初中数学自主招生难度讲义-9年级专题09 特殊与一般

专题09特殊与一般

——二次函数与二次方程

阅读与思考

二次函数的一般形式是yax2bxca0，从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际

上是关于x的二次三项式，若令y=0，则得ax2bxc0

这是一个关于x的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为：

1.当0时，方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有两个不同的交点，设为

b24ac

A(x，0)，B(x，0)，其中x，x是方程两相异实根，AB;

1212a

2.当0时，方程有两个相等实数根，抛物线与x轴只有一个交点；

3.当0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．

由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互

转化，是解相关问题的常用技巧．

例题与求解

【例1】（1）抛物线yax2bxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若ABC是直角三

角形，则ac=.

（全国初中数学联赛试题）

1

（2）为使方程x223x1b有四个不同的实数根，则实数b的取值范围为.

3

解题思路：对于（1），ABC为直角三角形，则A，B两点在原点的两旁，运用根与系数关系及射

影定理解题，对于（2），作出函数图象，借助图象解题．

【例2】设一元二次方程x22kx6k0的根分别满足下列条件：①两根均大于1；②一根大

于1，另一根小于1；③两根均大于1且小于4．试求实数k的取值范围．

解题思路：因为根的表达式复杂，故应把原问题转化为二次函数问题来解决，作出函数图象，借助

图象找制约条件．

【例3】如果抛物线yx22m1xm1与x轴交于A，B两点，且A点在x轴的正半轴上，

B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b，

（1）求m的取值范围；

（2）若a:b3:1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；

（3）设（2）的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线是否存在一点P，使得PAB

面积等于BCM的面积的8倍？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

（南京市中考试题）

解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征，两实根的关系，这是解本例的突破口．

【例】设是实数，二次函数2的图像与轴有个不同的交点，．

4pyx2pxpx2Ax1,0Bx2,0

（）求证：2；

12px1x23p0

（2）若A，B两点之间距离不超过2p3，求p的最大值．

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：根据题意，方程2有两个不同的实数根，，于是，综合运用

x2pxp0x1x20

判别式、根与系数关系、根的方程、不等式来解．

【例5】是否存在这样的实数k，使得二次方程x22k1x3k20有两个实数根，且两根都

在2与4之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试述理由．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：由于根的表示形式复杂，因此，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相应二

次函数交点在2与4之间，k应满足的条件，借助函数图象解题．

【例6】设m，n为正整数，且m2.如果对一切实数t，二次函数yx23mtx3mt的图

象与x轴的两个交点间的距离不小于2tn，求m，n的值．

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：由2，得，由条件得，因此不

x3mtx3mt0x13,x2mtmt32tn

等式对任意实数t都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解．

能力训练

A级

1．已知二次函数y2x24mxm2的图象与x轴有两个交点A，B，顶点为C，若△ABC的面积

为42，则m=.

．把抛物线2向上平移个单位，所得抛物线与轴相交于点，和，，

2y3x1kxA(x10)B(x20)

26

已知x2x2，那么平移后的抛物线的解析式为.（杭州市中考试题）

129

3．抛物线yax2bxca0的图象如图所示．

（1）判断abc及b24ac的符号：

abc0，b24ac0；.

（2）当OAOB时，a,b,c满足的关系式为________________.

4．已知二次函数yax2bxc的图象过（-1，0）和（0，-1）两点，则a的取值范围为.

（黑龙江省中考试题）

5．若关于x的方程2x23xm0的一个根大于-2，且小于-1，另一个根大于2且小于3，则m

的取值范围是（）

99

A.mB.14mC.9m5D.14m2

88

（天津市竞赛试题）

2

6．设函数yxm1x4m5的图象如图所示，它与x轴交于A，B两点，且线段OA与

OB的长的比为1:4，则m的值为（）

A.8B.-4C.11D.-4或11

．已知二次函数2与轴相交于两点，，，，其顶点坐标为

7yaxbxcxA(x10)B(x20)

b4cb2

，，若，则与的关系是（）

P,AB=x1x2SAPB1bc

24

A.b24c10B.b24c10

C.b24c40D.b24c40

（福州市中考试题）

．设关于的方程2有两个不等的实数根，，且＜1＜，那么

8xaxa2x9a0x1x2x1x2a

的取值范围是（）

22222

A.aB.aC.aD.a0

755711

（全国初中数学竞赛试题）

9．已知二次函数yx2m28x2m26．

（1）求证：不论m取任何实数，此函数的图象都与x轴有两个交点，且两个交点都在x轴的正半

轴上；

（2）设这个函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于A点，若△ABC的面积为48，求m的

值．（徐州市中考试题）

13

10．已知抛物线yx2mx2m交x轴于A(x，0)，B(x，0)，交轴于C点，且x＜0＜x，

221212

AOBO212CO1

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的

范围；若不存在，请说明理由．

（武汉市中考试题）

1

11．已知抛物线yx23mx18m2m与x轴交于A(x，0)，B(x，0)(x＜x)两点，与y

81212

轴交于点C(0，b)，O为原点．

（1）求m的取值范围．

1

（2）若m，且OAOB3OC，求抛物线的解析式及A，B，C的坐标；

8

（3）在（2）情形下，点P，Q分别从A，O两点同时出发（如图）以相同的速度沿AB，OC向B，

C运动，连接PQ与BC交于M，设AP=k，问：是否存在k值，使以P，B，M为顶点的三角形与△ABC

相似？若存在，求所有k值；若不存在，请说明理由．

（黄冈市中考试题）

12．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每

上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），

每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出

售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

（武汉市中考试题）

B级

1．已知抛物线yx22mxm7与x轴的两个交点在（1，0）两旁，则m的取值范围为

____________.

5

2．设抛物线yx22a1x2a的图象与x轴只有一个交点，则a18323a6的值为

4

____________.

（全国初中数学联赛试题）

93

3．设m是整数，且方程3x2mx20的两根都大于而小于，则m=.

57

（全国初中数学联赛试题）

4．已知抛物线yx2kx1与x轴的正方向相交于A，B两点，顶点为C，△ABC为等腰直角三

角形，则k=.

5．如图，已知抛物线yx2pxq与x轴交于A，B两点，交y轴负半轴于C点，∠ACB=90°，

112

且，则△ABC的外接圆的面积为.

OAOBOC

6．已知抛物线yx2kxk1，

（1）求证：无论k为何实数，抛物线经过x轴上的一定点；

（）设抛物线与轴交于点，与轴交于，，，，两点，且满足：＜，，

2yCxA(x10)B(x20)x1x2x1x2

问：过，，三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标．

SABC6.ABC

（武汉市中考试题）

．已知抛物线2上有一点位于轴下方

7yxpxqMx0,y0x.

（）求证：已知抛物线必与轴有两个交点，，，，其中＜；

1xA(x10)B(x20)x1x2

（）求证：＜＜

2x1x0x2;

（）当点为（，）时，求整数，

3M1-2x1x2.（《学习报》公开赛试题）

8．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资

种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例的关系，如图1所示；

种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大

利润是多少？

（南宁市中考试题）

9．已知以x为自变量的二次函数y4x28nx3n2，该二次函数图象与x轴两个交点的横坐

标的差的平方等于关于x的方程x27n6x2(n1)(5n4)0的一整数根，求n的值．

（绍兴市竞赛试题）

10．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转

120°，得到线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC