电路定理课件

04四月20251

电路定理04四月20252§4-1叠加定理1.定理的内容：对于线性电路，任何一条支路的电流(或电压)，都可以看成是各个独立源分别单独作用时，在该支路所产生的电流(或电压)的代数和。+-uSR1iSR2i2+-u1①R11+R21un1=iS+R1uSun1=R1+R2R1R2iS+R2uS2.定理的证明用结点法。()R1+R2i2

=un1R2=R1+R2R1iS+1uSR1+R2=

un1(1)+

un1(2)=

i2(1)+

i2(2)04四月20253结论

结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。+-uSR1iSR2i2+-u1①R11+R21un1=iS+R1uSun1=R1+R2R1R2iS+R2uS()R1+R2i2

=un1R2=R1+R2R1iS+1uSR1+R2=

un1(1)+

un1(2)=

i2(1)+

i2(2)3.说明①叠加定理只适用于线性电路。②一个电源作用，其余电源为零：电流源为零—开路。电压源为零—短路。

见下列示意图：04四月20254两个电源共同作用=+-uSR1iSR2i2结果为+电压源单独作用R1+R2R1iS

i2(1)=

i2(2)=uSR1+R2+-uSR1iSR2i2(1)+-uSR1R2i2(2)i2=i2(1)+

i2(2)结果为所以电流源单独作用04四月202553.说明(续)③叠加时要注意各分量的参考方向；④功率不能叠加(功率是电压和电流的乘积，为电源的二次函数)！⑤叠加方式是任意的，电源可以单独作用，也可以按组作用。⑥含受控源的线性电路也可用叠加，但受控源应始终保留。

P=i2R=

(i'

+i''

)2R，

P

i'

2R+

i''

2R04四月20256

以上以两个电源为例作了说明。对于任何线性电路，当电路有g个电压源和h个电流源时，任意一处的电压uf

和电流if

都可以写成以下形式：叠加原理是线性电路的根本属性，它一方面可以用来简化电路计算，另一方面，线性电路的许多定理可以从叠加定理导出。在线性电路分析中，叠加原理起重要作用。uf=∑m=1g

kfm

uSmKfm

iSm∑m=1hif=∑m=1g

k'fm

uSm++K'fm

iSm∑m=1h04四月20257I2A70V+-10

5

2

4

4.解题指导例1：求电压源的电流及发出的功率。解：画出分电路图。2A70V+-10

5

2

4

I(2)

2A电流源作用：=+I(1)=0。I(1)70V+-10

5

2

4

2A

70V电压源作用：I(2)=707+7014=15AI=I(1)+I(2)=15

A

P发=70

15=1050W电桥平衡应用叠加定理使计算简化。04四月20258例2：计算电压u。-+6V6W1Wu+-12V3W3A+-2A-+6V6W1Wu(1)+-12V3W3A+-2A=解：画出分电路图计算①3A电流源作用时：u(1)=3

[(6//3)+1]u(2)=6i(2)-6

u

=u(1)+u(2)=17V

叠加方式是任意的，可以单干，亦可按组。取决于分析计算的简便与否。②其它电源作用时：+-+6V6W1Wu(2)+-12V3W3A+-2Ai(2)2A+-2V+2

=8V=9Vi(2)

=(6+12)/(6+3)=2A

04四月20259例3：计算电压u、电流

i。2i+-1W2Wi+-10V+-u5A2i(1)+-1W2Wi(1)+-10V+-5Au(1)2i(2)+-1W2W+-10V+-5Ai(2)u(2)解：画分电路。10V电源作用：10=(2+1)i(1)+2i(1)i(1)=2Au(1)=1

i(1)+2i(1)5A电源作用：i(2)+52i(2)i(2)=-1Au(2)=-2i(2)=2Vu

=6

+2=8Vi

=2

+(-1)=1A

受控源要始终保留！=3i(1)=6V+1

(i(2)+5)+2i(2)

=004四月202510例4：封装好的电路如图。无源线性网络iiS+-uS已知下列实验数据：当iS=1A时，uS=1V，响应i=2A；当iS=2A时，uS=-1V，响应i=1A；求iS=5A时，uS=-3V，响应i=？解：根据叠加定理代入实验数据：i=k1iS+k2uSk1+k2=2

