初中数学自主招生难度讲义-9年级专题01二次根式的化简与求值

专题01二次根式的化简与求值

阅读与思考

二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、

换元等技巧.

有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、

二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：

1、直接代入

直接将已知条件代入待化简求值的式子.

2、变形代入

适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.

数学思想：

数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式

与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学

就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.

想一想：若xyn（其中x,y,n都是正整数），则x,y,n都是同类二次根式，为什么？

例题与求解

12002

【例1】当x时，代数式(4x32005x2001)2003的值是（）

2

A、0B、－1C、1D、22003

（绍兴市竞赛试题）

【例2】化简

abbab1b

（1）()

ababbabab

（黄冈市中考试题）

10141521

（2）

10141521

（五城市联赛试题）

64332

（3）

(63)(32)

（北京市竞赛试题）

315102633218

（4）

5231

（陕西省竞赛试题）

解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通

过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.

思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也

广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.

【例3】比(65)6大的最小整数是多少？

（西安交大少年班入学试题）

解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x65,y65,

x46x32x218x23

想一想：设x1983,求的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）

x37x25x15

形如：AB的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

【例4】设实数x，y满足(xx21)(yy21)1，求x＋y的值.

（“宗泸杯”竞赛试题）

解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.

【例5】（1）代数式x24(12x)29的最小值.

（2）求代数式x28x41x24x13的最小值.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，a2b2的几何意义是直角边

为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），

设y(x4)252(x2)232，设A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相当于求AB＋AC的最

小值，以下可用对称分析法解决.

方法精髓：

解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.

【例6】设ma2a1a2a1(1a2)，求m10m9m8m7m47的

值.

解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.

能力训练

A级

732008152008

1.化简：()1004（“希望杯”邀请赛试题）

372008352008

2.若xy352,xy325，则xy＝_____(北京市竞赛试题)

19971999

(19971999)(19972001)(19992001)(19991997)

3.计算：

2001

(20011997)(20011999)

（“希望杯”邀请赛试题）

4.若满足0＜x＜y及1088xy的不同整数对（x，y）是_______（上海市竞赛试题）

5.如果式子(x1)2(x2)2化简结果为2x－3，则x的取值范围是（）

A.x≤1B.x≥2C.1≤x≤2D.x＞0

6、计算14651465的值为（）

A．1B.5C.25D.5

（全国初中数学联赛试题）

7．a，b，c为有理数，且等式ab2c3526成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）

A．1999B.2000C.2001D.不能确定

（全国初中数学联赛试题）

8、有下列三个命题

甲：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；

乙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；

丙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；

其中正确命题的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

（全国初中数学联赛试题）

9、化简：

xyyxyxxy26

（1）（2）

xyyxyxxy325

115746

（3）

7776642

524

（4）（天津市竞赛试题）

103615

35

（5）（“希望杯”邀请赛试题）

361015

335

10、设x，求代数式(x1)(x2)(x3)(x4)的值.

2

（“希望杯”邀请赛试题）

11、已知7x29x137x25x137x，求x的值.

n1nn1n

12、设x,x（n为自然数），当n为何值，代数式19x2123xy19y2的

n1nn1n

值为1985？

B级

11

1.已知x,y,则x312xyy3________________.(四川省竞赛试题)

2323

2.已知实数x，y满足(xx22008)(yy22008)2008，则3x22y23x3y2007＝＿

＿＿＿（全国初中数学联赛试题）

47x2

3.已知x,那么______.（重庆市竞赛试题）

3x4x21

331

4.a343231,那么＝＿＿＿＿＿.（全国初中数学联赛试题）

aa2a3

5.a，b为有理数，且满足等式ab361423则a＋b＝（）

A.2B.4C.6D.8

(全国初中数学联赛试题)

6．已知a21,b226,c62，那么a，b，c的大小关系是（）

A.abcB.b＜a＜cC.c＜b＜cD.c＜a＜b

(全国初中数学联赛试题)

1

7.已知xa，则4xx2的值是（）

a

111

A.aB.aC.aD.不能确定

aaa

1

8.若[a]表示实数a的整数部分，则[]等于（）

1667

A.1B.2C.3D.4

（陕西省竞赛试题）

1

9．把(a1)中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（）

a1

A.1aB.a1C.a1D.1a

（武汉市调考题）

10、化简：

19981999200020011

（1）（“希望杯”邀请赛试题）

4

111

（2）（新加坡中学生竞赛试题）

211232231009999100

8215106

（3）（山东省竞赛试题）

532

（4）2(6232515)（太原市竞赛试题）

11、设0x1,求证5x211(1x)212.

（“五羊杯”竞赛试题）

12、求x28x41x24x13的最大值.

3aba2b2c2

13、已知a,b,c为正整数，且为有理数，证明：为整数.

3bcabc

专题01二次根式的化简与求值

例1A提示：由条件得4x2－4x－2001＝0．

ababb1ab

例2(1)原式＝·＝2ab

abab

babb

257357

(2)原式＝＝26－5．

257357

6333231

(3)原式＝＝＝62；

63326332

533223332332

（4）原式＝＝332．

5231

例3x＋y＝26，xy＝1，于是x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝426，x6＋y6

66

＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582．∵0＜65＜1，从而0＜65＜1，故10581＜65＜10

11

582．例4x＋x21＝＝y21－y…①；同理，y＋y21＝＝x21－

yy21xx21

x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．例5(1)构造如图所示图形，PA

2

＝x24，PB＝12x9．作A关于l的对称点A'，连A'B交l于P，

2

则A'B＝12252＝13为所求代数式的最小值．(2)设y＝x452＋

22

x23，设A(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作C关于x轴对称点C1，连

结BC1交x轴于A点．A即为所求，过B作BD⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1B

2

＝2282＝217．例6m＝a12a1112＋

222

a12a1112＝a11＋a11．∵1≤a≤2，∴0

≤a1≤1，∴－1≤a1－1≤0，∴m＝2．设S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－

47＝210＋29＋28＋…＋2－47①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94②，由②－①，

得S＝211－2－94＋47＝1999．

A级1．12．523．0提示：令1997＝a，1999＝b，2001＝c．4．(17，833)，(68，

22

2xy32625325

612)，(153，420)5．B6．C7．B8．A9．(1)(2)原式＝＝

xy325325

53

＝325．(3)116(4)(5)3210．48提示：由已知得x2＋5x＝2，原式＝(x2

2

＋5x＋4)(x2＋5x＋6)．11．由题设知x＞0，(7x29x13＋7x25x13)(7x29x13－

7x25x13)＝14x．∴7x29x13－7x25x13＝2，∴27x29x13＝7x＋2，∴21x2－8x

12

－48＝0．其正根为x＝．12．n＝2提示：xy＝1，x＋y＝4n＋2．

7

B级1．642．1提示：仿例4，由条件得x＝y，∴(x－x22008)2＝2008，∴x2－2008－xx22008

9

＝0，∴x22008(x22008－x)＝0，解得x2＝2008．∴原式＝x2－2007＝1．3．4．1提

55

1

示：∵(32－1)a＝2－1，即＝32－1．5．B提示：由条件得a＋b3＝3＋3，∴a＝3，b＝1，

a

∴a＋b＝4．6．B提示：a－b＝6－1－2＞322－1－2＝0．同理c－a＞07．B8．B

9．D提示：注意隐含条件a－1＜0．10．(1)1998999.5提示：设k＝2000，原式＝

k2k19111

．(2)提示：考虑一般情形＝－(3)原式＝

210