初中数学自主招生难度讲义-9年级专题02从求根公式谈起

专题02从求根公式谈起

阅读与思考

一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方

程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.

初学一元二次方程，需要注意的是：

1、熟练求解

解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有

一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项

系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：

①若abc0，则方程ax2bxc0(a0)必有一根为1.

②若abc0，则方程ax2bxc0(a0)必有一根为1.

2、善于变形

解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零

值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.

思想精髓

bb24ac

一元二次方程的求根公式为x这个公式形式优美，内涵丰富：

1,22a

1公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美；

2公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；

3公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几

个？如何求出实根？

例题与求解

例1阅读下列的例题

解方程：x2|x|20

解：①当≥时，原方程化为2，解得舍

x0xx20x12,x21()

1当时，原方程化为2，解得舍，

x0xx20x11()x22

请参照例题解方程：

x2|x3|30，则方程的根是＿＿＿＿

（晋江市中考试题）

解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.

例2方程|x21|(423)(x2)的解的个数为（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.

例3已知m，n是二次方程x21999x70的两个根，求（m2+1998m6)(n22000n8)的

值.

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：若求出m，n值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m，n的等式，

不妨从变形等式入手.

反思：

一元二次方程常见的变形方法有：

①把ax2bxc0(a0)变形为ax2bxc

②把ax2bxc0(a0)变形为ax2bxc

c

③把ax2bxc0(a0)变形为axb

x

其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换.

例4解关于x的方程：(m1)x2(2m1)xm30

解题思路：因未指明关于x的方程的类型，故首先分m10及m1≠0两种情况，当m1≠0

时，还考虑就b24ac的值的三种情况加以讨论.

例5已知三个不同的实数a，b，c满足abc3,方程x2ax10和x2bxc0，有

一个相同的实根，方程x2xa0和x2cxb0也有一个相同的实根，求a，b，c的值.

解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.

方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是：

①若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解.

②设出公共根，设而不求，消去二次项.

例6已知a是正整数，如果关于x的方程x3(a17)x2(38a)x560的根都是整数，求a

的值及方程的整数根.

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变

更主元，将原方程整理为关于a的较低次数的方程.

能力训练

A级

2

1、已知方程x26xq0可以配成xp7的形式，那么x26xq2可以配成＿＿＿＿

＿_________的形式.

（杭州市中考试题）

x2x2

2、若分式的值为0，则x的值等于＿＿＿＿.

x22x1

（天津市中考试题）

3、设方程x21993x19940,和(1994x)219931995x10的较小的根分别为α，β，则

＝＿＿＿.

4、方程|x24x5|62x的解应是＿＿＿＿（上海市竞赛试题）

5、方程(x2x1)x31的整数解的个数是＿＿＿＿.

A、2个B、3个C、4个D、5个

（山东省选拔赛试题）

6、若关于x的一元二次方程(m1)x25xm23m20的常数项为0，则m的值等于（）

A、1B、2C、1或2D、0

（德州市中考试题）

111b

7、已知a,b都是负实数，且0，那么的值是（）

ababa

15151515

A、B、C、D、

2222

（江苏省竞赛试题）

8、方程x2|x|10的解是（）

1515151515

A、B、C、或D、

22222

1999

9、已知a是方程x21999x10的一个根，求a21998a的值.

a21

a4ma21

10、已知a24a10且3，求m的值.

2a3ma22a

（荆州市竞赛试题）

11、是否存在某个实数m，使得方程x2mx20和x22xm0有且只有一个公共根？如果

存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.

12、已知关于x的方程(4k)(8k)x2(8012k)x320的解都是整数，求整数k的值.

B级

1、已知α、β是方程x2(m2)x10的两根，则(1m2)(1m2)的值为＿＿＿

2、若关于x的方程x2pxq0与x2qxp0只有一个公共根，则(pq)1999＝＿＿＿

3、设a,b是整数，方程x2axb0有一个根为743，则ab=_________

(全国通讯赛试题)

4、用x表示不大于x的最大整数，则方程x22[x]30解的个数为（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

11

5、已知|a|1，那么代数式|a|（）

aa

55

A、B、C、5D、5

22

6、方程x|x|3|x|20的实根的个数为（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

(x2)4(x1)21

7、已知x25x19910，则代数式的值为（）

(x1)(x2)

A、1996B、1997C、1998D、1999

8、已知三个关于x的一元二次方程ax2bxc0,bx2cxa0,cx2axb0恰有一个公

a2b2c2

共实根，则的值为（）

bccaab

A、0B、1C、2D、3

（全国初中数学联赛试题）

x46x32x218x23

9、已知x1983，求的值.

x28x15

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

10、设方程x2|2x1|40，求满足该方程的所有根之和.

