人教版高中数学必修5简单的线性规划问题教案

人教版高中数学必修5简单的线性规划问题教案一、教学目标1.知识与技能目标了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念。能根据条件建立线性目标函数，并能在平面直角坐标系中正确画出可行域。掌握利用线性规划求目标函数的最大值和最小值的方法。2.过程与方法目标通过从实际问题中抽象出数学模型的过程，培养学生的数学建模能力。通过对线性规划问题的求解，让学生体验运用数形结合思想解题的直观性和有效性，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过实际问题的引入，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的应用意识和创新精神。在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神，让学生体验成功的喜悦。

二、教学重难点1.教学重点理解线性规划的有关概念，能正确画出可行域。掌握线性规划问题中目标函数最大值和最小值的求法。2.教学难点如何将实际问题转化为线性规划问题，并找出目标函数。理解目标函数的最优解与可行域边界点的关系。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合，采用多媒体辅助教学。

四、教学过程

（一）创设情境，引入新课展示以下实际问题：

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

提出问题：1.设甲、乙两种产品每天分别生产x件、y件，那么x、y应满足哪些条件？2.如何用数学语言来表示这些条件？

引导学生思考并回答，从而引出本节课的主题简单的线性规划问题。

（二）讲解新课1.线性约束条件与线性目标函数结合上述实际问题，分析得出x、y满足的条件：\[\begin{cases}x\geq0\\y\geq0\\4x\leq16\\4y\leq12\\x+2y\leq8\end{cases}\]指出这些不等式组就是该问题的约束条件，由于它们都是关于x、y的一次不等式，所以称为线性约束条件。设生产甲、乙两种产品的利润分别为z元，已知生产一件甲产品获利2元，生产一件乙产品获利3元，则利润\(z=2x+3y\)，这个式子称为目标函数。因为它是关于x、y的一次解析式，所以称为线性目标函数。

2.可行解、可行域与最优解对于满足上述线性约束条件的解\((x,y)\)，称为可行解。由所有可行解组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解。

3.画出可行域引导学生在平面直角坐标系中分别画出不等式\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，\(4x\leq16\)（即\(x\leq4\)），\(4y\leq12\)（即\(y\leq3\)），\(x+2y\leq8\)所表示的区域。强调不等式\(x+2y\leq8\)所表示区域的画法：先画出直线\(x+2y=8\)，取直线上及直线下方的点满足不等式，用阴影部分表示。让学生观察这些区域的公共部分，得出可行域是一个多边形区域（包括边界）。

4.求目标函数的最值将目标函数\(z=2x+3y\)变形为\(y=\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}\)，这里\(\frac{z}{3}\)是直线\(y=\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}\)在y轴上的截距。当z变化时，得到一组互相平行的直线。通过平移直线\(y=\frac{2}{3}x\)，观察直线在可行域内平移时截距的变化情况。当直线经过可行域内的点\((4,2)\)时，截距\(\frac{z}{3}\)最大，此时z取得最大值。计算\(z_{max}=2×4+3×2=14\)。

总结求解线性规划问题的一般步骤：1.分析并设出变量，找出线性约束条件和线性目标函数。2.画出可行域。3.利用目标函数的几何意义，通过平移目标函数对应的直线，找出最优解。4.求出目标函数的最大值或最小值。

（三）例题讲解例1：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪。1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少kg？

解：设每天食用\(xkg\)食物A，\(ykg\)食物B，总成本为z元。

则线性约束条件为：\[\begin{cases}0.105x+0.105y\geq0.075\\0.07x+0.14y\geq0.06\\0.14x+0.07y\geq0.06\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}\]化简得：\[\begin{cases}x+y\geq\frac{5}{7}\\x+2y\geq\frac{6}{7}\\2x+y\geq\frac{6}{7}\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}\]

目标函数为\(z=28x+21y\)。

画出可行域（略）。

将目标函数\(z=28x+21y\)变形为\(y=\frac{4}{3}x+\frac{z}{21}\)。

通过平移直线，当直线经过可行域内的点\((\frac{1}{7},\frac{4}{7})\)时，z取得最小值。

\(z_{min}=28×\frac{1}{7}+21×\frac{4}{7}=16\)。

所以每天食用\(\frac{1}{7}kg\)食物A和\(\frac{4}{7}kg\)食物B时，花费最低为16元。

例2：已知\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}xy+5\geq0\\x+y\geq0\\x\leq3\end{cases}\)，求\(z=2x+4y\)的最大值和最小值。

解：先画出可行域（略）。

将目标函数\(z=2x+4y\)变形为\(y=\frac{1}{2}x+\frac{z}{4}\)。

当直线\(y=\frac{1}{2}x+\frac{z}{4}\)经过可行域内的点\((3,8)\)时，z取得最大值。

\(z_{max}=2×3+4×8=38\)。

当直线\(y=\frac{1}{2}x+\frac{z}{4}\)经过可行域内的点\((3,3)\)时，z取得最小值。

\(z_{min}=2×3+4×(3)=6\)。

（四）课堂练习1.已知\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x\geq1\\xy\leq0\\x+y4\leq0\end{cases}\)，求\(z=2xy\)的最大值和最小值。2.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该工厂在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该工厂可获得最大利润是多少万元？

（五）课堂小结1.请学生回顾线性规划的相关概念，如线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等。2.总结求解线性规划问题的一般步骤。3.强调在求解过程中，要注意正确画出可行域，理解目标函数的几何意义，并通过平移直线找到最优解。

（六）布置作业1.书面作业：教材P100练习第1、2、3题；习题3.3A组第1、2、3题。2.思考作业：如果目标函数变为\(z=\frac{y}{x}\)，该如何求解其最值？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对线性规划问题