初中数学自主招生难度讲义-7年级专题26奇偶分析（解析版）

专题26奇偶分析

阅读与思考

整数可以分为奇数和偶数，一个整数要么是奇数，要么是偶数，因此奇偶性是一个整数的固有属

性，即奇数≠偶数．

由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性，通过分析整数的奇偶性

来解决问题的方法叫奇偶分析．

运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质：

1.奇数≠偶数.

2.奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数

的和为偶数，若干个偶数的和是偶数.

3.若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数.

4.若a是整数，则a与a，a，an（n为自然数）有相同的奇偶性.

5.设a，b是整数，则ab，ab，ab，ab都有相同的奇偶数.

6.偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是4的倍数加1.

例题与求解

【例1】数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的排列规律是：前两个数是1，从第三个数

开始，每一个数是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前2004个数中

共有____个偶数．

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：本例关键是发现斐波那契数列的各项奇偶性的规律.

【例2】如果a，b，c都是正整数，且a，b是奇数，则3a(b1)2c是().

A．只当c为奇数时，其值为奇数

B．只当c为偶数时，其值为奇数

C．只当c为3的倍数时，其值为奇数

D．无论c为任意正整数时，其值均为奇数

（五城市联赛试题）

解题思路：直接运用奇数偶数的性质作出选择．

【例3】能否找到自然数a和b，使a22002b2.

（“华罗庚金杯”邀请赛试题）

解题思路：假设存在自然数a和b，使等式成立，则(ab)(ab)2002，从ab，ab的奇偶

性展开推理．

【例4】在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它

们的反面也随意写上1~6这6个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个

数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的.

（北京市竞赛试题）

解题思路：从反面入手，即设这6个数两两都不相等，利用aibi与aibici=1，2，3，4，5，6

的奇偶性相同，引入字母进行推理证明.

【例5】表甲是一个英文字母电子显示盘，每一次操作可以使某一行4个字母同时改变，或者使某一列

4个字母同时改变，改变的规则是：按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成它下一个字母（即A变

成B，B变成C…最后字母Z变成A）.问：能否经过若干次操作，使表甲变成表乙？如果能，请写出变

化过程，如不能，说明理由.

SOBRKBDS

TZEPHEXG

HOCNRTBS

ADVXCFYA

表甲表乙

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：表甲与表乙看上去没有规律，似乎不太容易将表甲变为表乙（可以试一试），看是否能

成功？如果是不能，就应找出不能的理由，解题的关键是如何将问题“数字化”，挖掘操作变化过程中

的不变量或不变性.

【例6】设x1，x2，…xn为＋1或－1，并且x1x2x3x4x2x3x4x5x3x4x5x6xn3xn2xn1xn

xn2xn1xnx1xn1xnx1x2xnx1x2x30.证明n能被4整除.

解题思路：应用整数的奇偶性解题，常需变化角度去考察问题，从而化难为易．

能力训练

1．若按奇偶分类，则11223320112011是______数.

2．已知a是质数，b是奇数，且a2b2001，则ab_______.

（江苏省竞赛试题）

3．若质数m，n满足5m7n129，则mn的值为____________.

（河北省竞赛试题）

4．在12，22，32，…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____________个.

（全国初中数学联赛试题）

5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和

都能被这三个数中的第一个数整除，那么，满足要求的排法有()种.

A.2B.3C.4D.5

6．设a，b为整数，给出下列四个结论

（1）若a5b是偶数，则a3b是偶数

（2）若a5b是偶数，则a3b是奇数

（3）若a5b是奇数，则a3b是偶数

（4）若a5b是奇数，则a3b是奇数

其中正确结论的个数是()．

A.0B.2C.4D.1或3

（“五羊杯”竞赛试题）

abbcca

7．如果a，b，c是三个任意整数，那么，，()．

222

A.都不是整数B.至少有两个是整数

C.至少有一个是整数D.都是正数

（“T1杯”全国竞赛试题）

8．将1000到1997这998个自然数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻数的和，在这些和中，

奇数的个数至多有()．

A.499个B.496个C.996个D.995个

9．设a1，a2，…a1999是1，2，3，…，1999的一个排列，求证：(a11)(a22)(a19991999)

为偶数.