2k1-k2=1

k1

=1，

k2

=1i=1

5+1

(-3)解之得=2A

本例给出了研究激励与响应关系的实验方法。04四月2025115.齐性定理f(Kx)=

K

f(x)

当所有激励(电压源和电流源)都增大或缩小K倍(K为实常数)时，响应(电流和电压)也将同样增大或缩小K倍。

首先，激励指独立电源；其次，必须全部激励同时增大或缩小K倍。Kif

=∑m=1g

k'f

m

uSm+K'fm

iSm∑m=1h()K

显然，当电路中只有一个激励时，响应将与激励成正比。用齐性定理分析梯形电路特别有效。04四月202512举例说明

求各支路电流。采用“倒退法”i'3

=3A。+-26VR1R2i21

i11

uSR11

i3i4R21

iLRL2

ABC设i'L

=1A，得u'BC

=2V。i'4

=2A。

u'AC

=5V。i'2

=5A。i'1

=8A。

u'S

=13V。再用齐性定理修正：将u'S增大K

=uSu'S=2613

=2(倍)i1=K

i'1=16Ai2=K

i'2=10Ai3=K

i'3=6Ai4=K

i'4=4AiL=K

i'L=2A04四月202513§4-2替代定理1.

替代定理对于给定的一个任意电路，若某一支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用：①电压等于uk的独立电压源；或者②电流等于ik

的独立电流源；或者③阻值等于(uk/

ik)的电阻来替代。替代后，该电路中其余部分的电压和电流均保持不变(解答唯一)。04四月202514替代定理的示意图uSkikN+-Rk+-uk注意极性！uS=ukN+-用电压源替代N用电流源替代iS=ik注意方向！ukikN用电阻替代R=04四月2025152.定理的证明ikN+-uk任一支路k+-uk-+uk+-ukikN+-uk+-uk任一支路kikN+-uk+-uk

替代定理也称置换定理，电路分析时可简化电路；有些新的等效变换方法与定理需用它导出；实践中，采用假负载对电路进行测试，或进行模拟试验也以此为理论依据。04四月202516

注意：

被替代的支路可以是有源的，或无源的(如只含一个电阻等)。但不能含受控源或受控源的控制量！+-uRuSkik+-Rk+-uk替代前的电路NuS=uk+-替代后的电路N

例如：Rk两端的电压uR为“N”中某个受控源的控制量，用电压等于uk的独立电压源替代后，uR不存在了。04四月202517例：求图示电路的支路电压和电流。解：

替代后各支路电流和电压不变。+-110Vi25

i110

6

i39

+-u替代i1=(6+9)110=10Ai2

=10+1515

10=6Ai3=i1-i2=4A，u

=10i2=60Vi1=5110-60=10Ai3=60=4A6+9+-110Vi25

i16

i39

+-u60V//10[]+5

若用u=60V的电压源替代10

支路,则有：04四月202518例：求图示电路的支路电压和电流。解：

替代后各支路电流和电压也不变。+-110Vi25

i110

6

i39

+-u替代i1=(6+9)110=10Ai2

=6A，i3=4A，u

=60Vi1

=5+(6+9)110-15

6=10A//10[]+5

若用i=i2=6A的电流源替代10

支路,则有：+-110Vi25

i16

i39

+-u6A110

=5i1+

(6+9)i3(i1-6)i3=i1

-6=4Au

=15i3

=60V04四月202519原因

用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。直观地理解：对给定的一组线性(或非线性)代数方程，只要存在唯一解，则其中任何一个未知量，如果用解答值去替代，肯定不会引起其它变量的解答在量值上有所改变。例如：x+y+z=63x+2y+z=105x+3y+4z=23已知z=3x+y+3

=63x+2y+3

=105x+3y+4

3

=2304四月202520

注意替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。替代后电路必须有唯一解。无电压源回路；无电流源结点(含广义结点)。i=2A-2