（重庆市竞赛试题）

11、首项系数不相等的两个二次方程

(a1)x2(a22)x(a22a)0①

及(b1)x2(b22)x(b22b)0②（其中a，b为正整数）

abba

有一个公共根，求的值.

abba

（全国初中数学联赛试题）

12、小明用下面的方法求出方程2x30的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，

并把你的解答过程填写在下面的表格中．

方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解

令xt，3339

2x30tt0x，∴x

2224

则2t30

x2x30

xx240

专题02从求根公式谈起

例1－3或2

例2C提示：当x2－1≥0时，即x≤－1或x≥1时，原方程化为x2－（4－23）x＋7－43－9

＝，解得＝－，＝，均符合；当2－＜时，即－＜＜时，原方程可化为2＋（

0x1433x23x101x1x4

－）＋－＝，解得＝－，满足题意．

23x7430x332

例31991

11

例4①当m＝1时，解得x＝2．②当m≠1时，b2－4ac＝12m－11．当m＞时，x＝

121,2

12m12m111111

；当m＝时，x＝5；当m＜时，原方程无实根．

2m11212

例5为叙述方便，该题设中的四个方程依次为①、②、③、④，设方程①和方程②的公共根为α，则

2a10,c1ab

两式相减，得．同理可得，方程③和方程④的公共根为．∴

2

bc0.abc1

＝1．注意到方程①的两根之积为1，则β也是方程①的根，从而21＝0．又∵2a＝0，

两式相减，得（a－1）β＝a－1．若a＝1，则方程①无实根，这与方程①有根有矛盾，∴a≠1．∴β

＝1，α＝1．于是a＝－2，b＋c＝－1．又∵a－b＋c＝3，∴b＝－3，c＝2．

例6解法一：∵1＋（a＋17）＋（38－a）－56＝0，∴x＝1为原方程的一个根，从而原方程可化为（x

2

－1）x2a18x56＝0．①∵x为正整数，∴方程x2＋（a＋18）x＋56＝0的判别式Δ＝a18

22

－224必为完全平方数．设a18－224＝m2（m为非负整数），则a18－224＝224，即（a＋m

＋18）（a－m＋18）＝224＝112×2＝56×4＝28×8．又∵a＋m＋18与a－m＋18具有相同的奇偶性，

am18112,am1856,

且a＋m＋18＞a－m＋18，a＋m＋18＞18，∴或或

am182am184

am1828,a39,a12,a0,a39,a12,

解得或或又a为正整数，∴或．当a

am188m55m26m10.m55m26

＝39时，方程①的根为－1和－56；当a＝12时，方程①的根为－2和－28．综上所述，当a＝39时，

原方程的三个根为1，－1和－56；当a＝12时，原方程的三个根为1，－2和－28．

解法二：原方程可化为（x2－x）a＝56－38x－17x2－x3②，显然x≠0．当x＝1时，②式恒成立．当

5638x17x2x35656

x≠1时，方程②可化为a＝＝－x－18－．∵a为正整数，∴－x－18－＞0，

x2xxx

56

∴x＋18＋＜0．显然x＜0，∴x2＋18x＋56＞0，解得x＜－35－9或35－9＜x＜0．又x为整

x

数，且x|56，∴x可取－56，－28，－2，－1．由韦达定理知（－56）×（－1）＝（－28）×（－2），

若－56和－1为方程②的两个根，则－（a＋18）＝－56－1，即a＝39；若－28和－2为方程②的两个

根，则－（a＋18）＝－28－2，即a＝12．综上所述，当a＝39时，原方程的三个根为1，－1和－56；

当a＝12时，原方程的三个根为1，－2和－28．

A级

21

1.xp＝q＋72．23．4．x＝x＝－1，x＝－3±255．C6．B7．C8．D

1994123,4

9．1998

191

10.m＝提示：由已知得a＋＝－4．

2a

a2ma20①，

11.假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实根为a，则①－②得（m

2

a2am0②，

－2）（a－1）＝0，∴m＝2或a＝1．当m＝2时，已知两个方程为同一个方程，且没有实数根，故m＝

2舍去；当a＝1时，代入①得m＝－3，可求得公共根为x＝1．

12.当k＝4或k＝8，分别求得x＝1或x＝－2．当k≠4且k≠8时，原方程可化为4kx88kx4

84

＝0，∴x＝，x＝．∵k为整数，且x，x均为整数，∴4－k＝±1，±2，±4，±8且

14k28k12

8－k＝±1，±2，±4，∴k＝6，12．故k＝4，6，8，12时，原方程的根为整数．

B级

1．42．－1

3.－3提示：代入根得（7＋2a＋b）＋（－4－a）3＝0．

4.C提示：由题给方程x2－3＝2x．又∵x≤x，则x2－3≤2x，∴x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3，

∴x只可能取值为－1，0，1，2，3．分别代入原方程解得x＝－1，7，3，故原方程共有三个解．

5．D6．C7．D8．D

9．5提示：由x＝4－3，得x2－8x＋13＝0．

1

10.当2x－1＞0即x＞时，原方程化为x2－2x－3＝0，解得x＝3，x＝－1（舍去）；当2x－1＝0即

212

111

x＝时，x2－4＝－4≠0，舍去；当2x－1＜0即x＜时，原方程化为x2＋2x－5＝0，解得x＝

242