初中数学自主招生难度讲义-7年级专题27以形借数-借助图形思考（解析版）

专题27以形借数——借助图形思考

阅读与思考

数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主

题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定

的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将

问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，

现阶段借助图形思考是指以下两个方面：

1．从给定的图形获取解题信息

数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈

现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．

2．有意地画图辅助解题

图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图

形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．

阅读与思考

【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住

其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同

形状的共有____________种。

（“五羊杯”竞赛试题）

解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为x,y,z,则

xyz9。不妨设x≤y≤z，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。

【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间

为x（h），两．车．之．间．的．距．离．为．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探

究：

信息读取

（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。

（2）请解释图中点B的实际意义。

图像理解

（3）求慢车和快车的速度。

（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

问题解决

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟

后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？

（江苏省南京市中考试题）

解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构

信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在

某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。

【例3】某电视台为了解A,B,C三个特色栏目的收视情况，向28位观众进行调查，调查后得知：

每位观众至少收看了其中的一个栏目；没有收看栏目A的观众中，收看栏目B人数为收看栏目C的两

倍；在收看栏目A的观众中，只收看栏目A的观众人数比除了收看栏目A之外同时还收看其他栏目的

人数多1；只收看一个栏目的观众中，有一半没有收看B或栏目C，求栏目A的收视率。

（“《数学周报》”杯全国数学竞赛试题）

解题思路：设未知数，借助于图表表示题中各数量之间的关系。

【例4】甲、乙、丙、丁、戌五名同学参加推铅球比赛，通知抽签决定出赛顺序，在未公布顺序前

每人都对出赛顺序进行了猜测。甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戌第四，丁第五；丙猜：甲第一，戌第

四；丁猜：丙第一，乙第二；戌猜：甲第三，丁第四。老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，问：

出赛顺序中，第一、第三、第五分别是哪位同学？

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：文字罗列出来的条件，其相互关系错综复杂，不便分析和推断，不妨借助于图表直观

地表示研究对象及其关系。

【例5】某班有50名同学，期末考试优秀的学生人数及科目如表：

一科二科三科

科目数外语数、语数、外语外数、语、外

人数32312916171810

这里，一科优秀者包括两、三科优秀者，两科优秀者包括三科优秀者，试说明上述统计表有错误。

（“创新杯”竞赛试题）

解题思路：借助于图形直观地表示出数学、外语、语文优秀学生的集合，有利于分析与推断。

能力训练

1．甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛

了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。则小强已经赛了________盘。

（“华罗庚金杯”竞赛试题）

2．某市储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进

物资与调出物资的速度保持不变）。储运部库存物资s(吨)与时间t(小时)之间的函数关系如图，这批物

资从开始调进到全部调出所需要的时间是___________________。

（山东省济南市中考试题）

3．甲、乙两人同时从A地出发，以各自的速度匀速汽车到B地后原地休息，甲、乙两人的距离y(千米)

与乙骑车的时间x(时)之间的函数关系的图像如图，则A,B两地的距离为______________________千

米。

4．一台计算机的硬盘分为3个区，每个区的使用情况如图所示，则这个硬盘的使用率为

______________________。

（“希望杯”邀请赛试题）

5．A,B,C三支足球队举行单循环比赛（每支队与另一支队只比赛一场，共三场），下表给出的是

比赛的部分结果：

球队比赛场数胜负平总进球数总失球数

A221

B2124

C237

请根据上表，填上A队与C队比赛时的比分为_______________。

（重庆市竞赛试题）

6．如图是某班全体学生外出时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形统计图（两图都不完整），

则下列结论中错误的是（）

A．该班总人数为50人B．骑车人数占总人数的20％

C．步行人数30人D．乘车人数是骑车人数的2.5倍

7．某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（ba），再前

进c千米，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图为（）。

A．B．C．D．

8．一圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽种观赏植物，要在同一区域种同一种植物，相邻

（有公共边）的两块里中不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，那么所有的栽种方案的个数为

()。

A．66B．68

C．60D．84

（重庆市竞赛试题）

9．某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生；参加英语竞赛有120名女生，80名男生。已知该