+10V-+6V-+6V？？替代后其余支路及参数不能改变。04四月2025213.替代定理的应用解：用替代例1:若则Rx=?。Ix=81I,

I1

0.5

0.5

0.5

Ix+-10V3

-+URxI1

0.5

0.5

0.5

-+U81IU

I1

0.5

0.5

0.5

-+用叠加U

=-0.5

I2+1I1I1I2=-0.5

2.51.5I

(I单独作用)2.51I=0.1I+1

(=Rx)IxU分析：应求出04四月202522U

=0.1IU

I1

0.5

0.5

0.5

-+1

0.5

0.5

0.5

-+81IU

I1

0.5

0.5

0.5

-+U81I(I/8)单独作用U

=-0.075I(0.5+0.5)U=U

+U

=0.025I=0.1I

-0.075II1I1=(0.5+0.5)+(1+0.5)(1+0.5)81I2.51.581I==

-0.075I=

-0.075IRx=IxU0.125I0.025I==0.2

=0.125I时当Ix=81I

04四月202523例2：求i1+-i18V3W6W5

8

2

4A+-6V1

+-6V1

2

+-i18V8

2

4Ai18

2

4A1Ai1=2+88

(4-1)=2.4A04四月202524例3：用多大电阻替代2V电压源而不影响电路的工作。+-4V10

2

3A10

+-2V4

2

解：应求2V电压源的I为求I1，先化简电路。并联等效变换+-10V5

2

+-2V2

①

应用结点法得：（21+un1=51+21）210+22=6un1=5VI1I1=25-2=1.5AI1I2I2=42=0.5AI=I1-I2=1AR=12=2

电流

I：=I1-I204四月202525作业:4-404四月202526

快速回放91.叠加定理和齐性定理

反映想线性电路基本性质的两个定理。描述线性电路的方程是线性方程，其解答满足可加性和齐性。(1)叠加定理

在线性唯一解的电路中，由几个电源共同作用产生的响应等于各独立电源单独作用时产生相应响应的代数和。(2)齐性定理数学描述：f(Kx)=Kf(x)

当所有激励(独立电源)都增大或缩小K倍时，响应(电流和电压)也将同样增大或缩小K倍。

在只有一个激励的电路中，响应与激励成正比。04四月202527(3)说明

叠加定理和齐性定理可一般表述为：线性直流电路的任意响应Y都是激励X1，X2

，∙∙∙，Xm的线性组合，即Y=K1X1

+K2X2+∙∙∙+KmXm④功率不能叠加。①叠加方式是任意的。②独立电源单独作用时，受控源要保留在电路中。

根据具体情况：单独作用，分组作用。甚至可以将某个激励拆成若干不同激励值作用。③不作用的电压源用短路线替代不作用的电流源用开路端口替代⑤仅适用于线性电路。04四月2025282.替代定理(1)定理的内容在任意线性或非线性电路中，若某支路电压为uk、电流为ik，则可用①电压等于uk的独立电压源；或者②电流等于ik

的独立电流源；或者③阻值等于(uk/

ik)的电阻来替代。替代后不影响其它部分的电压和电流。(2)应用条件①替代前后的电路必须有唯一解。②被替代的电路部分与电路其它部分不能有耦合。③替代后其余支路及参数不能改变。回放结束04四月202529例4：+-42V4

30W10

60WR20

0.5Aabcd40

25

解：用开路替代后求ubdubd

=0.5

20=10V用短路替代后求uacuac=ubd

=

10V20

先求并联电阻+-uRuR=20

1

+uaciRiR=42-uR4-1=R=uRiR=15

42-304-1=2A

=302iab=0idc=0iab=0，idc=0。所以ubd因uab=0，udc=0uac因uab=0，30//60=20

1A=20+10

=30V求电阻R。已知uab=0，04四月202530习题3-12(作业题)解：1.4Ia-+U0-+14VIa8W2.5W15W4W2W

把受控源看作独立电源；使无伴受控电流源支路仅属于一个回路I1

=1.4Ia-2I1+12.5I2-2.5I3=-14-15I1-2.5I2+21.5I3=0

用回路电流表示控制量Ia

=I3

消去I1并整理得-5.3I312.5I2=-14+0.5I3-2.5I2=0

解得Ia

=I3

=

5AI2

=

1AU0

=

-8I2-14=-42VI2I1I31.4Ia-+U0-+14VIa8W2.5W15W4W2W-4I3=1.4I304四月202531§4-3戴维宁定理和诺顿定理

