初中数学自主招生难度讲义-8年级专题08 分式方程

专题08分式方程

阅读与思考

分母含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，

常用的方法有直接去分母、换元法等．

在解分式方程中，有可能产生增根．尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根，挖掘隐含条件．

例题与求解

2xa

【例1】若关于x的方程＝－1的解为正数，则a的取值范围是______．

x2

（黄冈市竞赛试题）

解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．

2x2x11ABC

【例2】已知，其中A，B，C为常数．求A＋B＋C的值．

x2x1xx2x1

（“五羊杯”竞赛试题）

解题思路：将右边通分，比较分子，建立A，B，C的等式．

【例3】解下列方程：

5x96x84x192x21

（1）；（“五羊杯”竞赛试题）

x19x9x6x8

x23xx2x411

（2）；（河南省竞赛试题）

2x22x83x29x12

2

2x

（3）x＋＝3．（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）

x1

解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相

关技巧、方法解．

x1x8x2x7

【例4】（1）方程的解是___________．（江苏省竞赛试题）

x2x9x3x8

1111

（2）方程的解是________．

x23x2x25x6x27x12x4

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．

2kxkx1

【例5】若关于x的方程只有一个解，试求k的值与方程的解．

x1x2xx

（江苏省竞赛试题）

解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解

题．

1115

【例6】求方程的正整数解．（“希望杯”竞赛试题）

xyz6

111

解题思路：易知x,y,z都大于1，不妨设1＜x≤y≤z，则，将复杂的三元不定方程转

xyz

化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．

能力训练

A级

ax1

1．若关于x的方程10有增根，则a的值为________．（重庆市中考试题）

x1

2x1x2x1

2．用换元法解分式方程2时，如果设＝y，并将原方程化为关于y的整式方程，

x2x1x

那么这个整式方程是___________．（上海市中考试题）

211

3．方程x3x40的解为__________．（天津市中考试题）

x2x

13

4．两个关于x的方程x2x20与有一个解相同，则a＝_______．

x2xa

（呼和浩特市中考试题）

11111

5．已知方程xa的两根分别为a，，则方程xa的根是（）．

xaax1a1

111a

A．a，B．，a1C．，a1D．a，

a1a1aa1

（辽宁省中考试题）

2xm

6．关于x的方程1的解是正数，则m的取值范围是（）

x1

A．m＞－1B．m＞－1且m≠0

C．m＜－1D．m＜－l且m≠－2

（孝感市中考试题）

22222

7．关于x的方程xc的两个解是x1＝c，x2＝，则关于x的方程xa的

xccx1a1

两个解是（）．

222a1

A．a，B．a－1，C．a，D．a，

aa1a1a1

8．解下列方程：

2

2x1x1

（1）60；（苏州市中考试题）

x2x

x21610x4

（2）．（盐城市中考试题）

9x233x

111

9．已知x3．求x10＋x5＋的值．

xx5x10

2kxkx1

10．若关于x的方程只有一个解（相等的两根算作一个），求k的值．

x1x2xx

（黄冈市竞赛试题）

m21

11．已知关于x的方程x2＋2x＋0，其中m为实数.当m为何值时，方程恰有三个互

x22x2m

不相等的实数根?求出这三个实数根.

（聊城市中考试题）

x1xax2

12．若关于x的方程无解，求a的值．

x2x1x1x2

（“希望杯”邀请赛试题）

B级

11114

1．方程的解是__________．

x2xx23x2x25x6x27x1221

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

111

2．方程0的解为__________．

x211x8x22x8x213x8

xm

3．分式方程1有增根，则m的值为_________．

x1x1x2

2xa

4．若关于x的分式方程＝－1的解是正数，则a的取值范围是______．

x2

（黑龙江省竞赛试题）

2m

5．（1）若关于x的方程1无解，则m＝__________．（沈阳市中考试题）

x3x3

25m

（2）解分式方程会产生增根，则m＝______．（“希望杯”邀请赛试题）

x11xx21

311

6．方程x6x的解的个数为（）．

x3x

A．4个B．6个C．2个D．3个

a

7．关于x的方程1的解是负数，则a的取值范围是（）．

x1

A．a＜lB．a＜1且a≠0C．a≤1D．a≤1且a≠0

（山西省竞赛试题）

8．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合

111

做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，则的值

a1b1c1

是（）．

A．1B．2C．3D．4

（江苏省竞赛试题）

2

xx

9．已知关于x的方程（a2－1）2a710有实数根．

x1x1

（1）求a的取值范围；

x1x23

（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，且，求