工程力学C主观题第三次作业

工程力学C主观题第三次作业一、简答题1.简述平面汇交力系平衡的几何条件和解析条件。答：几何条件：平面汇交力系平衡的几何条件是该力系的力多边形自行封闭。这意味着力系中各力首尾相接后，最后一个力的终点与第一个力的起点重合，此时力系对物体没有使它产生移动的效应。例如，一个由三个共点力组成的平面汇交力系，当这三个力构成的三角形封闭时，物体在该力系作用下处于平衡状态。解析条件：平面汇交力系平衡的解析条件是力系中所有力在两个任选的直角坐标轴上投影的代数和分别等于零。即\(\sumF_{x}=0\)，\(\sumF_{y}=0\)。通过建立直角坐标系，将力系中的各个力分解到坐标轴上，利用这两个方程可以求解出未知力的大小和方向。比如，已知一个平面汇交力系中有三个力\(F_1\)、\(F_2\)、\(F_3\)，设\(x\)轴和\(y\)轴方向，根据\(\sumF_{x}=F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}=0\)和\(\sumF_{y}=F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}=0\)，就可以求出各个力在坐标轴上的投影，进而确定力的大小和方向。

2.什么是力的平移定理？并举例说明其在工程中的应用。答：力的平移定理是指作用在刚体上的力\(F\)，可以平行移动到刚体上的任意一点，但必须同时附加一个力偶，这个力偶的矩等于原来的力\(F\)对新作用点的矩。例如，在建筑施工中，工人用撬棍撬动重物时，作用在撬棍一端的力\(F\)，当需要将力的作用点移动到撬棍的中间位置以便更方便操作时，就可以应用力的平移定理。将力\(F\)平行移动到撬棍中间点，同时附加一个力偶，这个力偶的矩等于力\(F\)对中间点的矩。这样在不改变对物体作用效果的前提下，实现了力作用点的移动，方便了施工操作。又如，在机械设计中，对于一些需要通过旋转轴传递扭矩的部件，有时会将作用在轴上的力平移到轴的中心线上，同时附加一个合适的力偶，以便更准确地分析轴的受力和变形情况，从而进行合理的设计和计算。

3.简述平面任意力系平衡的充分必要条件，并说明其解题步骤。答：平衡的充分必要条件：平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对平面内任意一点的主矩都等于零。即\(\sumF_{x}=0\)，\(\sumF_{y}=0\)，\(\sumM_{O}(F)=0\)。其中\(\sumF_{x}\)和\(\sumF_{y}\)分别是力系中所有力在\(x\)轴和\(y\)轴上投影的代数和，\(\sumM_{O}(F)\)是力系中所有力对平面内任选一点\(O\)的矩的代数和。解题步骤：确定研究对象：根据问题的要求，选取合适的物体或物体系统作为研究对象。画出受力图：对研究对象进行受力分析，画出它所受的全部外力，包括主动力和约束反力，并明确各力的作用点和方向。建立坐标系：选取合适的直角坐标系，一般使坐标轴与较多的未知力垂直，以便简化计算。列平衡方程：根据平面任意力系平衡的充分必要条件，列出三个平衡方程\(\sumF_{x}=0\)，\(\sumF_{y}=0\)，\(\sumM_{O}(F)=0\)。如果未知力的数目不超过三个，就可以通过求解这三个方程得到全部未知力。求解未知力：解平衡方程，求出未知力的大小和方向。在求解过程中，要注意各力投影和力矩的正负号规定，按照方程求解顺序逐步计算。例如，已知一个平面任意力系作用在一个梁上，梁受到一个垂直向下的集中力\(F\)、一个水平向右的力\(P\)、一个力偶矩为\(M\)的力偶以及两端的约束反力。首先画出梁的受力图，然后建立直角坐标系，设梁的左端为坐标原点，\(x\)轴水平向右，\(y\)轴垂直向上。接着列出平衡方程\(\sumF_{x}=PF_{Ax}=0\)，\(\sumF_{y}=F_{Ay}F=0\)，\(\sumM_{A}(F)=MF\timesL+P\timeshF_{By}\timesL=0\)（其中\(L\)为梁的长度，\(h\)为\(P\)力作用点到\(A\)点的垂直距离），最后求解这三个方程，就可以得到梁两端的约束反力\(F_{Ax}\)、\(F_{Ay}\)和\(F_{By}\)的大小和方向。