对一个复杂的电路，有时我们只对局部的电压和电流感兴趣，例如只需计算某一条支路的电流或电压，

此时，采用戴维宁定理或者是诺顿定理，就比对整体电路列方程求解简单。+-10VR5kWi3mA20kW16kW+-ui=?或

u=?或

R=?能获得最大功率?其余部分就成为一个有源二端网络：04四月2025321.戴维宁定理！

任何一个线性含源一端口NS，对外电路来说，都可以用一个电压源和电阻的串联组合等效替代；电压源的电压等于NS的开路电压uoc，电阻等于NS中所有独立源置零时的输入电阻Req。含源一单口NS外电路+-ReqiuocR+u-11'11'+-10VR5kWi3mA20kW16kW+-u等效电路04四月2025331.戴维宁定理！

任何一个线性含源一端口NS，对外电路来说，都可以用一个电压源和电阻的串联组合等效替代；电压源的电压等于NS的开路电压uoc，电阻等于NS

中所有独立源置零时的输入电阻Req。+-ReqiuocR+u-11'+-Req11'+-10V5kW3mA20kW16kWuRiuoc04四月202534应用电源等效变换+-20V+-10V10W10Wab+-Uocab+-Uoc2A10W1A10Wab+-Uoc3A5W+-15V5Wab+-Uoc(1)求开路电压Uoc应用电戴维宁定理II=20-1010+10=0.5AUoc=(2)求输入电阻ReqReq=

10//10=5W

两种解法结果一致，戴维宁定理更具普遍性。例：+10=15V10

0.5

Req04四月2025352.定理的证明应用替代定理和叠加定理。iNSRL+-u11'u

=u(1)

+

u(2)=uoc-

iReqiNS+-u11'i(1)=0u(1)=uocNS+-11'iS=iu(2)

N0+-11'i(2)=iu(2)=-iReqReq+-ReqiuocRL+u-11'=+04四月2025363.定理的应用(1)开路电压Uoc的计算(2)等效电阻Req的计算

戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。

等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用的计算方法有三种：04四月202537

计算Req

的方法当一端口内部不含受控源时，可采用电阻串并联和△－Y互换的方法计算等效电阻；开路电压、短路电流法。外加电源法(加电压求电流或加电流求电压)；iN0

+-u11'ReqiN0

+-u11'ReqReq

=ui+-Requoc+uoc-11'+-Requocisc11'Req

=uocisc

①、②法第2章讲过。

②、③法更有一般性。04四月2025384.解题指导例1：计算Rx分别为1.2

、5.2

时的电流I。Ia10V+-Rx4Wb4W6W6W解：断开Rx支路，将剩余一端口化为戴维宁等效电路：Uoc

=

U2

-

U1求开路电压Uoca10V+-Uoc4Wb4W6W6W+-+-U1+-U2=6-4=2V求等效电阻ReqReq=(4//6)+(6//4)=4.8

a10V+-Req4Wb4W6W6W+-RequocabRxI4.8

2V04四月202539

当Rx

=1.2

时，当Rx

=5.2

时，4.解题指导例1：计算Rx分别为1.2

、5.2

时的电流I。Ia10V+-Rx4Wb4W6W6W+-RequocabRxI4.8

2VI=UocReq+

Rx

=24.8+1.2=0.333AI=UocReq+

Rx

=24.8+5.2=0.2A04四月202540例2：求电压U0。+-3W6WI+-9V+-U06I3W解：①求开路电压UocI=Uoc=9V+-3W6WI+-9V+-Uoc6I96+3=1AUoc=6I+3I求等效电阻Req方法1：加电压求电流法+-3W6WI+-9V+-U6II1I

=6+36I1=(2/3)I1U

=6I+3I=9I=6I1Req

=I1U=6

04四月202541例2：求电压U0。+-3W6WI+-9V+-U06I3W方法2：开路电压、短路电流法(Uoc=9V)6I2

+3I=96I+3I=0I=0Isc

=I2=+-3W6WI+-9V6IIscI296=1.5AReq

=IscUoc=6

=1.59等效电路+-ReqUoc6

9V3W+-U0U0

=6+39

3

=3V×04四月202542

注意：计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。解：①求开路电压Uoc例3：求负载RL消耗的功率。等效变换4I1+-40V50W50W100W+-50V5WRL4I15W+-40V50W50W-+50VRL100WI104四月202543例3：求负载RL消耗的功率。200I1+-40V50W50W100W+-I1Isc200I1+-40V50W50W100W+-I1+-Uoc(50+50)I1+200I1+100I1=40I1

