初中数学自主招生难度讲义-7年级专题04初识非负数（解析版）

专题4初识非负数

阅读与思考

绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的

算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、

解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：

1.去绝对值符号法则

aa0

a0a0

aa0

2.绝对值的几何意义

从数轴上看，a即表示数a的点到原点的距离，即a代表的是一个长度，故a表示一个非负数，

ab表示数轴上数a、数b的两点间的距离.

3.绝对值常用的性质

2aa

①a0②a2aa2③abab④b0

bb

⑤abab⑥abab

例题与求解

【例1】已知a5,b3，且abba，那么ab.

（祖冲之杯邀请赛试题）

解题思路：由已知求出a、b的值，但要注意条件abba的制约，这是解本题的关键.

1010

【例2】已知a、b、c均为整数，且满足abac1，则abbcca（）

A.1B.2C.3D.4

（全国初中数学联赛试题）

1010

解题思路：ab≥0，ac≥0，又根据题中条件可推出ab，ac中一个为0，一个为

1.

【例】已知＋＋＋…＋＋＝，求代数式

3x11x22x33x20022002x200320030

2x12x22x3…－2x20022x2003的值.

解题思路：运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出…，的值，注意n1n

x1,x2,x3,x2002,x200322

的化简规律.

abcabacbcabc

【例4】设a、b、c是非零有理数，求的值.

abcabacbcabc

解题思路：根据a、b、c的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键.

（希望杯邀请赛试题）

【例】设是六个不同的正整数，取值于，，，，，.

5x1,x2,x3,x4,x5,x6123456

记，求的最小值.

S|x1x2||x2x3||x3x4||x4x5||x5x6||x6x1|S

（四川省竞赛试题）

解题思路：利用绝对值的几何意义建立数轴模型.

【例6】已知(ab)2b5b5，且2ab10，求ab的值.

（北京市迎春杯竞赛试题）

解题思路：由2ab10知2ab10，即b2a1，代入原式中，得

(3a1)22a42a4，再对3a1的取值，分情况进行讨论.

A级

1.若m,n为有理数，那么，下列判断中：

（1）若mn，则一定有mn；

（2）若mn，则一定有mn；

（3）若mn，则一定有mn；

（4）若mn，则一定有m2(n)2；正确的是.（填序号）

mnp2mnp

2.若有理数m,n,p满足1，则.

mnp2mnp

3.若有理数a,b,c在数轴上的对应的位置如下图所示，则c1acab化简后的结果

是.

4.已知正整数a,b满足b2b20，abab0，且ab，则ab的值是.

（四川省竞赛试题）

2

5.已知a1,b2,c3,且abc，那么abc.

6.如图，有理数a,b在数轴上的位置如图所示：

则在ab,b2a,ba,ab,a2,b4中，负数共有（）

A．3个B．1个C．4个D．2个

（湖北省荆州市竞赛试题）

7.若a8,b5，且ab0，那么ab的值是（）

A．3或13B．13或－13C．3或－3D．－3或－13

8.若m是有理数，则mm一定是（）

A．零B．非负数C．正数D．负数

9.如果x2x20，那么x的取值范围是（）

A．x2B．x2C．x2D．x2

10.a,b是有理数，如果abab，那么对于结论（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数，其中

（）

A．只有（1）正确B．只有（2）正确

C．（1）（2）都正确D．（1）（2）都不正确

（江苏省竞赛试题）

abbcca

11.已知a,b,c是非零有理数，且abc0，求的值.

abbcca

12.已知a,b,c,d是有理数，ab9,cd16，且abcd25，求badc的值.

（希望杯邀请赛试题）

B级

x5x2x

1.若2x5，则代数式的值为.

x52xx

21111

2.已知a1ab20，那么的值

ab(a1)(b1)(a2)(b2)(a2002)(b2002)

为.

3.数a在数轴上的位置如图所示，且a12，则3a7.

（重庆市竞赛试题）

abab

4.若ab0，则的值等于

abab

（五城市联赛试题）

1

5.已知(x5)2y2y60，则y2xyx2x3.

