初中数学自主招生难度讲义-7年级专题22 直线、射线与线段

专题22直线、射线与线段（录入：王云峰）

阅读与思考

构成平面图形的基本元素是点和线，在几何图形中，点无大小，线无宽窄，它们都是抽象思维的产

物，点与线有着密切的联系，点运动成线，线与线相交的地方形成点，一条线确定了两个端点，线的长

短也就确定了，从这个意义上讲，点是线的界限．

在线中，最简单、最常见的就是直线、射线、线段，它们是最基本的图形，它们的概念、性质及画

图是今后研究由线段所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形等）的基础，解与直线、射线、线段相

关问题常涉及如下知识与方法：

1．直线、射线、线段的区别与联系．

2．线段中点的概念．

3．枚举法、分类讨论法．

例题与求解

【例1】已知一条直线上有A，B，C三点，线段AB的中点为P，AB＝10，线段BC的中点为Q，

BC＝6，则线段PQ的长为＿＿＿＿．

（江苏省竞赛试题）

解题思路：未给出图形，注意C点位置有多种可能．

【例2】在一条直线上已知四个不同的点依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距离之和最小

的点（）

A．可以是直线AD外的某一点B．只有点B或点C

C．只是线段AD的中点D．有无穷多个

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：直线上的四个点把直线分成五部分，就每一种情况画图表示出到A，B，C，D的距离，

从直观的图形中作出判断．

1

【例3】如图，C是线段上的一点，D是BC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC

的长度与线段BC的长度都是正整数，求线段AC的长．

ACDB

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：解题的关键是将每一条线段用AC或BC来表示，依题意可列一个关于AC，BC的方程，

讨论此不定方程的正整数解．

【例4】如图所示，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．

（1）若线段AB＝a，CE＝b，a15(b4.5)2＝0，求a，b．

（2）如图①，在（1）的条件下，求线段DE的长．

（3）如图②，若AB＝15，AD＝2BE，求线段CE的长．

ADCEBADCEB

图①图②

（湖北省武汉市调考试题）

解题思路：将几何问题代数化，对于（3），引入未知数，列方程求解．

【例5】（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部

分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．

（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．

（3）平面上有n条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的n条

直线分一个平面所成的区域最多，记为an，试研究an与n之间的关系．

1

l

2

（山东省聊城市中考试题）

解题思路：从简单情形入手，由简到繁，归纳发现规律．

2

【例6】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若m2n

与(6n)2互为相反数．

（1）求线段AB，CD的长．

（2）M，N分别是线段AC，BD的中点，若BC＝4，求MN．

（3）当CD运动到某一时刻时，D点与B点重合，P是线段延长线上任意一点，下列两个结论：

①PAPB是定值；②PAPB是定值．可以证明，有且只有一个结论是正确的，请你作出正确的

PCPC

选择并画图求值．

（浙江省宁波市中考试题改编）

解题思路：（1）m2n与(6n)的平方互为相反数，可以推出二者都为零，否则一个正数是不可

能等于一个负数的，所以n＝6，m＝12．

（2）需要分类讨论：如图①，当点C在点B左侧时，根据“M，N分别为线段AC，BD的中点”，

先计算出AM，DN的长度，然后计算MN＝ADAMDN；如图②，当点C位于点B右侧时，利用线

段间的和差关系求得MN的长度．

（3）能计算出①或②的值是一个常数的，即为符合题意的结论．

能力训练

A级

1．已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E，F分别为线段

ｏA，OB的中点，则线段EF的长度为＿＿＿＿．

（黑龙江省中考试题）

2．如图，线段AB＝BC＝CD＝DE＝1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于＿＿＿厘米．

ABCDE

（“希望杯”邀请赛试题）

3．如图，B，C，D依次是上的三点，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，则图中以A，B，C，D，E这5