10．在黑板上记上数1，2，3，…，1974，允许擦去任意两个数，且写上它们的和或差.重复这样

的操作手续，直至在黑板上留下一个数为止.求证：这个数不可能为零．

（数学奥林匹克竞赛试题）

11．你能找到三个整数a，b，c，使得关系式(abc)(abc)(abc)(bca)3388成

立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由.

（“希望杯”邀请赛试题）

12．设标有A，B，C，D，E，F，G记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关.现在A，C，

E，G四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺

次拉动开关，即又从A到G，…，他这样拉动了1999次开关后，问哪几盏是开的？

专题26奇偶分析

例1668提示：裴波拉数列各项的奇偶性规律是：从第一个数开始，每组连续的3个数中，前两个

数是奇数，第三个数是偶数，又因为2004÷3＝668.所以前2004个数中共有668个偶数.

例2D

22

例3假设存在自然数a和b，使a2002b.则（a＋b）(a－b)＝2002＝2×1001，若a，b同为奇

数或同为偶数，则（a＋b）×（a－b）必定是“偶数×偶数”；若a，b为一奇一偶，则(a＋b)(a－b)必

定是“奇数×奇数”.上述两种情况均与等式右边的“偶数×奇数”相矛盾，故找不到自然数a和b，使

22

a2002b.

a,a,a,a,a,ab,b,b,b,b,b

例4提示：设6张卡片正面写的数是123456，反面写的数对应为123456，则这

ab,ab,...,ab

6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为112266.

ab,ab,...,ab

设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，…，5这6个值，于是112266

＝0＋1＋2＋…＋5＝15是个奇数.

ababab+ab...ab

又ii与ii（i＝1，2，3…，6）的奇偶性相同，所以112266

abab...aba...abb...b0

与11226616126的奇偶性

相同，是个偶数，导致矛盾.

例5提示：不能，理由如下：

将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1，B用2，…，Z用26代替），这样

表甲和表乙就分别变成了表丙和表丁：

1915218112419

202661685247

8153141820219

表丙表丁

这样，每一次操作中字母的置换就相当于下面的置换：

1→2，2→3，…，25→26，26→1.

显然，每次操作不改变这16个数字和的奇偶性，但表丙、表丁16个数字的和分别为213，174，它

们的奇偶性不同，故表丙不能变成表丁，即表甲不能变成表乙．

xxxx,xxxx,...,xxxx

例6由于乘积12342345n123都是＋1或－1，且总和为0．所以一定有偶数项，即n

一定是偶数2m.

m

1

将上面的n个数相乘，一方面，其中的＋1和－1各有m个，所以它们的乘积为，另一方面，

m

x,x,...,x11

在乘积中，12n作为因数都出现四次，所以乘积为＋1，于是，m为偶数，故n

是4的倍数．

【能力训练】

1．偶

22

2.1999提示：由a＋b＝2001知a，b必为一奇一偶．又∵a是质数且a为偶数．∴a＝2，b＝997，

故a＋b＝1999.

3.19或25

2,2,...222

4.19提示：在1210中，十位数字是奇数的只有4＝16，6＝36，两位数的平方可以表示为

2

10ab222

=100a＋20ab＋b，它的十位数的奇偶性与b十位数字的奇偶性相同，因此，b

只能取4与6，即相邻的每10个数中有两个数的十位数字是奇数．

a,a,a,a,aa,a,a,a,

5．D提示：设12345是1，2，3，4，5中一个满足要求的数列，首先，对于1234不能

a

连续两个都是偶数，否则这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾，其次，如果i(1≤i≤3)是偶数，

aa

i1是奇数，则i1是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个

a,a,a,a,a

奇数是最后一个数．所以，12345只能是偶奇奇偶奇，故有如下5种情形满足条件：①2，

1，3，4，5;②2，3，5，4，1;③2，5，1，4，3;④4，3，1，2，5；⑤4，5，3，2，1.

6．B7．C8．D

a1a2...a1999aa