转中心；（3）利用网格格点特征，即可求解．【小问1详解】解：如图，为所求．【小问2详解】解：如图，作、两组对称点的垂直平分线，交于点，点即旋转中心．【小问3详解】解：如图，找格点，连接，交于，为所求．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十四斤，问生丝几何？”，其大意是：今有生丝斤，干燥后损耗斤两（我国古代斤等于两），今有干丝斤，问原有生丝多少斤？【答案】原有生丝斤【解析】【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程，即可求解．详解】解：设原有生丝斤，依题意，得：，解得，答：原有生丝斤．18.问题提出：请观察下列关于正整数的平方拆分等式：①；②；③；④．（1）请用上面的拆分方法拆分；（2）用含有字母n（n是正整数）的等式表示这一规律，并借助运算证明这个结论是正确的；（3）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．证明：将一个边长为a正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图：这个图形的面积可以表示成：或，∴，这就验证了两数和的完全平方公式．类比解决：请你用图形的几何意义证明（2）中等式结论的正确性．（画出图形并标出相关数据）【答案】（1）（2）．理由见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查了数字规律，完全平方公式与几何图形结合，正确理解题意，熟练计算是解题的关键．（1）根据题意即可解答；（2）根据规律写出式子，再计算等式左右两边，比较即可；（3）根据题意画出图形即可．【小问1详解】解：依据题中等式的规律可得：①；②；③；④．则；【小问2详解】解：依据题中等式的规律可得：①；②；③；④．则第个式子为，理由：∵右边，左边，∴左边右边，∴成立；【小问3详解】解：如图，满足要求.，大正方形面积为等于小正方形的面积加两个矩形面积，即.五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.春天到了，万物复苏，小明在公园里放风筝，一开始小明站在处，风筝在空中的处，此时风筝线与地平线的夹角为，为了保证风筝能够平稳飞行，小明走到了外的处，此时风筝线与地平线的夹角为，而风筝的高度依然不变．求风筝的高度．（，，最后结果精确到米）【答案】风筝的高度为【解析】【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的计算，解直角三角形的应用，根据题意作适合的辅助线以构造直角三角形是解题关键．过点作，交延长线于点，通过三角函数可得、，利用构建一元一次方程，解方程，再把代入计算即可．【详解】解：过点作，交延长线于点，如图所示：则，，在中，，∴，在中，，，，解得：，答：风筝的高度为．20.已知点A，P，B，C在上，，点D在的延长线上，连接．（1）如图1，若，求证：是的切线；（2）如图2，若，，，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关键．（1）连接并延长交于点G，连接，可得，根据得到，利用角度转换即可解答；（2）过点C作交的延长线于点Q，根据，可得，即可证明，利用相似三角形的性质可得，设，则，根据解直角三角形和勾股定理列方程，再证明，即可解答．【小问1详解】证明：如图1，连接并延长交于点G，连接，∵是直径，∴，∵，且，∴，∴，∴，是半径，∴是的切线；【小问2详解】解：如图2，过点C作交的延长线于点Q，∵，，∴，，，，∴，∴，∴，设，则，∵，∴，∵，∴.，，∴，由勾股定理可得，∴，∴，∴，，由，∴，∴，∴，∴．六、（本题满分12分）21.某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．选项占调查人数的百分比ABCDE解决问题：请根据图表提供的信息，完成下列任务．（1）本次一共调查了_____名学生，统计表中，______，_____；（2）请补全条形统计图；（3）若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数；（4）小军要从以上五个数学游戏中任意选两个，请用列表或画树状图的方法求小军恰好选中B和E的概率．【答案】（1）400，7.5，15（2）见解析（3）估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数150人（4）小军恰好选中B和E的概率为【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、统计表、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键．（1）用条形统计图中的人数除以表格中的百分比可得共调查的学生人数；用的人数除以共调查的学生人数再乘以可得，用1分别减去，，，的百分比可得，进而可得，的值．（2）分别求出，选项的人数，补全条形统计图即可．（3）根据用样本估计总体，用1000乘以，即可得出答案．（4）列表可得出所有等可能的结果数以及小军恰好选中和的结果数，再利用概率公式可得出答案．【小问1详解】解：本次一共调查了（名学生．，，，．故答案为：400；7.5；15．【小问2详解】解：选项的人数为（人，选项的人数为（人，补全条形统计图如图所示．；【小问3详解】解：（人，估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数约150人．【小问4详解】解：列表如下：

共有20种等可能的结果，其中小军恰好选中和的结果有：，，共2种，小军恰好选中和的概率为．七、（本题满分12分）22.如图，已知在矩形中，，，点为边上一点（不与点，点重合），先将矩形沿折叠，使点落在点处，（1）如图，设，，请判断与的数量关系，并说明理由；（2）若为中点，求的值；（3）若点落在矩形的对角线上，求的长．【答案】（1），理由见解析（2）（3）或【解析】【分析】（1）由矩形的性质得，由翻折的性质得，推得，将、代入即可求解；（2）延长与延长线交于点G，证得，得，设，代入，得，利用勾股定理可求得、的值，通过即可求解．（3）分类讨论：①利用勾股定理推得点不会落在对角线的交点上；②当点落在上时，利用矩形的性质推得，结合三角函数即可求解的值；③当点F落在上时，利用翻折的性质结合三角函数可得，即可求解的值．【小问1详解】解：∵，∴，由翻折的性质可知，∴，∵，，∴，∴，∴．【小问2详解】解：如图所示，延长与的延长线交于点G，故∵E为中点，∴，设，∵，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴，化简得，解得或（舍去），∴，∴，∵，∴．【小问3详解】解：①∵，，∴，∴，，∴点不会落在对角线的交点上；②当点落在上时，如图所示，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；③当点F落在上时，如图所示，由翻折的性质可知，为的垂直平分线，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；综上所述，或．【点睛】