初中数学自主招生难度讲义-7年级专题16 不等式

专题16不等式（组）

阅读与思考

客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系

的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主

要体现在：

1.解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘

（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但

要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.

2.解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”

式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求

公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.

例题与求解

2x5

x5

【例1】已知关于x的不等式组3恰好有5个整数解，则t的取值范围是（）

x3

tx

2

11111111

A、6tB、6tC、6tD、6t

2222

(2013年全国初中数学竞赛广东省试题）

解题思路：把x的解集用含t的式子表示，根据题意，结合数轴分析t的取值范围.

10

【例2】如果关于x的不等式(2mn)xm5n0的解集为x那么关于x的不等式

7

mxn(m0)的解集为.

（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）

解题思路：从已知条件出发，解关于x的不等式，求出m，n的值或m，n的关系.

xy2

【例3】已知方程组若方程组有非负整数解，求正整数m的值.

mxy6

（天津市竞赛试题）

解题思路：解关于x，y的方程组，建立关于m的不等式组，求出m的取值范围.

【例4】已知三个非负数a，b，c满足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，求m的最大

值和最小值.

（江苏省竞赛试题）

解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m，通

过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的最大值与最小值.

【例】设是自然数，，

6x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7x1x2x3x4x5x6x7

，

x1x2x3,x2x3x4,x3x4x5,x4x5x6

，求的最大值

x5x6x7,又x1x2x3x4x5x6x72010x1x2x3.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.

【例6】已知实数a，b满足1ab4,0ab1,且a－2b有最大值，求8a＋2003b的值.

解题思路：解法一：已知a－b的范围，需知－b的范围，即可知a－2b的最大值得情形.

解法二：设a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b)＝（m＋n)a＋（m－n)b

能力训练

A级

2mx4mx13

1、已知关于x的不等式的解集是x那么m的值是

324

（“希望杯”邀请赛试题）

x2a4

2、不等式组的解集是0x2，那么a＋b的值为

2xb5

（湖北省武汉市竞赛试题）

3、若a＋b＜0，ab＜0，a＜b，则a,a,b,b的大小关系用不等式表示为

（湖北省武汉市竞赛试题）

xym2

4、若方程组的解x，y都是正数，则m的取值范围是

4x5y6m3

（河南省中考试题）

5、关于x的不等式ax3a3x的解集为x3，则a应满足（）

A、a＞1B、a＜1C、a1D、a1

(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）

6、适合不等式2x13x144x21的x的取值的范围是（）

7、已知不等式(mx1)(x2)0的解集3x2那么m等于（）

11

A、B、C、3D、－3

33

11

8、已知a0，下面给出4个结论：①a210；②1a20；③11④11，其中，一

a2a2

定成立的结论有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

（江苏省竞赛试题）

x2y6

9、当k为何整数值时，方程组有正整数解？

xy93k

（天津市竞赛试题）

x12

10、如果是关于x，y的方程(axby12)axby80的解，求不等式组

y2

13x14

xa

b的解集

ax3x3

3xa0

11、已知关于x的不等式组b的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式

x

2

组的所有可能的整数对（a，b）共有多少个？

（江苏省竞赛试题）

B级

1、如果关于x的不等式ax30的正整数解为1，2，3那么a的取值范围是

（北京市”迎春杯“竞赛试题）

xa0

2、若不等式组有解，则a的取值范围是___________.

12xx2

（海南省竞赛试题）

3、已知不等式3xa0只有三个正整数解，那么这时正数a的取值范围为.

（”希望杯“邀请赛试题）

2

4、已知12x11则1的取值范围为.

x

(“新知杯”上海市竞赛试题）

11

cab2c

6

35

5、若正数a，b，c满足不等式组abca，则a，b，c的大小关系是（）

23

511

bacb

24

A、a＜b＜cB、b＜c＜aC、c＜a＜bD、不确定

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

6、一共（）个整数x适合不等式x2000x9999

A、10000B、20000C、9999D、80000

（五羊杯“竞赛试题）

7、已知m，n是整数，3m＋2＝5n＋3，且3m＋2＞30，5n＋3＜40，则mn的值是（）

A、70B、72C、77D、84

8、不等式xx5的解集为（）

5555

A、xB、xC、xD、x

2222