校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，问参加数学竞赛而没有参加英

语竞赛的女生人数有多少人？

（“祖冲之杯”邀赛试题）

10．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单

位：h）如图所示。若汽车行驶的平均速度为80km/h。而汽车每行驶1km需要的平均费用为1.2元。试

指出此人从A城出发到B城的最短线路，并求出所需费用最少多少元？

（全国初中数学竞赛试题）

11.刚回到营地的两个抢险队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往30千米外的A镇;二分队因疲劳可在

营地休息a（0≤a≤3）小时再赶往A镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在里营地

10千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须有一分队用1小时打通．已知一分队的行进速度为5千米/

时，二分队的行进速度是（4a）千米/时．

（1）若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到A镇？

（2）若需要二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几个小时？

（3）下列图中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y（千米）和时间x（小时）的函数关系，

请写出你认为所有可能合理图像的代号，并说明它们的实际意义．

ABCD

(安徽省中考题)

12.已知函数y|x1|2|x1||x2|．

（1）在直角坐标系中作出函数图象．

（2）已知关于x的方程kx3|x1|2|x1||x2（|k0）有三解.求k的取值范围．

（“创新杯”竞赛试题）

专题27以形助数

——借助图形思考

例17提示：设圆周长为9，套成的三角形三边所对的弧长分别为x，y，z，则x+y+z=9，不妨设

xyz，则（x，y，z）只有（1，1，7），（1，2，6），（1，3，5），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，

4）和（3，3，3）这7种情形.

例2（1）900（2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇.（3）由图像可知，

900

慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为=75km/h；当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，

12

900

两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为=225km/h,所以快车的速度为

4

900

150km/h.（4）根据题意快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶=6h到达乙地，此时两车之间的

150

距离为6×75=450km，所以点C的坐标为（6，450）.设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，

04kbk225

把（4，0），（6，450）带入得，解得

4506kbb900

所以，线段BC所标示的y与x之间的函数关系式为y=225x-900.自变量x的取值范围是4x6.

（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h，把x=4.5代

入y=225x-900，得y=112.5，此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5km，

所以两列快车出发间隔的时间是112.5÷150=0.75h，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h.

例3设只收看A,B,C三个栏目的观众人数分别为x，y，z，没有收看栏目A而收看栏目B和栏目C的

人数为m.不只收看栏目A的人数为n，如图所示.

ym2zm,

nx1,

得z=29-4y.

xyz,

xnymz28,

58

由y-2z=m≥0得9y-58≥0，∴y

9

29

由29-4y=z≥0得y≤，∵y为整数，∴y=7

4

从而z=1，x=8，n=7，m=5.

xn25

故栏目A的收视率为×100﹪=×100﹪≈53.6﹪

2828

例4第一个是丙，第三个是甲，第五个是丁.

例5如图，A,B,C三个圆分别表示数学、外语、语文优秀学生的集合，而a，

b，c，…，f，g则分别表示各类优秀学生的人数，如g表示数、外、语三科均

优秀的学生人数f表示语、外两科优秀而数学不优秀的学生人数.

adeg32,

bdfg31,

cefg29,

则eg16,解得：a=9，b=6，c=5，d=7，e=6，f=8，g=10.

dg17

fg18,

g10

故a+b+c+d+e+f+g=51.说明数、外、语三科中至少有一科优秀的学生共有51人，而全班仅有50人，

故统计错误.

【能力训练】

1.2提示：如图，用5个点表示甲、乙、丙、丁及小强这5个人，如果两个人已经赛过一盘，就在相

应的两个点之间连一条线段.

2.4.4小时3.24

12.526015.829010.2440

4.32﹪提示：依照图中数据计算：0001000=32﹪

12.515.810.20

5.5：1

6.C提示：由直方图可知，乘车人数为25人，由扇形图可知，乘车人数占全班总人数的