初中数学自主招生难度讲义-8年级专题02乘法公式

专题02乘法公式

阅读与思考

乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数

式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：

1．熟悉每个公式的结构特征；

2．正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；

3．逆用即将公式反过来逆向使用；

4．变用即能将公式变换形式使用；

5．活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．

例题与求解

【例1】1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是．

（全国初中数字联赛试题）

解题思路：因a2b2(ab)(ab)，而abab的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差

的数，要么为奇数，要么能被4整除．

【例2】（1）已知a,b满足等式xa2b220,y4(2ba)，则x,y的大小关系是()

A．x≤yB．x≥yC．xyD．xy

（山西省太原市竞赛试题）

（2）已知a,b,c满足a22b7,b22c1,c26a17，则abc的值等于（）

A．2B．3C．4D．5

（河北省竞赛试题）

解题思路：对于（1），作差比较x,y的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；

对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．

【例3】计算下列各题：

（1）6(71)(721)(741)(781)1；（天津市竞赛试题）

（2）1.234520.765522.4690.7655；（“希望杯”邀请赛试题）

（3）(123252992)(2242621002)．

解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，

使之符合乘法公式的结构特征．

【例4】设ab1,a2b22，求a7b7的值．（西安市竞赛试题）

解题思路：由常用公式不能直接求出a7b7的结构，必须把a7b7表示相关多项式的运算形式，而

这些多项式的值由常用公式易求出其结果．

1234152;

2

【例5】观察：2345111;

34561192;

（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；

（2）根据（1），计算20002001200220031的结果（用一个最简式子表示）．

（黄冈市竞赛试题）

解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．

【例6】设a,b,c满足abc1,a2b2c22,a3b3c33,求：

（1）abc的值；

（2）a4b4c4的值．

（江苏省竞赛试题）

解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．

能力训练

A级

1．已知x22(m3)x9是一个多项式的平方，则m．（广东省中考试题）

2．数3481能被30以内的两位偶数整除的是．

3．已知x2y2z22x4y6z140,那么xyz．

（天津市竞赛试题）

4．若xy10,x3y3100,则x2y2．

5．已知a,b,x,y满足axby3,axby5,则(a2b2)(x2y2)的值为．

（河北省竞赛试题）

6．若n满足(n2004)2(2005n)21,则(2005n)(n2004)等于．

1111

7．(1)(1)(1)(1)等于（）

22321999220002

1999200119992001

A．B．C．D．

2000200040004000

8．若M10a22b27a6,Na22b25a1，则MN的值是（）

A．正数B．负数C．非负数D．可正可负

9．若xy2,x2y24,则x1992y1992的值是（）

A．4B．19922C．21992D．41992

（“希望杯”邀请赛试题）

10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能

组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少

名同学？（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）

11．设a1093832，证明：a是37的倍数．（“希望杯”邀请赛试题）

12．观察下面各式的规律：

(121)212(12)222;

(231)222(23)232;

(341)232(34)242;

写出第2003行和第n行的式子，并证明你的结论．

B级

1．(ab)n展开式中的系数，当n1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”

求出1.019的值为．（《学习报》公开赛试题）

1

1213

13319

13

14641

15101051

…第2题图

2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3

的对面的数分别为a,b,c，则a2b2c2abbcac的值为．

（天津市竞赛试题）

3．已知x,y,z满足等式xy5,z2xyy9,则2x3y4z．

4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为．

（全国初中数学联赛试题）

5．已知a1999x2000,b1999x2001,c1999x2002，则多项式a2b2c2abbcac的

值为（）

A．0B．1C．2D．3

6．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）

A．16种B．14种C．12种D．10种

（北京市竞赛试题）

7．若正整数x,y满足x2y264，则这样的正整数对(x,y)的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

（山东省竞赛试题）

8．已知ab3，则a3b39ab的值是（）

A．3B．9C．27D．81

（“希望杯”邀请赛试题）

9．满足等式m21954n2的整数对(m,n)是否存在？若存在，求出(m,n)的值；若不存在，说明理由．

10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方

数，求所有这样的两位数．

（天津市竞赛试题）

11．若xyab，且x2y2a2b2，求证：x2003y2003a2003b2003．

12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如

42202,124222,206242,因此4，12，20这三个数都是神秘数．

（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数

吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？（浙江省中考试题）

专题02乘法公式

例173提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．

22

例2（1）Bx－y＝（a2＋4a＋a）＋（b2－8b＋16）＝a2＋b4≥0，x≥y．

222

（2）B3个等式相加得：a3＋b1＋c1＝0，a＝3，b＝－1，c＝1．a＋b＋c＝3－1＋1

＝3．

例3（1）716（2）4（3）－5050

711

例4提示：由a＋b＝1，a2＋b2＝2得ab＝－，利用an1＋bn1＝（an＋bn）（a＋b)－ab(an1

82

57192671

＋bn1)可分别求得a3＋b3＝，a4＋b4＝，a5＋b5＝，a6＋b6＝，a7＋b7＝．

22448

2

例5（1）设n为自然数，则n（n＋1)(n＋2)(n＋3）＋1＝n23n1

（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝40060012．

abc1,①

例6（1）设a2b2c22,②

333

abc3.③

1

①2－②，得ab＋bc＋ac＝，

2

∵a3b3c3－3abc＝（a＋b＋c）（a2b2c2－ab－bc－ac），

11111

∴abc＝（a3b3c3）－（a＋b＋c）（a2b2c2－ab－bc－ac）＝×3－×1×（2＋）＝

33332

1

．

6

（2）将②式两边平方，得a4b4c42a2b22b2c22c2a24,

∴a4b4c442a2b22b2c22c2a2

2

＝4－2abbcac2abc(abc)

2

1125

＝4－221＝．

266

A级

1．0或62．26，283．24．405．346．07．D8．A9．C

8x120m2,①

10.原有136或904名学生．设

2

8x120m.②

m，n均为正整数，且m＞n，

①－②得（m＋n）（m－n）＝240＝2435．

mn60mn20

m2，n2都是8的倍数，则m，n能被4整除，m＋n，m－n均能被4整除．得或，

mn4mn12

m12m16

∴或

n28n4

8x＝m2－120＝904或8x＝m2－120＝136．

11.因为a＝109＋383－2＝（109－1）＋（383－1）＝999999999＋37×（382＋38＋1），而999999999

＝9×111111111＝9×3×37037037＝27×37×1001001＝37×（27×1001001）．

所以37|999999999，且37|37×（382＋38＋1），因此a是37的倍数．

22

12.第2003行式子为：200322003200420042＝200320041．

2

第n行式子为：n2n2n12n12＝n2n1．证明略

B级

1．1．094

2．76提示：由13＋a＝9＋b＝3＋c得a－b＝－4，b－c＝－6，c－a＝10

3．134．1565．D

6.C提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此

对应的方程组为：

xy1,7,41,49,287,2009,1,7,41,49,287,2009;