=0.1AUoc

=100I1=10V求等效电阻Req用开路电压、短路电流法Isc

=40/(50+50)

=0.4AReq

=IscUoc=25

+-ReqUoc25

10V

5W-+50VRL04四月202544例3：求负载RL消耗的功率。4I15W+-40V50W50W-+50VRL100WI1+-ReqUoc25

10V

5W-+50VRLILIL

=Uoc+5025+5

=2APL

=5

IL2=54=20W04四月202545例4：求戴维宁等效电路。

解法1：R3无压降，a-+25VR15W3A20W4WR2iS2uS1R3o11'uoc=51201+525+3=4+1100+60=32V+-Requoc11'Req=4+5+205

20=8

uoc=

uac。由结点法a-+25VR15W3A20W4WR2iS2uS1R3o11'04四月202546例4：求戴维宁等效电路。

解法2：在端口处加u，与u

=uoc-Req

i

uao=51201+525+3+41+4u=2u+16uao=

4i+u消去uao得u=32-8iuoc=32V，a-+25VR15W3A20W4WR2iS2uS1R3o11'+-Requoc11'i+-u比较得：写出u与

i的关系：Req=8

04四月2025475.诺顿定理

一个线性含源一端口Ns，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合等效置换。电流源的电流等于Ns的短路电流

isc，电阻等于Ns中所有独立源置零时的输入电阻Req。与戴维宁定理统称等效发电机定理。+-11'iscReqiuiNS+-u11'

一般情况，诺顿等效电路可以由戴维宁等效电路经电源等效变换得到，反之亦然。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。iscNS11'N011'Req04四月2025486.解题指导例1：求下图的等效发电机。解：本题求短路电流比较方便。+-40V20W3A11'+-40V40W+-60V20Wisc+-11'iscReqisc

==-2+1+3-3=

-1AReq=20//40//20=8

+-40V20W3A11'+-40V40W+-60V20W-4020+4040+3-4020-1A8

04四月202549例2：求电压U。Isc

=6W+-24V3W3W6WabIsc6W6W6W+-24V3W3W6Wab6W6W+-U1A

本题用诺顿定理求比较方便，求短路电流Isc(6//6)+324

21+(3//6)+624

3+63=3A因a、b处的短路电流比开路电压容易求。04四月202550例2：求电压U。求等效电阻Req6W+-24V3W3W6Wab6W6W+-U1AReq

=[(3//6)+6]//

[(3//6)+6]=

8

//

8

=

4

abIscReq4W3A+-U1AU

=

(3+1)

4

=16VIsc

=3A3W6W+-24V3W6Wab6W6WReq

04四月202551

注意若一端口的等效电阻Req=0，则该一端口网络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。若一端口的等效电阻Req=

，则该一端口网络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。N011'Req=

11'iscN011'Req=011'+-uoc04四月202552例3：习题4-13(a)P1103i解：求uOC1-1'端开路时i

=0

3i

=0uOC+-uOC=4+2+610

6=5V+-10V6W4

2

11'i求Req+-10V6W4

i11'6i+-2

Req若在1-1'端口加电压，则无论i为何值，故1-1'端口电压为0。6Wi11'i6WReq两6

电阻中均无电流，04四月202553例3：习题4-13(a)解：求uOCuOC+-uOC=5V3i+-10V6W4

2

11'i求Req6Wi11'i6WReq电流任意，端电压为0，这是短路线的特点。所以：Req=0+-5V11'是一个无内阻的电压源。不存在诺顿等效电路。iSC2i

若求短路电流iSC=i

i10=4i-2

2i=0i04四月202554作业：4-1504四月2025551.戴维宁定理

含源线性一端口NS的对外作用，可以用一个电压源和电阻的串联组合等效替代。其中，电压源的电压等于NS的开路电压uoc，电阻等于NS中所有独立源置零时所得无源一端口的输入电阻Req。

