浙江专用2025版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第9讲函数模型及其应用练习含解析

PAGEPAGE2第9讲函数模型及其应用[基础达标]1．在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据，现打算用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)C．y＝log2x D．y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的改变随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2．某工厂6年来生产某种产品的状况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．5.2 B．6.6C．7.1 D．8.3解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x年，则(1－10%)x＝eq\f(1,2)，化简得0.9x＝eq\f(1,2)，即x＝log0.9eq\f(1,2)＝eq\f(lg\f(1,2),lg0.9)＝eq\f(－lg2,2lg3－1)＝eq\f(－0.3010,2×0.4771－1)≈6.6(年)．故选B.4．某单位为激励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10m3的，按每立方米m元收费；用水超过10m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为()A．13m3 B．14m3C．18m3 D．26m3解析：选A.设该职工用水xm3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx（0<x≤10），,10m＋（x－10）·2m（x>10），))则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.5.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的随意时刻买卖这两种商品，且买卖能够马上成交(其他费用忽视不计)．假如他在t4时刻卖出全部商品，那么他将获得的最大利润是()A．40万元 B．60万元C．120万元 D．140万元解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40万元，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80万元，共获利40＋80＝120万元，故选C.6.某地区要建立一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚实性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为()A．[2，4] B．[3，4]C．[2，5] D．[3，5]解析：选B.依据题意知，9eq\r(3)＝eq\f(1,2)(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·eq\f(x,2)＝BC＋x，h＝eq\f(\r(3),2)x，所以9eq\r(3)＝eq\f(1,2)(2BC＋x)eq\f(\r(3),2)x，得BC＝eq\f(18,x)－eq\f(x,2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h＝\f(\r(3),2)x≥\r(3)，,BC＝\f(18,x)－\f(x,2)>0，))得2≤x<6.所以y＝BC＋2x＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)(2≤x<6)，由y＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)≤10.5，解得3≤x≤4.因为[3，4]⊆[2，6)，所以腰长x的范围是[3，4]．7．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的状况．加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2024年5月1日12350002024年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂起先累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，其次次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35600－35000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：88．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶xkm时，付费y元，则y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9，0＜x≤3，,8＋2.15（x－3）＋1，3＜x≤8，,8＋2.15×5＋2.85（x－8）＋1，x＞8，,))由y＝22.6，解得x＝9.答案：99．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lgA1－lgA0＝lgeq\f(A1,A0)，则eq\f(A1,A0)＝109，5＝lgA2－lgA0＝lgeq\f(A2,A0)，则eq\f(A2,A0)＝105，所以eq\f(A1,A2)＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．答案：61000010．(2024·杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96，又当v＝10时，k×102＝6，解得k＝0.06，所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为eq\f(10,v)小时，故总费用为W＝eq\f(10,v)y＝eq\f(10,v)(0.06v2＋96)＝0.6v＋eq\f(960,v)≥2eq\r(0.6v×\f(960,v))＝48，当且仅当0.6v＝eq\f(960,v)，即v＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．答案：4011．A，B两城相距100km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市平安，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解：(1)x的取值范围为10≤x≤90.(2)y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)．(3)因为y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(50000,3)，所以当x＝eq\f(100,3)时，ymin＝eq\f(50000,3).故核电站建在距A城eq\f(100,3)km处，能使供电总费用y最少．12.如图，GH是一条东西方向的马路，现打算在点B的正北方向的点A处建一仓库，设AB＝y千米，并在马路旁边建立边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在马路GH上)．若从点A向马路和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB＝AC＋1，且∠ABC＝60°.(1)求y关于x的函数解析式；(2)假如中转站四四周墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x取何值时，修建中转站和道路的总造价M最低？解：(1)由题意易知x>1，BC＝2x，又AB＝y，AC＝y－1，在△ABC中，由余弦定理得，(y－1)2＝y2＋4x2－2y·2x·cos60°，所以y＝eq\f(4x2－1,2（x－1）)(x>1)．(2)M＝30(2y－1)＋40x＝eq\f(120x2－30,x－1)－30＋40x，其中x>1，设t＝x－1，则t>0，所以M＝eq\f(120（t＋1）2－30,t)－30＋40(t＋1)＝160t＋eq\f(90,t)＋250≥2eq\r(160t·\f(90,t))＋250＝490，当且仅当t＝eq\f(3,4)时等号成立，此时x＝eq\f(7,4).所以当x＝eq\f(7,4)时，修建中转站和道路的总造价M最低．[实力提升]1．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与贮存温度x(单位：℃)满意函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A．16小时 B．20小时C．24小时 D．28小时解析：选C.由已知得192＝eb，①48＝e22k＋b＝e22k·eb，②将①代入②得e22k＝eq\f(1,4)，则e11k＝eq\f(1,2)，当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×192＝24，所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时．故选C.2．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A．7 B．8C．9 D．10解析：选C.由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N*)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C.3．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：因为m＝6.5，所以[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.244．某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,2)))eq\s\up12(2)＋0.1×eq\f(212,4)＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．答案：435．某医药探讨所开发的一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满意如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kt，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－a)，t＞1，))当t＝1时，由y＝4得k＝4，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1－a)＝4得a＝3.所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)，t＞1.))(2)由y≥0.25得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤t≤1，,4t≥0.25))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＞1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)≥0.25，))解得eq\f(1,16)≤t≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－eq\f(1,16)＝eq\f(79,16)(小时)．6．食品平安问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来肯定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