5

（希望杯邀请赛试题）

6.如果0p15，那么代数式xpx15xp15在p≤x≤15的最小值（）

A.30B.0C.15D.一个与p有关的代数式

aa

7.设k是自然数，且kab0，则12等于（）

bb

32

A.3B.2C.3D.2

kk

（创新杯邀请赛试题）

8.已知0a4，那么a23a的最大值等于（）

A．1B．5C．8D．9

（希望杯邀请赛试题）

abcabc

9.已知a,b,c都不等于零，且x，根据a,b,c的不同取值，x有（）

abcabc

A．唯一确定的值B．3种不同的值C．4种不同的值D．8种不同的值

10.满足abab成立的条件是（）

A．ab0B．ab1C．ab0D．ab1

（湖北省黄冈市竞赛试题）

abc

11.有理数a,b,c均不为0，且abc0，设x，试求代数式

bccbab

x1999x2000的值.

（希望杯邀请赛训练题）

专题04初识非负数

例1－2或－8

例2B提示：｜a－b｜，｜a－c｜中必有一个为0，一个为1，不妨设｜a－b｜＝0，｜a－c｜＝1，

则a＝b，｜b－c｜＝1，原式＝0＋1＋1＝2．

232002200320032002

例36提示：由题意得x1＝1，x2＝1，…，x2003＝2003，原式＝2－2－2－…－2－2＝2－2

－…－23－22＋2＝22002（2－1）－22001－…－22＋2＝22002－22001－…－22＋2＝…＝24－23－22＋2＝

23（2－1）－22＋2＝23－22＋2＝6．

例4－1或7提示：分下列四种情形讨论：

（1）若a，b，c均为正数，则ab>0，ac>0，bc>0，原式＝＝7；

（2）若a，b，c中恰有两个正数，不失一般性，可设a>0，b>0，c<0，则ab>0，ac<0，bc<0，abc<0，

则原式＝－1；

（3）若a，b，c中只有一个正数，不失一般性，可设a>0，b<0，c<0，则ab<0，ac<0，bc>0，abc>0，

则原式＝－1；

（4）若a，b，c均为负数，则ab>0，bc>0，ac>0，abc<0，原式＝－1．

例5根据绝对值的几何意义，题意可理解为“从数轴上点1出发，每次走一个整点，分别到达点2，点

3，点4，点5，点6，最后回到点1，最少路程为多少?”为避免重复，从左到右走到6，再从右到左

走到1为最短路线，取x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5，x6＝6，则S＝1＋1＋1＋1＋1＋5＝10，

（也可以取x1＝1，x2＝4，x3＝6，x4＝5，x5＝3，x3＝2）．

例6根据｜2a－b－1｜＝0知2a－b－1＝0，即b＝2a－1．代人原式中，得（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝

2a＋4．对3a－1的取值分情况讨论为：

1

（1）当3a－1＞0，即a＞时，∵（3a－1）2＞0，｜2a＋4｜＞0，2a＋4＞0．∴（3a－1）2＋｜2a＋4｜

3

＞2a＋4，矛盾．

1

（2）当3a－1＜0，即a＜时，①若2a＋4≤0，而（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞0，矛盾．②若2a＋4＞0，

3

则（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．

11

（3）当3a－1＝0，即a时，（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a＋4成立，得b＝－．

33

111

综上可知a＝，b＝－，ab＝－．

339

A级

2

1．（4）2．－

3

3．1－2c＋b提示：－1<c<0<a<b∴c－1<0，a－c>0，a－b<0．∴原式＝1－c＋a－c＋b－a＝1－2c

＋b．

4．2提示：原式变形为｜b－2｜＝2－b，｜a－b｜＝b－a．

∴b－2≤0，a－b≤0．又∵a≠b，∴a<b≤2．又∵a，b为正整数，故a＝1，b＝2．

5．46．A7．A8．B9．D10．A

11．－1提示：a，b，c中不能全为正值，也不能全为负数，只能是一正二负或二正一负，原式值都为

－1．

12．∵｜a－b｜<9，｜c－d｜≤16，故｜a－b｜＋｜c－d｜<25．

又∵25＝｜a－b－c＋d｜＝｜(a－b)＋(d－c)｜≤｜a－b｜＋｜c－d｜<25，∴｜a－b｜＝9，｜c－d｜

＝16，故原式＝9－16＝－7．

B级

2003

1．12．3．24．1或－35．－94

2004

6．C提示：利用绝对值的几何意义，结合数轴进行分析，当