数学（全国乙卷）（理科）（参考答案）

2024年高考数学第一次模拟考试数学（理科）·参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．123456789101112ACBCDCBDDADD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13． 14． 15． 16．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）【详解】（1）令，，则，，所以，所以；.............................................................6分（2）设甲公司获得“优胜公司”为事件，则，所以甲公司获得“优胜公司”的概率为．.............................................................12分18．（12分）【详解】（1）因为平面，平面，所以．又底面为矩形，，又，、平面，所以平面．.............................................................5分（2）以A为原点，AP为z轴，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标系．.............................................................6分

所以，，，，，令，，得，所以，根据，则，所以，取的方向向量为，.............................................................9分设平面的法向量为，，，根据，取，得，所以，即直线与平面所成角的正弦值..............................................................12分19．（12分）【详解】（1）解：因为，所以，即，又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，从而，则..............................................................5分（2）①因为，所以；.............................................................8分②由①得，设，则，两式相减得，即，从而，故..............................................................12分20．（12分)【详解】（1）由，，则，所以，即切线斜率为，又，则切点为，切线方程为，所以曲线在点处的切线方程为．.............................................................4分（2）根据题意得，，则．由0为的极小值点，可知．设，则．（ⅰ）当时，，所以在上单调递增，又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以0是的极小值点，符合题意．.............................................................7分（ⅱ）当时，设，则，所以在上单调递增，，，所以存在，使得，所以当时，，单调递减，即单调递减；当时，，单调递增，即单调递增.又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以0是的极小值点，符合题意．.............................................................9分（ⅲ）当时，，且在上单调递增，所以当时，，单调递减，即单调递减；当时，，单调递增，即单调递增.又，所以，单调递增，不符合题意．（ⅳ）当时，，在上单调递增，，所以存在，使得，所以当时，，单调递减，又，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以0是的极大值点，不符合题意．综上，的取值范围是．.............................................................12分21．（12分）【详解】（1）将点代入抛物线方程，可得，解得，所以抛物线方程为，设直线的方程为：，联立方程，消去y得，由韦达定理得：，根据抛物线定义：，可得，此时，解得或，设的中点坐标为，则，可得的垂直平分线方程为：，将代入整理得：，故的垂直平分线过定点..............................................................6分（2）由（1）可得，且点到直线的距离，则的面积为，可得，设，设，则令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减所以当时，的面积取最大值，此时，即.

.............................................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分)【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），得，，，即（为焦点在轴上的椭圆）..............................................................4分（2）设直线的倾斜角为，直线过点直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入，可得，，.............................................................6分设，两点所对的参数为，，曲线与轴交于两点，在曲线的内部，一正一负，，而，，，，，解得，为直线的倾斜角，，，，或，直线的倾斜角为或..............................................................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）【详解】解：（1），即，利用零点分区间法，对去绝对值，当时，由，得，所以，当时，成立，所以，当时，由，得，所以.综上可知，不等式的解集为..............................................................5分（2）由题意，可知，由（1）得当时，恒成立，因为，所以时不