4.简述静定结构和超静定结构的概念，并举例说明。答：静定结构：静定结构是指仅用平衡方程就能确定全部反力和内力的几何不变结构。其反力和内力的数目与结构的约束数目和类型有关，且满足平衡方程的解是唯一的。例如，简支梁是静定结构，它有两个支座，受到垂直向下的荷载作用。通过对梁进行受力分析，利用平面任意力系的平衡方程\(\sumF_{x}=0\)，\(\sumF_{y}=0\)，\(\sumM_{A}(F)=0\)（设梁的一端为\(A\)支座），可以唯一确定梁两端的支座反力，进而求出梁内的内力（如弯矩、剪力）。又如，静定桁架也是静定结构，它由若干根杆件通过节点连接而成，在荷载作用下，通过节点平衡条件和整体平衡条件可以确定所有杆件的内力。超静定结构：超静定结构是指仅用平衡方程不能确定全部反力和内力的几何不变结构。其反力和内力的数目多于独立平衡方程的数目，需要考虑结构的变形协调条件才能求解。例如，固定端梁是超静定结构，它有三个支座反力（一个水平反力、一个垂直反力和一个反力偶），而平面任意力系的平衡方程只有三个，无法直接求解出这三个反力。需要利用梁的变形协调条件，如梁在支座处的位移为零等，建立补充方程，与平衡方程联立求解，才能确定梁的支座反力和内力。又如，连续梁也是超静定结构，它有多个中间支座，在荷载作用下，其内力分析需要考虑结构的连续性和变形协调，通过建立力法方程或位移法方程等方法来求解。

5.简述材料力学中内力的概念，并说明轴力、剪力和弯矩的定义及正负号规定。答：内力的概念：材料力学中，内力是指物体由于受到外力作用而在其内部产生的相互作用力。当物体受到外力作用时，其内部各部分之间的相对位置会发生改变，从而产生抵抗这种改变的力，即内力。内力的大小和分布与外力的作用方式和物体的变形情况有关。轴力的定义及正负号规定：轴力是指杆件受到轴向拉伸或压缩时，横截面上的内力。其定义为垂直于杆件横截面的内力。轴力的正负号规定为：当轴力使杆件产生拉伸变形时，轴力为正；当轴力使杆件产生压缩变形时，轴力为负。例如，一根水平放置的杆件，两端受到轴向拉力作用，此时杆件横截面上的轴力为正；若两端受到轴向压力作用，则轴力为负。剪力的定义及正负号规定：剪力是指杆件受到垂直于轴线方向的外力作用时，横截面上的内力。其定义为作用线平行于横截面的内力。剪力的正负号规定为：使研究截面有顺时针转动趋势的剪力为正，使研究截面有逆时针转动趋势的剪力为负。例如，一个简支梁在跨中受到一个垂直向下的集中力，梁的某一横截面左侧的剪力使该截面有顺时针转动趋势，所以该剪力为正；而横截面右侧的剪力使该截面有逆时针转动趋势，所以该剪力为负。弯矩的定义及正负号规定：弯矩是指杆件受到垂直于轴线方向的外力或力偶作用时，横截面上的内力。其定义为作用面垂直于横截面的内力偶矩。弯矩的正负号规定为：使梁的下侧纤维受拉、上侧纤维受压的弯矩为正；反之为负。例如，一个悬臂梁在自由端受到一个垂直向下的力，梁的固定端横截面的弯矩使梁的下侧纤维受拉，所以该弯矩为正；若力的方向相反，使梁的上侧纤维受拉，则弯矩为负。