含源线性一端口NS的对外作用，可以用一个电流源和电阻的并联组合等效替代。其中，电流源的电流等于Ns的短路电流

isc，电阻等于Ns中所有独立源置零时所得无源一端口的输入电阻Req。2.诺顿定理

快速回放1004四月2025563.戴维宁定理和诺顿定理的说明(1)计算开路电压uOC或短路电流iSC

采用第2章中输入电阻的计算方法。

令一端口开路或短路，根据电路特点，选择某种列方程的方法，求出uOC或iSC。(2)计算等效电阻Req

求出一端口的开路电压uOC和短路电流iSC：Req

=uocisc(3)可用于复杂电路的化简和未知一端口的求解。回放结束04四月2025574–4最大功率传递定理

一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。i+-u含源线性一端口NSRL+-Requoci+-uRLRL=?可获得最大功率。P=i2RL=(Req+

RLuoc)RL电源传给负载

RL的功率为

204四月202558

含源线性一端口传给外接负载电阻最大功率的条件：RL

=Reqd2pdR2R=Req=-uoc28Req3<0负载获得的最大功率为：p=i2RL

=(Req+

RLuoc)2RL

p

RL

oPmax功率P随负载RL

而变化，存在一极大值点。dpdR=uoc2(Req-RL)(Req+

RL)3=0令：得：RL

=ReqPmax=4Requoc2最大功率匹配条件。04四月202559解题指导：RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率。RL解：①求开路电压Uoc20W10W2A+-20URUR+-20VI1I2I2=(UR/20)=I1I2+I1=2I2=I1=1AUoc=2×10②求等效电阻Req+-U20W10W2A+-20URUR+-20VI1I2I2=I1=I/2U

=10I

+20I2

=20IReq=U／I=20W③由最大功率传输定理得Pmax=4ReqUoc2=4×20602=45W+-Uoc+20I2+20=60VI04四月202560

注意最大功率传输定理用于一端口电路给定，负载电阻RL可调的情况；因等效仅对外电路(负载RL)而言，故一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率，当负载获取最大功率时，电路的传输效率并不一定是50%(见教材例4-10)；计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便。04四月202561§4-5*

特勒根定理1.特勒根定理一任何时刻，一个具有n个结点和b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足：∑bk=1ukik=0

定理一表明：任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。功率守恒

定理一对支路内容没有任何限制，对任何由线性、非线性、时变、时不变元件组成的集总电路都适用。04四月202562定理一的证明：=

un1i1用结点电压表示各支路电压：u1=

un1，

u2=

un1-

un2，

u3=

un2-

un3，

u4=

un3-

un1，∑6k=1ukik+u4i4+u5i5+u6i6把支路电压换成结点电压=u1i1+u2i2+u3i3①③②123456

u5=

un2，u6

=un3

+(un1-un2)i2+(un2-un3)i3+(un3-un1)i4+un2i5+un3i6=

un1(i1+i2-i4)+un2(-i2+i3+i5)+un3(-i3+i4+i6)①②③根据KCL可知：∑6k=1ukik=0证毕04四月2025632.特勒根定理二

任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成时，在支路电流和电压参考方向关联的情况下，满足：∑bk=1ukik=0ˆ①③②123456

①③②123456

uk,ikuk,ikˆˆ∑bk=1ukik=0ˆ拟功率定理(quasi-powertheorem)04四月202564用结点电压表示各支路电压，并代入整理得=0∑bk=1ukik

ˆ定理的证明：①③②123456

①③②123456

uk,ikuk,ikˆˆ对电路2应用KCLi1+i2-i4=0ˆˆˆ-i2+i3+i5=0ˆˆˆ-i3+i4+i6=0ˆˆˆ=u1i1ˆ+u2i2ˆ+u3i3ˆ+u4i4ˆ+u5i5ˆ+u6i6ˆ=

un1(i1+i2-i4)ˆˆˆ+

un2(-i2+i3+i5)ˆˆˆ+

un3(-i3+i4+i6)ˆˆˆ证毕04四月2025653.解题指导例1①R1=R2=2

，Us=8V时，I1=2A，U2=2V。②R1=1.4

，R2=0.8

，Us=9V时，I1=3A。

解：同一电路，不同参数，可视为拓扑结构相同，参数不同的两个电路。利用特勒根定理2:求此时的U2。由①得：U1=Us-R1I1=4V，I1=2AI2==1AU2R2由②得：U1ˆI1ˆI2==U2R2ˆˆ54U2

