数学（全国乙卷）（文科）（考试版A4）

2024年高考数学第一次模拟考试高三数学（文科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则下列说法错误的是（

）

A．成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30B．成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人C．高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多D．成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多3．若，z为纯虚数，且，则（

）A． B．5 C． D．34．已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．6．今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（）（参考数据:）A．年 B．年 C．年 D．年7．下图是棱长为2的正方体木块的直观图，其中分别是，，的中点，平面过点且平行于平面，则该木块在平面内的正投影面积是（

）A． B． C． D．8．在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，，则（

）A． B． C． D．9．已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数m，n都有，，则（

）A． B． C． D．10．某同学口袋中共有个大小相同､质地均匀的小球其中个编号为，个编号为，现从中取出个小球，编号之和恰为的概率为（

）A． B． C． D．11．若，则的值为（

）A． B． C． D．12．已知函数．若为偶函数，，，，则（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知同一平面内的单位向量，，，满足，则.14．已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为．15．已知函数在上是增函数，且，则的值为.16．已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点分别为，离心率为，过且斜率为的直线与交于两点，四边形的面积为，则四边形的周长是．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6．年份代码123456中国夜间经济的市场发展规模万亿元20.522.926.430.936.442.4(1)已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）；(2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据：3.36673.28217.251.162.83其中．参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．18．（12分）已知数列是正项等比数列，数列满足.(1)证明：数列是等差数列；(2)若，，设数列和中的所有项按从小到大的顺序排列构成数列，记数列的前项和为，求19．（12分）如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，且，，，G为的重心．

(1)证明：平面PCD．(2)若，求点C到平面PAE的距离．20．（12分）已知函数，其中.(1)当时，求的极值；(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.21．（12分）已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点.(1)求抛物线T的方程：(2)已知圆，过点作圆的两条切线，分别交抛物线T于，和，四个点，试判断是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