二、计算题1.如图所示，已知\(F_1=200N\)，\(F_2=300N\)，\(F_3=250N\)，\(\alpha=30^{\circ}\)，\(\beta=45^{\circ}\)，求平面汇交力系的合力。解：建立坐标系：以力系的汇交点为原点，水平向右为\(x\)轴正方向，垂直向上为\(y\)轴正方向。计算各力在坐标轴上的投影：\(F_{1x}=F_1\cos0^{\circ}=200N\)，\(F_{1y}=F_1\sin0^{\circ}=0N\)。\(F_{2x}=F_2\cos\alpha=300\cos30^{\circ}=300\times\frac{\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}N\)，\(F_{2y}=F_2\sin\alpha=300\sin30^{\circ}=150N\)。\(F_{3x}=F_3\cos(\alpha+\beta)=250\cos(30^{\circ}+45^{\circ})=250(\cos30^{\circ}\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}\sin45^{\circ})\)\(=250(\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{250(\sqrt{6}\sqrt{2})}{4}N\)，\(F_{3y}=F_3\sin(\alpha+\beta)=250\sin(30^{\circ}+45^{\circ})=250(\sin30^{\circ}\cos45^{\circ}+\cos30^{\circ}\sin45^{\circ})\)\(=250(\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{250(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{4}N\)。计算合力在坐标轴上的投影：\(\sumF_{x}=F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}=200+150\sqrt{3}+\frac{250(\sqrt{6}\sqrt{2})}{4}\)\(=\frac{800+600\sqrt{3}+250\sqrt{6}250\sqrt{2}}{4}N\)。\(\sumF_{y}=F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}=0+150+\frac{250(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{4}\)\(=\frac{600+250\sqrt{2}+250\sqrt{6}}{4}N\)。计算合力的大小：\(R=\sqrt{(\sumF_{x})^2+(\sumF_{y})^2}\)\(=\sqrt{(\frac{800+600\sqrt{3}+250\sqrt{6}250\sqrt{2}}{4})^2+(\frac{600+250\sqrt{2}+250\sqrt{6}}{4})^2}\)经过计算可得\(R\approx534.5N\)。计算合力的方向：\(\tan\theta=\frac{\sumF_{y}}{\sumF_{x}}\)\(\theta=\arctan(\frac{\frac{600+250\sqrt{2}+250\sqrt{6}}{4}}{\frac{800+600\sqrt{3}+250\sqrt{6}250\sqrt{2}}{4}})\)经过计算可得\(\theta\approx41.3^{\circ}\)。

2.如图所示，梁\(AB\)受均布荷载\(q=2kN/m\)作用，长度\(L=4m\)，\(A\)端为固定铰支座，\(B\)端为可动铰支座，求支座反力。解：取梁\(AB\)为研究对象：画出梁的受力图，\(A\)端有水平反力\(F_{Ax}\)、垂直反力\(F_{Ay}\)，\(B\)端有垂直反力\(F_{By}\)。列平衡方程：\(\sumF_{x}=0\)，可得\(F_{Ax}=0\)。\(\sumM_{A}(F)=0\)，即\(qL\times\frac{L}{2}+F_{By}\timesL=0\)。将\(q=2kN/m\)，\(L=4m\)代入可得：\(2\times4\times\frac{4}{2}+F_{By}\times4=0\)\(16+4F_{By}=0\)解得\(F_{By}=4kN\)。\(\sumF_{y}=0\)，可得\(F_{Ay}+F_{By}qL=0\)。将\(F_{By}=4kN\)，\(q=2kN/m\)，\(L=4m\)代入可得：\(F_{Ay}+42\times4=0\)解得\(F_{Ay}=4kN\)。

3.如图所示，简支梁\(AB\)受集中力\(F=10kN\)和力偶\(M=20kN\cdotm\)作用，梁长\(L=5m\)，求支座反力。解：取梁\(AB\)为研究对象：画出梁的受力图，\(A\)端有垂直反力\(F_{Ay}\)，\(B\)端有垂直反力\(F_{By}\)。列平衡方程：\(\sumM_{A}(F)=0\)，即\(F\timesaM+F_{By}\timesL=0\)（设力\(F\)作用点到\(A\)端距离为\(a\)，本题未给出，假设\(a=2m\)）。将\(F=10kN\)，\(M=20kN\cdotm\)，\(L=5m\)代入可得：\(10\times220+F_{By}\times5=0\)\(2020+5F_{By}=0\)解得\(F_{By}=8kN\)。\(\sumF_{y}=0\)，可得\(F_{Ay}+F_{By}F=0\)。