，ˆ=Us-R1I1=3A，=4.8Vˆ+-UsI1+-U1R2+-U2I2R1无源电阻网络U2=2V，U2是待求量。ˆ04四月202566由①得：U1=Us-R1I1=4V，I1=2AI2==1AU2R2由②得：U1ˆI1ˆI2==U2R2ˆˆ54U2

，ˆ=Us-R1I1=3A，=4.8VˆU2=2V，U2是待求量。ˆ无源电阻网络+-R1I2=1A+-2VU2

为防止出错，在图中标出这两种情况。无源电阻网络+-+-U2R1ˆ54U2ˆU1=4.8VˆI1=3AˆI2=ˆ?U1=4VI1=2AR2=2

2

R2=0.8

1.4

04四月202567负号是因为U1、I1的方向不关联。无源电阻网络+-U1=4V+-R1I1=2AI2=1A2VU2-U1I1ˆ+U2I2ˆ+∑k=3b(Rk

Ik)Ik=-U1I1ˆ+U2I2ˆ+∑k=3b(Rk

Ik)Ikˆˆ-4

3+2

54U2ˆ=-4.8

2+U2ˆ

1U2=ˆ2.41.5=1.6V代入数据得

为防止出错，在图中标出这两种情况。无源电阻网络+-+-U2R1ˆ54U2ˆU1=4.8VˆI1=3AˆI2=ˆ?求出：04四月202568例2：已知U1=10V,I1=5A,P+-U2I2I1ˆˆˆ+-U1ˆ2WP+-U2I2I1+-U1U2=10V。ˆ求U1。ˆU2=0,I2=1A，解：利用特勒根定理2U1I1ˆ-U2I2ˆ=-U1ˆI1+

U2ˆ

I2U1ˆˆ=2I1

10

2

1

U1ˆ=-U1ˆ

5+

10

1U1ˆ=1V

代入得：ˆI1

=

2

1

U1，ˆ-

0U1=10V，I1=5AU2=0，I2=1AU1待求。ˆ列出已知量和待求量：U2=10V，I2=0ˆˆ04四月202569

应用特勒根定理时注意①只与网络拓扑结构有关，网络N和N'必须具有相同的拓扑结构。故也可以是同一电路的不同时刻之间。②对应支路取相同的参考方向，且各支路电压、电流均取关联的参考方向；(不关联为负)③为防止列错方程，分别标出两电路对应支路的电压电流(也可以作简表)，这样已知量、未知量一目了然，不易出错；④实际解题应用中，要注意网络内部必须是无源电阻电路时其拟功率才相等，才可以抵消。04四月202570§4-6*互易定理

在讨论回路电流法和结点电压法时发现：若电路中只含独立电源和线性电阻，则有Rik=Rki，Gik=Gki，即两相邻回路间或是两相邻结点间的相互影响分别相同。这一现象说明，此类线性电路有一个重要性质—互易性(reciprocity)。互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端(激励)与输出端(响应)互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。

引言04四月2025711.互易定理

对一个仅含线性电阻的二端口网路，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。

互易定理有三种形式形式1：激励是电压源，响应为电流；形式2：激励是电流源，响应为电压；形式3：置后，激励是电压源，响应为电压。激励是电流源，响应为电流。互换位分别讨论如下。04四月2025722.互易定理的三种形式