个点为端点的所有线段长度的和为＿＿＿＿cm．

3

ABCDE

（《中学生数理化》读刊用刊知识竞赛试题）

4．平面内两两相交的8条直线，其交点个数最少为＿＿＿＿，最多为＿＿＿＿．

（“希望杯”邀请赛试题）

5．直线a，b，c，d，e共点O，直线l与上述五条直线分别交于A，B，C，D，E五点，则上述

图形中共有线段（）条．

A．4B．5C．10D．15

cb

da

e

O

l

ABCDE

6．如图，点A，B，C顺次在直线上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．若想求出MN

的长度，则只需条件（）

A．AB＝12B．BC＝4C．AM＝5D．CN＝2

AMBNC

（海南省竞赛试题）

7．如图，A，B，C，D四点在同一直线上，M是线段AB的中点，N是线段DC的中点，MN＝a，

BC＝b则AD＝（）

A．abB．a2bC．2baD．2ab

AMBCND

11

8．如图，AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，则CE为AB长的（）

34

1111

A．B．C．D．

681216

ACEDB

9．已知线段AB＝6．

（1）取线段AB的三等分点，这些点连同线段AB的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长

度的和．

（2）再在线段AB上取两种点：第一种是线段AB的四等分点；第二种是线段AB的六等分点，这些

点连同（1）中的三等分点和线段AB的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和．

（湖北省武汉市武昌区期末调考试题）

4

10．已知AB＝60cm，点C是直线AB上不同于A，B的点，M为AC中点，N是BC中点，求MN

的长度．

11．如图，已知点A，B，C是数轴上三点，点C对应的数为6，BC＝4，AB＝12．

（1）求点A，B对应的数；

（2）动点P，Q同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M

1

为AP的中点，N在CQ上，且CN＝CQ，设运动时间t（t＞0）．

3

①求点M，N对应的数（用含t的式子表示）．

②t为何值时，OM＝2BN？

ABC

0

B级

3

1．把线段AB延长至D，使BD＝AB，再延长BA至C，使CA＝AB，则BC是CD的＿＿＿＿倍．

2

2．如图，AB︰BC︰CD＝2︰3︰4，AB的中点M与CD的中点N的距离是3厘米，则BC＝＿＿＿

＿厘米．

AMBCND

3．如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上的一点，若所有线段的长度都是正整数，且线段AB

的所有可能的长度数的乘积等于140，则线段AB的所有可能的长度数的和等于＿＿＿＿．

ACDB

（“希望杯”邀请赛试题）

4．如图，已知B，C是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝a，BC＝b，

则线段AD＝＿＿＿＿．

AMBCND

5．如图，已知数轴上点A，B，C所对应的数a，b，c都不为0，且C是AB的中点．如果

aba2cb2cab2c＝0，那么原点O的位置在（）

A．线段AC上B．线段CA的延长线上

C．线段BC上D．线段CB的延长线上

ACB

acb

（江苏省竞赛试题）

5

6．如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中

点，Q为MA的中点，则MN︰PQ等于（）

A．1B．2C．3D．4

AQPMNBC

7．平面上有四个点，经过其中每两个点画一条直线，那么一共可以画直线（）

A．6条B．1条或3条或6条

C．1条或4条D．1条或4条或6条

8．如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A，B，C，D，E，F离城市的距离分别为4，10，

15，17，19，20公里，而村庄G正好是AF的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中

心的路程之和最短，则活动中心应建在（）

A．A处B．C处C．G处D．E处

ABGCDEF

城市

（江苏省竞赛试题）

9．电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB＝8a，AC＝9a，BC＝10a，如果电子跳蚤开始时在BC边上P0

点，BP0＝4a，第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1＝CP0；第二步跳蚤从P1跳到边上P2点，且AP2

＝AP1；第三步跳蚤从P2跳到BC边上P3点，且BP3＝BP2…跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落到P2001，

请计算P0与P2001之间的距离．

（“华杯赛”邀请赛试题）

10．设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度为步行速度的