把激励与响应互换位置后，uS1=i2i1uS2图1线性电阻网络b+-uS1i2adc线性电阻网络bi1adc图2+-uS2注意：若激励不变，则响应也不变。

形式①：激励是电压源，响应为电流。或uS1i1=uS2i2即：当uS1=

uS2时，i2=

i1

。端口电压电流满足关系：10V2A10V2A5V？1A04四月202573图1线性电阻网络b+-uS1i2adc线性电阻网络bi1adc图2+-uS2证明：

图中电阻网络有不同的外部条件，根据特勒根定理2有i1+-u2+-u1ˆi2ˆˆi1uS1i1++

u2i2bˆ两式相减，得ˆ∑k=3(Rk

ik)ikˆ=

0u1i1++

uS2i2bˆ∑k=3(Rk

ik)ikˆ=

0uS1i1=+

u2i2ˆˆu1

i1+

uS2i2ˆ代入u2

=0，u1

ˆuS1i1=

uS2i2注意到i1=i1ˆ证毕！

=0得ˆ04四月202574例：求图中的电流I。+-12V2W6W4W1WIbcda2W6W4W1WIbcda+-12V解：利用互易定理I1I1

=1

+6//(2+4)12

=3AI=2I1

=23

=1.5A04四月202575即端口电压电流满足关系：

把激励与响应互换位置图1线性电阻网络biS1u2adc+-线性电阻网络badc图2iS2u1+-

形式②：激励是电流源，响应为电压。-iS1u1+0=-iS2u2+0iS1=u2u1iS2或u1iS1=

u2iS2注意：当iS1=

iS2时，u2=

u1。由特勒根定理2得：后，04四月202576例：求图中的电压U。6A2W4W6W1WU+-6A2W4W6W1WU+-解：利用互易定理U=2

3

=6V3A图1线性电阻网络biS1u2adc+-线性电阻网络badc图2iS2u1+-形式②:u1iS1=

u2iS2若iS1=

iS2，则u2=

u104四月202577注意：若在数值上有iS1

=

uS2

，则i2

=

u1

。

形式③：激励是电流源，响应为电流；由特勒根定理2可得：图1线性电阻网络biS1adci2线性电阻网络badc图2+-uS2+-u1-iS1u1+uS2i2

=0+0

端口电压电流在数值上满足关系：iS1u1=uS2i2

或uS2=u1i2iS1

互换置后，激励是电压源，响应为电压。04四月202578

归纳三个条件，一个结论。三个条件：网络仅含线性电阻；单一激励下产生的响应；

把电压源和电流源置零时，互换前后的两电路相同。

一个结论：激励和响应互换位置后，其比值保持不变。互易定理有3种形式，其实可以统一定义为：04四月202579

互易时注意①互易前后注意电压电流的方向:支路电压和电流要么都关联，要么都非关联；②含受控源的网络，互易定理一般不成立；实际解题时，两电路中相同的部分都可以包含在线性电阻网络内部；互易定理是特勒根定理的特例。若发现电源都置零时两电路不同，就用特勒根解之。04四月202580例1：测得a图中U1=10V，U2=5V，求b图中的电流I。a图线性电阻网络b2AU2adc+-U1+-线性电阻网络badcb图2A+-I5

求开路电压解法1：U2ˆ=

U2=5V+-UocReqab5

I

思路：求出b图虚线框内的戴维宁等效电路后,再求I。

对照a图，利用互易定理即可得到：线性电阻网络badc2A+-U2+-ˆ=Uoc04四月202581求等效电阻ReqReq

=U1I1=102=5

+-5V5

ab5

I所以

I=0.5A

Req例1:测得a图中U1=10V,U2=5V,求b图中的电流I。a图线性电阻网络b2AU2adc+-U1+-线性电阻网络badcb图2A+-I5

线性电阻网络badc2A+-U2+-ˆ?U2ˆ=

U1=10V结合a图可知2AI1I1Uoc=5V04四月202582例1:测得a图中U1=10V,U2=5V,求b图中的电流I。解法2，应用特勒根定理：=U1I1ˆ-

U2I2ˆU1I1ˆ+

U2I2ˆ10

I-52=-5I2+U2ˆU20ˆ整理：20I=10a图线性电阻网络b2AU2adc+-U1+-线性电阻网络badcb图2A+-I5

I1ˆ

I1I2ˆ

分别标出两电路对应支路的电压电流。I1=I,ˆ+-U1ˆ

I2=0-U1=

5Iˆ注意到解得：I=0.5A04四月202583例2：问图示电路

与

取何关系时电路具有互易性?+-

U3WI+-U1W1WaIabcd解：在a-b端加电流源得Ucd

=UIS=(

+1)

aI

+3I=[(

+1)a

+3]IS在c-d端加电流源得+-

U3WI+-U1W1WaIabcdISUab

==(3-a)I

+3I+

U-aI+3I+

U+(IS+

aI)=(3-a

+

+

a)IS04四月202584如果要电路具有互易性，+-

U3WI+-U1W1WaIabcd例2：问图示电路

与

取何关系时电路具有互易性?Ucd

=[(

+1)a

+3]ISUab

=(3-a

+

+

a